初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊(cè)第一章三角形的證明3．線段的垂直平分線 全國(guó)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)

北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)線段的垂直平分線課時(shí)練習(xí)一、選擇題1．如圖，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，則△BDC的周長(zhǎng)是（）A.8B.9C.10答案：C解析：解：∵ED是AB的垂直平分線，∴AD=BD，∵△BDC的周長(zhǎng)=DB+BC+CD，∴△BDC的周長(zhǎng)=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故選C.分析：由ED是AB的垂直平分線，可得AD=BD，又由△BDC的周長(zhǎng)=DB+BC+CD，即可得△BDC的周長(zhǎng)=AD+BC+CD=AC+BC.2.如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，則∠ACF的度數(shù)為（）A.48°B.36°C.30°D.24°答案：A解析：解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°－60°－24°×2=72°，∵BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°－24°=48°，故選：A.分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再計(jì)算出∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BF=CF，進(jìn)而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度數(shù).3．如圖，在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分線交另一腰AC于點(diǎn)G，若已知AB=10，△GBC的周長(zhǎng)為17，則底BC的長(zhǎng)為（）A.10B.9C.7D.5答案：C解析：解：如圖，∵在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分線交另一腰AC于點(diǎn)G，∴AG=BG，∵AB=10，△GBC的周長(zhǎng)為17，∴CG+BG+BC=CG+AG+BC=AC+BC=17，AC=AB=10，∴BC=7．故選C.分析：首先根據(jù)題意在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分線交另一腰AC于點(diǎn)G，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AG=BG，繼而可得△GBC的周長(zhǎng)=AC+BC=17，則可求得答案.4．如圖，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E，垂足為D，則∠EBC的度數(shù)是（）A.30°B.40°C.70°D.80°答案：A解析：解：∵AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠EBC=∠ABC－∠ABE=30°．故選A.分析：由AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E，可得AE=BE，繼而求得∠ABE=∠A=40°，然后由AB=AC，求得∠ABC的度數(shù)，繼而求得答案.5．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，且AC=10，BC=4，則△BCE的周長(zhǎng)為（）A.6B.14C.18D.24答案：B解析：解：∵AC=10，BC=4，∴AC+BC=10+4=14，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴△BCE的周長(zhǎng)=（BE+CE）+BC=AC+BC=14．故選B.分析：先根據(jù)AC=10，BC=4，可得出AC+BC的長(zhǎng)，再根據(jù)DE是線段AB的垂直平分線可得到AE=BE，進(jìn)而可得出答案.6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，AB邊的垂直平分線分別交AB、AC于N、M兩點(diǎn)，則△BCM的周長(zhǎng)為（）A.18B.16C.17D.無(wú)法確定答案：C解析：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，由勾股定理得，BC=5，∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，∴MB=MA，∴△BCM的周長(zhǎng)=BC+CM+MB=BC+CM+MA=BC+CA=17，故選：C分析：根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到MB=MA，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)的計(jì)算方法代入計(jì)算即可.7．如果三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)在三角形的外部，那么，這個(gè)三角形是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形答案：C解析：解：如圖，O是邊AB和邊AC的垂直平分線的交點(diǎn)，則AO=OB，AO=OC，所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA，∴∠BAC＞∠ABC+∠ACB，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BAC＞90°，

