實變函數(shù)對等與基數(shù)教程文件

第二節(jié)對等與基數(shù)(jīshù)第一章集合(jíhé)及其基數(shù)第一頁，共16頁。定義1：設X,Y是兩個(liǎnɡɡè)非空集合，若依照對應法則f，對X中的每個x，均存在Y中唯一的y與之對應，則稱這個對應法則f是從X到Y(jié)的一個映射，記作f:X→Y。X稱為f的定義域。１映射(yìngshè)的定義當映射f使y與x對應時，y稱為(chēnɡwéi)x在映射f下的像。像的全體組成值域。對于某一固定的y，稱適應關(guān)系y=f(x)的x的全體是元素y在映射f下的原像。第二頁，共16頁。注：模糊集：參見：《模糊集合、語言變量及模糊邏輯》，L.A.Zadeh例12、實數(shù)的加法(jiāfǎ)運算+:R×R→R1、定積分運算為從[a,b]上的可積函數(shù)集到實數(shù)集的映射。3、集合A的特征函數(shù)（集合A與特征函數(shù)互相決定）稱為集A的特征函數(shù)，第三頁，共16頁。定義2：設X,Y是兩個(liǎnɡɡè)非空集合，集合X到集合Y上的一一映射f滿足：(1)單射：(2)滿射：既是單射又是滿射的映射(yìngshè)稱為雙射或一一映射(yìngshè)。第四頁，共16頁。2集合運算關(guān)于映射(yìngshè)的性質(zhì)（像集）第五頁，共16頁。集合(jíhé)運算關(guān)于映射的性質(zhì)（原像集）注：6），7）一般(yībān)不能使等號成立，6）等號成立當且僅當f為單射，7）等號成立當且僅當f為滿射證明(zhèngmíng)的過程略第六頁，共16頁。3對等與勢1）設A,B是兩非空集合，若存在(cúnzài)著A到B的一一映射（既單又滿），則稱A與B對等,注：稱與A對等的集合為與A有相同的勢（基數(shù)），記作勢是對有限集元素個數(shù)概念的推廣記作約定第七頁，共16頁。1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...1,3,5,7,9,11,13,15,...2,4,6,8,10,12,14,16...n2n-12n0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,...…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...例2第八頁，共16頁。有限集與無限集的本質(zhì)區(qū)別：無限集可與其某個真子集合有相同(xiānɡtónɡ)多的元素個數(shù)（對等）且一定能做到，而有限集則不可能。例2Galileo在17世紀最先考慮自然數(shù)與自然數(shù)平方的多少(duōshǎo),1870Cantor開始系統(tǒng)考慮.第九頁，共16頁。基數(shù)的大小(dàxiǎo)比較第十頁，共16頁。4Bernstein定理(dìnglǐ)例：由可知，試問如何構(gòu)造兩者間的既單又滿的映射。第十一頁，共16頁。Bernstein定理(dìnglǐ)的證明fλ第十二頁，共16頁。Bernstein定理(dìnglǐ)的證明證明(zhèngmíng):ABgf第十三頁，共16頁。Bernstein定理(dìnglǐ)的證明（續(xù)）ABggfff第十四頁，共16頁。ABfgffgBernstein定理(dìnglǐ)的證明（續(xù)）第十