第七章壓桿穩(wěn)定

第七章壓桿穩(wěn)定

第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念現(xiàn)象:壓桿保持直線平衡狀態(tài)→直線平衡狀態(tài)不穩(wěn)定→壓桿喪失直線形式平衡狀態(tài)的現(xiàn)象稱為喪失穩(wěn)定，簡稱失穩(wěn)，也稱屈曲。

從穩(wěn)定平衡狀態(tài)過渡到不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的壓力極限值，稱為臨界載荷或臨界力，用Fcr表示。壓桿失穩(wěn)并非強度不足，而是區(qū)別于強度、剛度失效的又一種失效形式。

當壓桿的材料、尺寸和約束等情況確定時，臨界力是一個確定的值。可見解決壓桿穩(wěn)定的關(guān)鍵問題是確定壓桿的臨界力。例:內(nèi)燃機挺桿、活塞桿、連桿、桁架中的壓桿、建筑物中的柱.第二節(jié)細長壓桿的臨界力一、兩端鉸支細長壓桿的臨界力

微分方程(c)的一般解為邊界條件其中xFlxyEIw=w(x)FxyFM(x)_FF若則應(yīng)可得這就是兩端球鉸支承的細長壓桿的臨界力計算公式，也稱歐拉公式彎曲將發(fā)生在抗彎剛度最小的縱向平面內(nèi)時二、其它支承情況下細長壓桿的臨界力

1.一端固定，一端自由

2.兩端均為固定支座的壓桿

3.一端固定，一端鉸支式μl中稱為相當長度，μ稱為長度系數(shù).FlFF2lF0.5lF0.7l統(tǒng)一寫成鉸支點處：即為撓曲線拐點μl長的兩端鉸支壓桿達到臨界狀態(tài)臨界力為……此時壓桿將要失穩(wěn)例7-1由壓桿撓曲線的近似微分方程，導出一端固定，另一端鉸支壓桿的歐拉公式

FFQxxyyl解:根據(jù)撓曲線的近似微分方程可得：令得該微分方程的通解為：轉(zhuǎn)角方程為：代入邊界條件得求解該齊次線性方程組。因為A、B和Q/F不能同時等于零，即要求上述齊次線性方程組必須有非零解，所以其系數(shù)行列式應(yīng)等于零：展開得：解此方程求得最小解為（不含零解）kl=4.49Fδxxywl由壓桿撓曲線的近似微分方程，導出一端固定，另一端自由的壓桿的歐拉公式

解:根據(jù)撓曲線的近似微分方程可得：該微分方程的通解為：練習令得轉(zhuǎn)角方程為：代入邊界條件回代得:取最小值kl=π/2:第三節(jié)歐拉公式的適用范圍及經(jīng)驗公式

將臨界力Fcr除以壓桿的橫截面面積A，可以得到壓桿的臨界應(yīng)力σcr，再利用慣性半徑ρ與慣性矩I之間的關(guān)系：則式中λ稱為壓桿的長細比或柔度。λ是一無量綱的量，它綜合反映了壓桿支承條件、長度及截面形狀和尺寸的綜合影響。引入記號材料服從虎克定律,即σcr<σp時歐拉公式才適用λ

p只與材料有關(guān),Q235的E≈200GPa,σp=196MPa.λ

p≈100通常將λ>λp的桿稱為大柔度桿對于λ<λp的壓桿，一般使用經(jīng)驗公式，常用的經(jīng)驗公式有直線公式和拋物線公式。計算臨界應(yīng)力的直線公式為：式中，a、b為與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，可查表得。適用直線公式的壓桿，λ有一個最低限，否則會出現(xiàn)σcr>σs或σcr>σb的情況。對于塑性材料制成的壓桿，所對應(yīng)的應(yīng)力等于屈服點，所以在經(jīng)驗公式中，令σcr=σs，得