即△ABC是鈍角三角形，故選C分析：先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC＞90°即可.8.已知MN是線段AB的垂直平分線，C，D是MN上任意兩點(diǎn)，則∠CAD和∠CBD之間的大小關(guān)系是（）A．∠CAD＜∠CBDB．∠CAD=∠CBDC．∠CAD＞∠CBDD.無(wú)法確定答案：B解析：解：∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線，C，D是MN上任意兩點(diǎn)，∴AC=BC，AD=BD，∴∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，如圖1，∠CAD=∠CAB+∠DAB，∠CBD=∠CBA+∠DBA，∴∠CAD=∠CBD；如圖2，∠CAD=∠CAB－∠DAB，∠CBD=∠CBA－∠DBA，∴∠CAD=∠CBD．故選B.分析：首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后由MN是線段AB的垂直平分線，C，D是MN上任意兩點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：AC=BC，AD=BD，則可證得∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，繼而求得答案.9.已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于D，△ABC和△DBC的周長(zhǎng)分別是60cm和38cm，則△ABC的腰和底邊長(zhǎng)分別為（）A．24cm和12cmB．16cm和22cmC．20cm和16cmD．22cm和16cm答案：D解析：解：如圖，連接BD，∵D在線段AB的垂直平分線上，∴BD=AD，∴BD+DC+BC=AC+BC=38cm，且AB+AC+BC=60cm，∴AB=60cm－38cm=22cm，∴AC=22cm，∴BC=38cm－AC=38cm－22cm=16cm，即等腰三角形的腰為22cm，底為16cm，故選D.分析：連接BD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得到BD=AD，可知兩三角形周長(zhǎng)差為AB，結(jié)合條件可求得腰長(zhǎng)，再由周長(zhǎng)可求得BC，可得出答案.10．如圖，地面上有三個(gè)洞口A、B、C，老鼠可以從任意一個(gè)洞口跑出，貓為能同時(shí)最省力地顧及到三個(gè)洞口（到A、B、C三個(gè)點(diǎn)的距離相等），盡快抓到老鼠，應(yīng)該蹲守在（）A．△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)B．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)C．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)D．△ABC三條中線的交點(diǎn)答案：A解析：解：∵三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴貓應(yīng)該蹲守在△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處．故選A分析：根據(jù)題意，知貓應(yīng)該到三個(gè)洞口的距離相等，則此點(diǎn)就是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn).11.三角形內(nèi)有一點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，則這點(diǎn)一定是三角形的（）A．三條中線的交點(diǎn)B．三邊垂直平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn)D．三條角平分線的交點(diǎn)答案：B解析：解：三角形內(nèi)有一點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，則這點(diǎn)一定是三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故選：B.分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得答案.12.△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與直線AC相交所成銳角為40°，則此等腰三角形的頂角為（）A．50°B．60°C．150°D．50°或130°答案：D解析：解：（1）當(dāng)AB的中垂線MN與AC相交時(shí)易得∠A=90°－40°=50°，（2）當(dāng)AB的中垂線MN與CA的延長(zhǎng)線相交時(shí)，易得∠DAB=90°－40°=50°，∴∠A=130°，故選D.分析：此題根據(jù)△ABC中∠A為銳角與鈍角分為兩種情況解答.13.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，直線DE是斜邊AB的垂直平分線交AC于D．若AC=8，BC=6，則△DBC的周長(zhǎng)為（）A．12B．14C．16答案：B解析：解：∵DE是AB的垂直平分線，∴DA=DB，∴△DBC的周長(zhǎng)為CB+CD+DB=CB+CD+DA=BC+CA=6+8=14，故選：B分析：根據(jù)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等得到DA=DB，根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式求出周長(zhǎng).14.如圖，在△ABC中，AB=A，AC=B，BC邊上的垂直平分線DE交BC、BA分別于點(diǎn)D、E，則△AEC的周長(zhǎng)等于（）A．A+BB．A－BC．2A+BD．A+2B答案：A解析：解：∵ED垂直且平分BC，∴BE=CE．∵AB=A，AC=B，∴AB=AE+BE=AE+CE=A．∴△AEC的周長(zhǎng)為：AE+EC+AC=A+B．故選A分析：要求三角形的周長(zhǎng)，知道AC=B，只要求得AE+EC即可，由DE是BC的垂直平分線，結(jié)合線段的垂直平分線的性質(zhì)，知EC=BE，這樣三角形周長(zhǎng)的一部分AE+EC=AE+BE=AB，代入數(shù)值，答案可得.15.如圖，有A、B、C三個(gè)居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購(gòu)物超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（）A．在AC，BC兩邊高線的交點(diǎn)處B．在AC，BC兩邊中線的交點(diǎn)處C．在AC，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處D．在∠A，∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處答案：C解析：解：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．則超市應(yīng)建在AC，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處．故選C.分析：要求到三小區(qū)的距離相等，首先思考到A小區(qū)、B小區(qū)距離相等，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理知滿(mǎn)足條件的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，同理到B小區(qū)、C小區(qū)的距離相等的點(diǎn)在線段BC的垂直平分線上，于是到三個(gè)小區(qū)的距離相等的點(diǎn)應(yīng)是其交點(diǎn)，答案可得.二、填空題16．△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于E，交BC于F．若FC=3cm，則BF=_________．答案：6cm解析：解：連接AF．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°；∵AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，∴CF=AF，∠FAC=30°，∴∠BAF=90°，∴BF=2AF（30°直角邊等于斜邊的一半），∴BF=2CF=6cm．故答案是：6cm

