初中數(shù)學(xué)浙教版九年級上冊第4章　相似三角形

第4章自我評價一、選擇題(每小題2分，共20分)1．下列四組線段中，不能成比例的是(C)A．a(chǎn)＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a(chǎn)＝1，b＝eq\r(2)，c＝eq\r(6)，d＝eq\r(3)C．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a(chǎn)＝2，b＝eq\r(5)，c＝eq\r(15)，d＝2eq\r(3)2．若eq\f(a＋b,2c)＝eq\f(b＋c,2a)＝eq\f(c＋a,2b)＝k，則k的值為(C)A．1B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2)D．不存在3．如圖，在?ABCD中，E是AB的中點，CE和BD交于點O，設(shè)△OCD的面積為m，△OEB的面積為eq\r(5)，則m＝(B)A．5B．4eq\r(,5)C．3eq\r(,5)D．10(第3題)(第4題)4．如圖，AB∥CD，BO∶CO＝1∶4，E，F(xiàn)分別是OC，OD的中點，則EF∶AB的值為(B)A．1B．2C．3D．45．如圖，五邊形ABCDE和五邊形A1B1C1D1E1是位似圖形，AA1與DD1相交于點P，且PA1＝eq\f(2,3)PA，則AB∶A1B1等于(B)(第5題)A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,2)C．eq\f(3,5)D．eq\f(5,3)6．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高線，DE⊥BC，垂足為E，則圖中與△ABC相似的三角形共有(B)A．5個B．4個C．3個D．2個(第6題)(第7題)7．如圖，在△ABC中，AD和BE是高線，∠ABE＝45°，F(xiàn)是AB的中點，AD與FE，BE分別相交于點G，H，∠CBE＝∠BAD．有下列結(jié)論：①FD＝FE；②AH＝2CD；③BC·AD＝eq\r(2)AE2；④S△ABC＝4S△ADF．其中正確的結(jié)論有(D)A．1個B．2個C．3個D．4個【解】∵在△ABC中，AD和BE是高線，∴∠ADB＝∠AEB＝∠CEB＝90°．∵F是AB的中點，∴FD＝eq\f(1,2)AB．∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝BE，F(xiàn)E＝eq\f(1,2)AB．∴FD＝FE，故①正確．∵∠CBE＝∠BAD，∠CBE＋∠C＝90°，∠BAD＋∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC．∵AD⊥BC，∴BC＝2CD，∠CAD＝∠BAD＝∠CBE．在△AEH和△BEC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEH＝∠BEC，,AE＝BE，,∠EAH＝∠EBC，))∴△AEH≌△BEC(ASA)．∴AH＝BC＝2CD，故②正確．∵∠BAD＝∠CBE，∠ADB＝∠BEC，∴△ABD∽△BCE，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(AD,BE)，即BC·AD＝AB·BE．∵eq\r(2)AE2＝AB·AE＝AB·BE，BC·AD＝AC·BE＝AB·BE，∴BC·AD＝eq\r(2)AE2，故③正確．∵F是AB的中點，BD＝CD，∴S△ABC＝2S△ABD＝4S△ADF，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論為①②③④．(第8題)8．某班布置新年聯(lián)歡會會場時，需要將直角三角形彩紙裁成長度不等的矩形紙條．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝30cm，AC＝30eq\r(2)cm，依次裁下寬為1cm的矩形紙條a1，a2，a3，…，若要使裁得的矩形紙條的長都不小于5cm，則該直角三角形彩紙裁成的矩形紙條總數(shù)最多是(BA．24條B．25條C．26條D．27條【解】∵AB＝30cm，AC＝30eq\r(2)∴BC＝30cm設(shè)能裁n條矩形紙條，則eq\f(30－n,30)＝eq\f(5,30)，解得n＝25．9．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝20°．動點P，Q均在直線BC上運動，且始終保持∠PAQ＝100°．設(shè)PB＝x，QC＝y(tǒng)，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為(A)(第9題)【解】由題意，得∠APB＋∠PAB＝∠ABC＝eq\f(180°－20°,2)＝80°，∠PAB＋∠QAC＝∠PAQ－∠BAC＝80°，∴∠APB＝∠QAC．同理，∠PAB＝∠AQC．∴△PAB∽△AQC．∴eq\f(PB,AC)＝eq\f(AB,QC)．∵AB＝AC＝2，∴PB·QC＝xy＝4，∴y＝eq\f(4,x)(x>0)．故選A．10．