2022-2023學(xué)年天津市濱海新區(qū)塘沽第一校高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

塘沽第一高級(jí)中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘．考試結(jié)束后，上交答題卡．第Ⅰ卷（選擇題，共45分）一、選擇題（本題共9個(gè)小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．設(shè)則“（）為偶函數(shù)”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分與不必要條件3．函數(shù)在上的大致圖象為（）A． B．C． D．4．下面是追蹤調(diào)查200個(gè)某種電子元件壽命（單位：）頻率分布直方圖，如圖：其中300-400、400-500兩組數(shù)據(jù)丟失，下面四個(gè)說(shuō)法中，正確的是（）（1）壽命超過(guò)的頻率為0.3；（2）用頻率分布直方圖估計(jì)電子元件的平均壽命為：（3）壽命在400-500的矩形的面積可能是0.2A．① B．② C．③ D．以上均不正確5．已知雙曲線（，）的兩條漸近線均和圓：相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓的圓心，則該雙曲線的方程為（）A． B． C． D．6．已知，，，，則下列等式一定成立的是（）A． B． C． D．7．已知奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)．若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)（），若在上有且僅有三個(gè)極值點(diǎn)，則不正確的有（）A．在區(qū)間上的最小值可以等于B．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增C．的最小正周期可能為D．若，將的圖象向右平移個(gè)單位可得到的圖象9．已知函數(shù)，函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共105分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．）10．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則______．11．的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．（用數(shù)字作答）12．已知圓：與圓：外切，此時(shí)直線：被圓所截的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____；若點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．13．從裝有大小完全相同的個(gè)白球，個(gè)紅球和3個(gè)黑球共6個(gè)球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取3次，記摸取的白球個(gè)數(shù)為，若，則______，______．14．如圖，一個(gè)圓柱內(nèi)接于一個(gè)圓錐，且圓錐的軸截面為面積是的正三角形．設(shè)圓柱底面半徑為，高為，則的最小值為，圓柱的最大體積為_(kāi)_____．15．在梯形中，，，，，，分別為線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，，則的取值范圍為_(kāi)_____．三、解答題（本大題5小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）16．（本小題滿(mǎn)分14分）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知．（1）求角的大小；（2）設(shè)，，求和的值．17．（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，，，平面，且，點(diǎn)在棱上（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)為中點(diǎn)．（1）若，求證：直線平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．18．（本小題滿(mǎn)分15分）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若滿(mǎn)足不等式的正整數(shù)恰有3個(gè)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（本小題滿(mǎn)分15分）已知橢圓（）的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過(guò)作垂直于軸的直線交該橢圓于，兩點(diǎn)，直線的斜率為．（1）求橢圓的離心率；（2）橢圓右頂點(diǎn)為，為粗圓上除左右頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，求證：為定值，并求出這個(gè)定值；（3）若的外接圓在處的切線與粗圓交另一點(diǎn)于，且的面積為，求粗圓的方程．20．（本小題滿(mǎn)分16分）已知函數(shù)和，（1）求在處的切線方程；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）若與有相同的最小值．（?。┣蟛⑶蟪?；（ⅱ）證明：存在實(shí)數(shù)，使得和共有三個(gè)不同的根，，（），且，，依次成等差數(shù)列．塘沽第一高級(jí)中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（理科）答案一、選擇題（本題共9個(gè)小題，每小題5分，共45分）1-5DBCCC6-9DBAC二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）．10．11．2812．；413．1；14．；15．（注：兩個(gè)空的答對(duì)一個(gè)空給3分）三、解答題（本大題5小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）16．（本小題滿(mǎn)分14分）（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因?yàn)?，可得．?）在中，由余弦定理及，，，有，故．由，可得．又因?yàn)?，故．因此，，所以?7．（本小題滿(mǎn)分15分）解：（1）取的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以且，又因?yàn)?，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以直線平面．（2）如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又為的中點(diǎn)，則，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為．（3）存在，．假設(shè)存在點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），設(shè)，即，，由（2）得，，，且平面的法向量，，，則，所以，因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，則，整理得：，解得：，故存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為，此時(shí)．18．（本小題滿(mǎn)分15分）解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，因此，；（2）則，兩式作差可得，因此，．（3），滿(mǎn)足不等式的正整數(shù)恰有3個(gè)，得，由于，若為奇數(shù)，則不等式不可能成立．只考慮為偶數(shù)的情況，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，則．所以，又，，，，∴．因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．（本小題滿(mǎn)分15分）（1）由題意可知：，，設(shè)，由題意可知：在第一象限，且，∴，∴，∴，∴；（2）設(shè)，則，所以∴為定值（3）由（1），，所以橢圓方程為：，，，設(shè)的外接圓的圓心坐標(biāo)為，由，得，求得，∴，切線斜率為：，切線直線方程為，即代入橢圓方程中，得，，，，∴，到直線的距離，的面積為，所以有，∴，橢圓方程為：．20．（本小題滿(mǎn)分16分）（1）切線方程：（2）方法一：當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．所以當(dāng)時(shí)，恒成立．令，則設(shè)，所以，所以，所以在單調(diào)遞增．∵，∴方法二：當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．設(shè)，則，（?。┊?dāng)，時(shí)，，故，在上單調(diào)遞增，因此；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令得，．由和得，故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，因此．綜上，的取值范圍是．（3）的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無(wú)最小值，故．的定義域?yàn)?，而．?dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故．當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故．因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為．綜上，．（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為．當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù)．設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2．設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2．當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無(wú)根，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則．設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，（），此時(shí)有兩個(gè)不同的根，（），故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即．[方法二]：由（1）知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；②時(shí)，此時(shí)，故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，（令，則，）所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為．其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，（令，則，）所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為．再次，證明存在，使得：因?yàn)?，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時(shí)取則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不