分析：利用輔助線，連接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根據(jù)AB=AC，∠BAC=120°可求出∠B的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)即可求出BF=2AF=2CF=6cm.17.如圖，ED為△ABC的AC邊的垂直平分線，且AB=5，△BCE的周長(zhǎng)為8，則BC=________．

答案：3解析：解：∵ED為AC上的垂直平分線，∴AE=EC，∵AB=AE+EB=5，△BCE的周長(zhǎng)=AE+BE+BC=AB+BC=8，∴BC=8－5=3．故答案為：3分析：根據(jù)ED為AC上的垂直平分線，得出AE=CE，再根據(jù)AB=5，△BCE的周長(zhǎng)為AB+BC=8，即可求得BC.18．如圖，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足為E，DE交AC于D，若△BDC的周長(zhǎng)為16，則BC=__________．

答案：6解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD，即AC=BD+CD，∵AC=10，△BDC的周長(zhǎng)為16，∴BC=16－AC=16－10=6．故答案為：6分析：先根據(jù)DE垂直平分AB可知，AD=BD，即AC=BD+CD，再由AC=10，△BDC的周長(zhǎng)為16即可求出答案.19.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，則∠DBC=答案：15解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°－40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=65°－50°=15°，故答案為：15分析：根據(jù)線段垂直平分線求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形性質(zhì)求出∠ABC，即可得出答案.20.點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，PA=7，則PB=_________．答案：7解析：解：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，PA=7，∴PB=PA=7，故答案為：7分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出PA=PB，代入即可求出答案．三、解答題21.某公園有海盜船、摩天輪、碰碰車(chē)三個(gè)娛樂(lè)項(xiàng)目，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一個(gè)售票中心，使三個(gè)娛樂(lè)項(xiàng)目所處位置到售票中心的距離相等，請(qǐng)?jiān)趫D中確定售票中心的位置．答案：解：如圖，①連接AB，AC，②分別作線段AB，AC的垂直平分線，兩垂直平分線相較于點(diǎn)P，則P即為售票中心解析：由三個(gè)娛樂(lè)項(xiàng)目所處位置到售票中心的距離相等，可得售票中心是海盜船、摩天輪、碰碰車(chē)三個(gè)娛樂(lè)場(chǎng)組成三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn).22．如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于D，E．若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度數(shù)答案：140°解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠B=∠EAB.∵∠C=90°，∠CAE=∠B+30°，∴∠B+30°+∠B+∠B=90°，∴∠B=20°，∴∠AEB=180°－20°－20°=140°.分析：根據(jù)線段垂直平分線求出AE=BE，推出∠B=∠EAB，根據(jù)已知和三角形內(nèi)角和定理得出∠B+30°+∠B+∠B=90°，求出∠B，即可得出答案.23．如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A=40°，求∠DBC的度數(shù)；（3）若AE=6，△CBD的周長(zhǎng)為20，求△ABC的周長(zhǎng)答案：（1）證明：∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形.（2）30°（3）32解析：解：（1）證明：∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=（180°－40°）÷2=70°.∴∠BDC=∠ABC－∠ABD=70°－40°=30°.（3）∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，AE=6，∴AB=2AD=12.∵△CBD的周長(zhǎng)為20，∴AC+BC=20，∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=12+20=32．分析：（1）根據(jù)線段的垂直平分線到線段兩端點(diǎn)的距離相等即可得證；（2）首先利用三角形內(nèi)角和求得∠ABC的度數(shù)，然后減去∠ABD的