如圖，直線l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三個頂點A，B，C分別在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于點D，已知l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，則eq\f(AB,BD)的值為(A)A．eq\f(4\r(2),5)B．eq\f(\r(34),5)C．eq\f(5\r(2),8)D．eq\f(20\r(2),23)(第10題)【解】如解圖，過點B作BF⊥l3于點F，過點A作AE⊥l3于點E，交l2于點G．(第10題解)∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＋∠ACE＝90°．∵∠BCF＋∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF．在△ACE和△CBF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CEA＝∠BFC，,∠ACE＝∠CBF，,AC＝CB，))∴△ACE≌△CBF(AAS)．又∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，∴CE＝BF＝3，CF＝AE＝4，∴AG＝1，BG＝EF＝CF＋CE＝7．∴AB＝eq\r(BG2＋AG2)＝5eq\r(2)．∵l2∥l3，∴eq\f(DG,CE)＝eq\f(AG,AE)＝eq\f(1,4)，∴DG＝eq\f(1,4)CE＝eq\f(3,4)，∴BD＝BG－DG＝7－eq\f(3,4)＝eq\f(25,4)．∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(5\r(2),\f(25,4))＝eq\f(4\r(2),5)．二、填空題(每小題3分，共30分)11．已知eq\f(a,b)＝eq\f(3,2)，那么eq\f(a＋b,a－b)＝__5__．12．若兩個相似三角形的面積之比是1∶4，則這兩個相似三角形的周長之比是__1∶2__．13．在一張比例尺為1∶50000的地圖上，如果一塊多邊形地的面積是320cm2，那么這塊地的實際面積是8×1011cm14．在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，則△ADE與△ABC的面積之比是eq\f(1,4)．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝eq\r(6)，點E在對角線BD上，且BE＝1．8，連結(jié)AE并延長交DC于點F，則eq\f(CF,CD)＝eq\f(1,3)．【解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．又∵AB＝eq\r(3)，BC＝eq\r(6)，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝3．∵BE＝1．8，∴DE＝3－1．8＝1．2．∵AB∥CD，∴eq\f(DF,BA)＝eq\f(DE,BE)，即eq\f(DF,\r(3))＝eq\f,，解得DF＝eq\f(2\r(3),3)．∴CF＝CD－DF＝eq\f(\r(3),3)．∴eq\f(CF,CD)＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq\f(1,3)．(第15題)(第16題)16．已知A，B，C，D四點的坐標(biāo)如圖所示，E是圖中兩條虛線的交點，若△ABC∽△ADE，則點C的對應(yīng)點E的坐標(biāo)是__(4，－3)__．【解】∵點A(－5，3)，B(1，3)，C(1，－1)，D(4，3)，∴AB＝6，AD＝9，BC＝4．∵△ABC∽△ADE，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)，∴DE＝6．∴點E(4，－3)．17．已知一次函數(shù)y＝2x＋4的圖象分別交x軸、y軸于A，B兩點，若該一次函數(shù)的圖象與一個反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點C，且AB＝2BC，則這個反比例函數(shù)的表達式為__y＝eq\f(6,x)__．【解】∵一次函數(shù)y＝2x＋4的圖象分別交x軸、y軸于A，B兩點，∴點A(－2，0)，B(0，4)．(第17題解)如解圖，過點C作CD⊥x軸于點D．易得OB∥DC，∴△ABO∽△ACD，∴eq\f(OB,DC)＝eq\f(AO,AD)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(2BC,2BC＋BC)＝eq\f(2,3)，∴CD＝6，AD＝3，∴OD＝1，∴點C(1，6)．設(shè)反比例函數(shù)的表達式為y＝eq\f(k,x)，則k＝1×6＝6，∴反比例函數(shù)的表達式為y＝eq\f(6,x)．18．如圖，在△ABC中，AB＝12，AC＝6，點D在AB上，點E在AC上．若△ADE與△ABC相似，且相似比為1∶3，則BD的長為8或10．