這就是用直線公式的最小柔度。對于鋼Q235的a=304MPa,b=1.12MPa,σs=235MPa，代入上式得工程實際中，柔度介于λs和λp之間的這一類壓桿稱為中柔度壓桿。而對于λ<λs的短壓桿，稱為小柔度桿。這一類壓桿將因壓縮引起屈服或斷裂破壞，屬于強度問題。所以應(yīng)該將屈服點（塑性材料）或抗壓強度極限（脆性材料）作為臨界應(yīng)力。工程中所用的拋物線經(jīng)驗公式，就是將臨界應(yīng)力與柔度表示為下面的拋物線關(guān)系：式中a1與b1也是與材料有關(guān)的常數(shù)。表示臨界應(yīng)力隨壓桿柔度變化的情況.λσcrλsλpσpσsABCD臨界應(yīng)力總圖例題如圖所示的壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但兩者的長度和約束都不相同。（1）分析哪一根桿的臨界力較大。（2）若d=160mm，E=205GPa，計算兩桿的臨界力。F5mF7m解（1）計算柔度比較兩者的柔度可知，兩端固支的壓桿具有較高的臨界壓力。對于兩端固支的壓桿，λ<100，該桿屬于中柔度桿，應(yīng)用直線經(jīng)驗公式計算其臨界力：(2)計算兩桿的臨界力。對于兩端鉸支的壓桿，因為λ>100，所以該桿屬于大柔度桿，可用歐拉公式計算臨界力：用Q235鋼制成的矩形截面桿的受力及兩端約束如圖所示，其中(a)為正視圖，(b)為俯視圖。在A、B兩處用螺栓夾緊。已知l=2.3m，b=40mm，h=60mm，材料的彈性模量E=205GPa，求此桿的臨界力。例7-3解：壓桿在A、B兩處的連接不同于球鉸約束。在正視圖x～y平面內(nèi)失穩(wěn)時，A、B兩處可以自由轉(zhuǎn)動，相當于鉸鏈約束；在俯視圖x～z平面內(nèi)失穩(wěn)時，A、B兩處不能自由轉(zhuǎn)動，可簡化為固定端約束。FAhBFhbFAbBFlxyxzλz>λy故壓桿將在正視圖平面內(nèi)失穩(wěn)，對于Q235鋼，λz>λp=100，屬于大柔度桿，可用歐拉公式計算其臨界：在正視圖平面內(nèi)：在俯視圖平面內(nèi)：平面桁架如圖所示,求桁架的臨界載荷力Pcr.已知材料λp=100，E=200GPa，桿截面直徑d=40mmAFAyF1F2FAyCPDB13451mAFBFAx1m2解：由整體平衡求約束反力由A點平衡求桿1、2受力，桿1受壓，計算其臨界力：λ1>100，屬于大柔度桿，用歐拉公式：練習：支架如圖所示,求其臨界載荷力Fcr.已知AC=CB=1m，材料λp=100，E=200GPa，CD桿截面直徑d=40mmACB45°FDACFAxB45°yxFAyFCF解：CD為壓桿，由AB平衡求CD受力λ1>100，屬于大柔度桿，用歐拉公式：練習：用Q235鋼制成的工字形（I16.）截面桿l=1m，一端固定一端自由，材料的彈性模量E=200GPa，λp=100，求此桿的臨界力。解（1）計算柔度，判斷柔度范圍λ1>100，屬于大柔度桿，用歐拉公式：練習：用Q235鋼制成的空心圓形截面桿l=1m，D=20mm，d=12mm，一端固定一端鉸支，材料的彈性模量E=200GPa，λp=100，求此桿的臨界力。解：計算柔度，判斷柔度范圍λ1>100，屬于大柔度桿，用歐拉公式：第四節(jié)其它形式構(gòu)件的穩(wěn)定問題

工程中還有很多其它構(gòu)件也存在穩(wěn)定問題。如受外壓作用的薄壁圓筒，有時管壁中的應(yīng)力還遠遠沒有達到屈服點時，圓環(huán)形截面會變成橢圓形。與此類似，狹長的矩形截面梁，在橫向載荷作用下，會發(fā)生側(cè)向彎曲和繞軸線的扭轉(zhuǎn)。這些都是穩(wěn)定性問題。其臨界載荷都可以通過彈性力學方法推導求得.qF對于受彎工字形截面梁，其下翼緣主要承受壓應(yīng)力，因此可看成是支承在腹板上的受壓薄板，當壓應(yīng)力達到一定值，受壓翼緣就會發(fā)生波形翹曲；同樣，主要