2022-2023學(xué)年天津市河北區(qū)上學(xué)期期末高二年級(jí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué) 解析版

河北區(qū)2023年上學(xué)期期末高二年級(jí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.直線3x＋2y＋6＝0的斜率為k，在y軸上的截距為b，則有()A.k＝－，b＝3 B.k＝－，b＝－2C.k＝－，b＝－3 D.k＝－，b＝－3【答案】C【解析】【分析】把直線的一般式方程化為斜截式方程y=kx+b，即可找出直線的斜率k及與y軸的截距b即可．【詳解】方程變形為：，

∴此直線的斜率，直線在y軸上的截距．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的一般式方程，把直線的一般式方程化為斜截式方程是解本題的關(guān)鍵．2.圓的圓心和半徑分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以該圓的圓心為，，故選：C3.橢圓的離心率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由橢圓方程得出，可求出離心率.【詳解】由橢圓，可得，則所以橢圓的離心率為故選：A4.雙曲線的漸近線方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】由，得．所以雙曲線的漸近線方程是．選C．5.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由拋物線的方程直接求解準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解：由拋物線，可得其準(zhǔn)線方程是.故選：A.6.在等比數(shù)列中，若，，則公比的值等于（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】在等比數(shù)列中，因?yàn)椋?，所以，故選：C.7.等比數(shù)列1，，，，…的前項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件求出等比數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列求和公式求其前項(xiàng)和.【詳解】設(shè)該數(shù)列為，數(shù)列的公比為，由已知，，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，故選：D.8.若雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)橢圓方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知，該橢圓的焦點(diǎn)在y軸，且半焦距為，設(shè)雙曲線方程為：，所以該雙曲線的半焦距為，因?yàn)樵撾p曲線的離心率，所以有，所以，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A9.如圖，長(zhǎng)方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，，，根據(jù)題中條件，得到為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求出解.【詳解】連接，，，在長(zhǎng)方體中，易知，所以為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，又在長(zhǎng)方體中，，所以，，在中，由余弦定理得.因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的取值范圍是，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．10.若直線和圓沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A.0個(gè) B.至多有一個(gè) C.1個(gè) D.2個(gè)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到，求得點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，根據(jù)圓內(nèi)切于橢圓，得到點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€和圓沒有交點(diǎn)，可得，即，所以點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，又因?yàn)闄E圓，可得，所以圓內(nèi)切于橢圓，即點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，所以點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：D.二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分.答案填在題中橫線上.11.在數(shù)列中，，，則數(shù)列的第5項(xiàng)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)及遞推公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，，?故答案為：.12.已知兩點(diǎn)，，則以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，再代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得結(jié)果.【詳解】依題意可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：.13.與的等比中項(xiàng)是________.【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列的定義即可求解.【詳解】設(shè)與的等比中項(xiàng)是，則，即，解得：，故答案為：14.已知傾斜角為45°的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為______；線段的長(zhǎng)為______.【答案】①.②.8【解析】【分析】①根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解；②根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】①因，所以，所以，的焦點(diǎn)為，即為.②傾斜角為45°的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，所以直線的方程為，聯(lián)立，所以，所以，故答案為：815.已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則______；數(shù)列的通項(xiàng)公式______.【答案】①.；②.【解析】【分析】利用代入法，結(jié)合與之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】在中，令中，得；當(dāng)時(shí)，，顯然不適合，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式，故答案為：；三、解答題：本大題共4個(gè)小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.已知等差數(shù)列中，，.（1）求首項(xiàng)和公差；（2）求該數(shù)列的前10項(xiàng)的和的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，，所以有；【小問2詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，所以.17.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)及左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)設(shè)為.（1）求橢圓的方程；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)及離心率直接求解即可；（2）寫出直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式可求得，并可計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，故.【小問1詳解】解：橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，，又離心率為，，橢圓方程為.【小問2詳解】解：，直線的方程為，由，消去，得，所以直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)為，則，，又點(diǎn)到直線的距離，故【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．18.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，與交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）直線與平面所成角的正弦值為；（3）平面與平面夾角的余弦值為.【解析】【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法證明，結(jié)合線面垂直判定定理證明平面；(2)求直線的方向向量和平面的法向量，利用向量夾角公式求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面的法向量，利用向量夾角公式求平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，與交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，所以，，，，，，所以，，，所以，，所以，即，又，平面，所以平面；【小問2詳解】由(1)，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，，所以，，取，可得，所以向量為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為；【小問3詳解】由(1)，，，設(shè)平面的法向量為，則，，所以，，取，則，所以為平面的一個(gè)法向量，又向量為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.19.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是公比不等于1的等比數(shù)列，且，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；，（2），.【解析】【分析】（1）設(shè)出公差與公比，利用等差數(shù)