(第18題)【解】∵∠A是公共角，∴當(dāng)eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,3)時，△AED∽△ABC，此時AD＝2，∴BD＝10；當(dāng)eq\f(AE,AC)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)時，△ADE∽△ABC，此時AD＝4，∴BD＝8．綜上所述，BD＝8或10．19．如圖，在Rt△ABC內(nèi)有邊長分別為a，b，c的三個正方形，則a，b，c滿足的關(guān)系式是__b＝a＋c．(第19題)【解】如解圖所示標(biāo)注字母．(第19題解)易得DH∥AB∥QF，∴∠EDH＝∠A，∠GFQ＝∠B．又∵∠EDH＋∠DEH＝90°，∠A＋∠B＝90°，∴∠DEH＝∠GFQ．又∵∠DHE＝∠GQF＝90°，∴△DHE∽△GQF，∴eq\f(DH,GQ)＝eq\f(EH,FQ)，即eq\f(a,b－c)＝eq\f(b－a,c)，化簡，得b2＝(a＋c)b．∵b≠0，∴b＝a＋c．20．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于點H，O是AB的中點，連結(jié)OH，則OH＝eq\f(3\r(5),5)．(第20題)【解】如解圖，在BD上截取BE＝CH，連結(jié)CO，OE．(第20題解)∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，∴BD＝eq\r(10)．∵CH⊥BD，∴∠DCB＝∠DHC＝90°．又∵∠CDH＝∠BDC，∴△CDH∽△BDC，∴eq\f(DH,DC)＝eq\f(CH,BC)＝eq\f(CD,BD)，∴DH＝eq\f(CD2,BD)＝eq\f(\r(10),10)，CH＝eq\f(BC·CD,BD)＝eq\f(3\r(10),10)．∵△ACB是等腰直角三角形，O是AB的中點，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°，∴∠OCH＋∠DCH＝45°，∠ABD＋∠DBC＝45°．∵∠DCH＝∠DBC，∴∠OCH＝∠OBE．在△CHO與△BEO中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CH＝BE，,∠OCH＝∠OBE，,OC＝OB，))∴△CHO≌△BEO(SAS)．∴OE＝OH，∠BOE＝∠COH．∵OC⊥BO，∴∠EOH＝∠COH＋∠COE＝∠BOE＋∠COE＝90°，即△HOE是等腰直角三角形．易得EH＝BD－DH－BE＝eq\r(10)－eq\f(\r(10),10)－eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(3\r(10),5)，∴OH＝eq\f(\r(2),2)EH＝eq\f(3\r(5),5)．三、解答題(共50分)(第21題)21．(6分)如圖，D，E分別是AC，AB上的點，eq\f(AE,AC)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)．已知△ABC的面積為60cm2，求四邊形BCDE的面積．【解】∵eq\f(AE,AC)＝eq\f(AD,AB)，∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB，∴eq\f(S△AED,S△ACB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,AC)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9)，∴eq\f(S△AED,60)＝eq\f(4,9)，∴S△AED＝eq\f(80,3)cm2，∴S四邊形BCDE＝60－eq\f(80,3)＝eq\f(100,3)(cm2)．(第22題)22．(6分)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動點P從點B出發(fā)，在BC上移動至點C停止，記PA＝x，點D到直線PA的距離為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式．【解】在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴AD＝BC＝4，∠DAE＝∠APB．又∵∠AED＝∠B＝90°，∴△DEA∽△ABP，∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(AD,PA)，∴eq\f(y,3)＝eq\f(4,x)，∴y＝eq\f(12,x)．(第23題)23．(8分)如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，點F在邊AC上，DF與BE交于點G，且∠EDF＝∠ABE．求證：(1)△DEF∽△BDE．(2)DG·DF＝BD·EF．【解】(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝∠ACB＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BDE，即∠DEF＝∠BDE．又∵∠EDF＝∠DBE，∴△DEF∽△BDE．(2)由△DEF∽△BDE，得eq\f(DE,BD)＝eq\f(EF,DE)，∴DE2＝BD·EF．