向量組的線性相關(guān)性分析

第2節(jié)向量組的線性相關(guān)性一、向量組的線性組合二、向量組的線性相關(guān)性三、向量組線性相關(guān)的判定四、向量組與矩陣的關(guān)系五、小結(jié)思考題第3章BinzhouMedicalcollegeHealthManagement.高明海2016.10復(fù)習(xí)：1.線性方程組的三種不同表示形式之一x1a1＋x2a2

＋…＋xnan＝b或

(a1，a2

，…，an)

x＝b復(fù)習(xí)：2.矩陣方程的AX=B的分塊x1ja1＋x2ja2

＋…＋xnjan＝βj1.向量組的線性組合線性組合一、向量組的線性組合、線性表出1.向量組的線性組合

2.

向量b由向量組A的線性表出

3.向量組B由向量組A線性表出

4.兩向量組A、B的等價

則向量b是向量組A的線性組合，此時稱向量b能由向量組A線性表示．2.向量b由向量組A的線性表出?

設(shè)有一個向量組A

:

a1,

a2,

…

,am和一個向量b.

記矩陣A=(a1,

a2,

…

,am)，

向量x=(x1,

x2,

…

,xm)T,

矩陣B=(A

|b).則下面三個命題等價（1）向量b可以由向量組A線性表示；（2）線性方程組Ax=b有解；（3）R(A)=R(B)．證明：根據(jù)上一章關(guān)于方程組的討論以及矩陣秩的求法既可以得到證明。定理1例1設(shè)

證明向量b能由向量組1，2，3線性表出，并求出表達(dá)式.

解根據(jù)定理1，要證矩陣A=(1，2，3)與矩陣(A

，b)等價.因此化(A

，b)為行最簡形：

即，R(A)=R(A,b).所以向量b能由向量組1，2，3線性表出.

并且，由最簡形知道方程(1，2，3)x=b的通解為

從而得到b由向量組1，2，3的線性表出關(guān)系：b=(1，2，3)x=(-3c+2)1+(2c-1)2+c3其中，c為任意常數(shù).3.向量組B由向量組A線性表出

設(shè)有兩個向量組A

:

a1,

a2,

…

,am及B:

1,

2,

…

,s.若B組中的每個向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示.4.兩向量組A、B的等價若向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價．等價關(guān)系滿足三條性質(zhì)：（1）反身性；（2）對稱性；（3）傳遞性．

向量組B由向量組A線性表出可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述為：從而由此,得出下面的結(jié)論:矩陣等式的向量解釋C矩陣（γ向量組）A矩陣（數(shù)字）B矩陣（β向量組）

定理2向量組B：(b1，b2，…，bl)的能由向量組A：(a1，a2，…，am)線性表出的充分必要條件是矩陣A=(a1，a2，…，am)的秩等于矩陣(A|B

)

即

(a1，a2，…，am，b1，b2，…，bl)的秩.

推論向量組B：(b1，b2，…，bl)與向量組A：(a1，a2，…，am)等價的充分必要條件是R(A)=R(B)=R(A|B

)

例2設(shè)試證明向量組1，2與b1，b2，b3等價.解設(shè)得即，又由階梯型矩陣知注意定義３二、向量組的線性相關(guān)性則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)．例3

判斷向量組的線性相關(guān)性。解

假設(shè)存在一組常數(shù)k1,k2,…,kn

使得所以

即

k1=k2=···=kn=0

因此線性無關(guān)。三、向量組線性相關(guān)性的判定

定理3

設(shè)n維向量組A

:

a1,

a2,

…

,am，記矩陣A=(a1,

a2,

…

,am)，以及m維向量x=(x1,

x2,

…

,xm)T則下面三個命題等價（1）向量組a1,

a2,

…

,am

線性相關(guān)；（2）線性方程組Ax=0有非零解；（3）R(A)<m．證明：根據(jù)上一章關(guān)于方程組的討論以及矩陣秩的求法既可以得到證明。線性無關(guān)定理3的條件（1）-（3）可以等價換為只有零解；=

定理4

設(shè)n維向量組A

:

a1,

a2,

…

,an，記矩陣A=(a1,

a2,

…

,an)，以及n維向量x=(x1,

x2,

…

,xn)T則下面三個命題等價（1）向量組a1,

a2,

…

,am

線性相關(guān)；（2）線性方程組Ax=0有非零解；（3）行列式|A|＝0．

若m=n，即向量的個數(shù)等于維數(shù)，或由向量組構(gòu)成的矩陣A為方陣，則上述定理可以等價地敘述為線性無關(guān)只有零解；≠解例4下面舉例說明以上定理的應(yīng)用.解例5分析證

向量組線性相關(guān)性、矩陣初等變換（行最簡型）以及線性方程組求解三者的關(guān)系：是本質(zhì)上相同的事情！可以相互轉(zhuǎn)換！或線性表示、矩陣初等變換以及線性方程組求解三者的關(guān)系：也是本質(zhì)上相同的事情！可以相互轉(zhuǎn)換！結(jié)論向量組（當(dāng)時）線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個向量可由其余個向量線性表示．證明充分性

設(shè)中有一個向量（比如）能由其余向量線性表示.即有為有助于對以上定理的理解，下面給出幾個定理或結(jié)論。故因這個數(shù)不全為0，故線性相關(guān).必要性設(shè)線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)使因中至少有一個不為0，不妨設(shè)則有即能由其余向量線性表示.證畢.定理5證明說明說明四、向量組與矩陣的關(guān)系(1)矩陣A=(aij)mn可以視為n個m維列向量aj

即：A=(a1，a2，…，aj，…，an)，并且稱a1，a2，…，aj，…，an為矩陣A的列向量組.1.向量組與矩陣的關(guān)系

即A=(1T，2T

，…，iT

，…，mT)T并且稱1T，2T

，…，iT

，…，mT為矩陣A的行向量組．(2)矩陣A=(aij)mn可以視為m個n維行向量ai

反之，向量組可以構(gòu)成一個矩陣即向量組與矩陣存在著某種對應(yīng)關(guān)系！方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應(yīng)．即，2.線性方程組可以用向量表示方程組是否有解與一個向量能否由一個向量組線性表出存在一一對應(yīng)．3.向量組定理與矩陣方程的對應(yīng)關(guān)系

向量組B：b1，b2，…，bl

能由向量組A：1，2，…，m線性表出矩陣K使得B=AK

方程AX=B有解.課堂討論在日常工作、學(xué)習(xí)和生活中，有許多問題都需要用向量來進(jìn)行描述，請同學(xué)