由△DEF∽△BDE，得∠DFE＝∠BED，即∠DFE＝∠GED．又∵∠GDE＝∠EDF，∴△DGE∽△DEF，∴eq\f(DG,DE)＝eq\f(DE,DF)，∴DE2＝DG·DF．∴DG·DF＝BD·EF．24．(8分)汪老師要裝修自己帶閣樓的新居(如圖所示為新居剖面圖)．在建造到閣樓的樓梯AC時，為避免上樓時墻角F碰頭，設(shè)計墻角F到樓梯的豎直距離FG為1．75m．他量得客廳高AB＝2．8m，樓梯洞口寬AF＝2m，閣樓陽臺寬EF＝(1)要使墻角F到樓梯的豎直距離FG為1．75m，樓梯底端C到墻角D的距離CD(2)在(1)的條件下，為保證上樓時的舒適感，樓梯的每級臺階高要小于20cm，每級臺階寬要大于20cm(第24題)【解】(1)根據(jù)題意，知AF∥BC，∴∠ACB＝∠GAF．又∵∠ABC＝∠GFA＝90°，∴△ABC∽△GFA，∴eq\f(BC,FA)＝eq\f(AB,GD)，即eq\f(BC,2)＝eq\f,，解得BC＝3．2(cm)．∴CD＝(3＋2)－3．2＝1．8(m)．(2)設(shè)樓梯應(yīng)建n級臺階，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1>，,<，))解得14<n<16．∴樓梯應(yīng)建15級臺階．25．(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝－x＋3與x軸交于點C，與直線AD交于點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(5,3)))，點D的坐標(biāo)為(0，1)．(第25題)(1)求直線AD的函數(shù)表達式．(2)直線AD與x軸交于點B，若點E是直線AD上一動點(不與點B重合)，當(dāng)△BOD與△BCE相似時，求點E的坐標(biāo)．【解】(1)設(shè)直線AD的函數(shù)表達式為y＝kx＋b．將點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(5,3)))，D(0，1)的坐標(biāo)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)k＋b＝\f(5,3)，,b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝1.))∴直線AD的函數(shù)表達式為y＝eq\f(1,2)x＋1．(2)易得直線AD與x軸交于點B(－2，0)，∴OB＝2．∵點D的坐標(biāo)為(0，1)，∴OD＝1．易得y＝－x＋3與x軸交于點C(3，0)，∴OC＝3．∴BC＝5．(第25題解)如解圖．∵△BOD與△BCE相似，∴eq\f(BD,BC)＝eq\f(BO,BE)＝eq\f(OD,EC)或eq\f(BO,BC)＝eq\f(OD,CE′)，∴eq\f(\r(12＋22),5)＝eq\f(2,BE)＝eq\f(1,CE)或eq\f(2,5)＝eq\f(1,CE′)，∴BE＝2eq\r(5)，CE＝eq\r(5)，CE′＝eq\f(5,2)，∴點E′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,2)))，DE＝BE－BD＝eq\r(5)．∵點E在y＝eq\f(1,2)x＋1上，∴可設(shè)點Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x＋1))．則有x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1－1))eq\s\up12(2)＝5，解得x＝2(負值舍去)．∴點E(2，2)．綜上所述，點E(2，2)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,2)))．26．(12分)拋物線y＝ax2＋c與x軸交于A，B兩點，頂點為C，點P在拋物線上，且位于x軸的下方．(1)如圖①，若點P(1，－3)，B(4，0)．①求該拋物線的函數(shù)表達式．②若D是拋物線上一點，且滿足∠DPO＝∠POB，求點D的坐標(biāo)．(2)如圖②，已知直線PA，PB與y軸分別交于E，F(xiàn)兩點．當(dāng)點P運動時，eq\f(OE＋OF,OC)是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．(第26題)【解】(1)①將點P(1，－3)，B(4，0)的坐標(biāo)代入y＝ax2＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋c＝－3，,16a＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,5)，,c＝－\f(16,5).))∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝eq\f(1,5)x2－eq\f(16,5)．(第26題解①)②當(dāng)點D在點P的左側(cè)時，如解圖①．∵∠DPO＝∠POB，∴DP∥OB．易得點D與點P關(guān)于y軸對稱，∴點D(－1，－3)．當(dāng)點D在點P的右側(cè)時，如解圖②，延長PD交x軸于點Q．∵∠DPO＝∠POB，∴QO＝QP．設(shè)