廣東省梅州市南嶺中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省梅州市南嶺中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.圓x2+y2=4與圓x2+y2﹣10x+16=0的位置關(guān)系為（）A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．外離參考答案：B【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【分析】把第二個(gè)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心A的坐標(biāo)和半徑r，再由第一個(gè)圓的方程找出圓心B的坐標(biāo)和半徑R，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩圓心間的距離d，發(fā)現(xiàn)d=R+r，從而判斷出兩圓位置關(guān)系是外切．【解答】解：把圓x2+y2﹣10x+16=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x﹣5）2+y2=9，∴圓心A的坐標(biāo)為（5，0），半徑r=3，由圓x2+y2=4，得到圓心B坐標(biāo)為（0，0），半徑R=2，兩圓心間的距離d=|AB|=5，∵2+3=5，即d=R+r，則兩圓的位置關(guān)系是外切．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)間的距離公式，以及圓與圓位置關(guān)系的判斷，圓與圓位置關(guān)系的判斷方法為：當(dāng)0≤d＜R﹣r時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=R﹣r時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)R﹣r＜d＜R+r時(shí)，兩圓相交；當(dāng)d=R+r時(shí)，兩圓外切；當(dāng)d＞R+r時(shí)，兩圓相離（d表示兩圓心間的距離，R及r分別表示兩圓的半徑）．2.已知球O與正方體各棱均相切，若正方體棱長(zhǎng)為，則球O的表面積為（

）A.

B.2π

C.4π

D.6π參考答案：C3.已知集合，，則A． B． C．

D．參考答案：A根據(jù)題意得，,所以.故選A.4.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于()A．6

B．7

C．8

D．9參考答案：A略5.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由時(shí)的假設(shè)到證明時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是（

）A. B.C. D.參考答案：B因?yàn)楫?dāng)時(shí)，等式的左邊是，所以當(dāng)時(shí)，等式的左邊是，多增加了，應(yīng)選答案B。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是搞清楚當(dāng)時(shí)，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)時(shí)，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式是，最終確定添加的項(xiàng)是什么，使得問題獲解。6.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)，則當(dāng)

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.若離散型隨機(jī)變量的取值分別為，且，，，則的值為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：DC8.在上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，則的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略9.一班有學(xué)員54人，二班有學(xué)員42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個(gè)班中抽出一部分人參加4×4方隊(duì)進(jìn)行軍訓(xùn)表演，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是()A．9人、7人

B．15人、1人

C．8人、8人

D．12人、4人參考答案：A10.已知直線,平面,若，則與的位置關(guān)系是

(

)A.一定平行

B.不平行

C.平行或相交

D.平行或在平面內(nèi)參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11._________..參考答案：略12.已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是____；若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.參考答案：

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)得到，即得m的取值范圍.【詳解】,令＜0，所以x＜-1.故的單調(diào)遞減區(qū)間為；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，增區(qū)間為（-1，+∞）.所以，所以.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，且過點(diǎn)M(－１，３)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________。 參考答案：略14.向面積為9的ABC內(nèi)任投一點(diǎn)P,那么PBC的面積小于3的概率是

。參考答案：15.若三角形內(nèi)切圓的半徑為r，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則三角形的面積S＝r(a＋b＋c)，根據(jù)類比推理的方法，若一個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為R，四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，則四面體的體積V＝________。參考答案：R(S1＋S2＋S3＋S4)略16.若圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則它的母線長(zhǎng)和底面半徑的比值是________.參考答案：2π17.等軸雙曲線的離心率為_________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=過點(diǎn)（1，e）．（1）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，求的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）根據(jù)題意得出b的值，求出導(dǎo)函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)）令g（x）=，求出導(dǎo)函數(shù)g'（x）=，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的極值即可．【解答】解：（1）函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠0}，f（1）=e，∴b=0，∴f（x）=，f'（x）=，當(dāng)x≥1時(shí)，f'（x）≥0，函數(shù)遞增；當(dāng)x＜0或0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；∴函數(shù)的增區(qū)間為[1，+∞]，減區(qū)間為（﹣∞，0），（0，1）；（2）令g（x）=，g'（x）=，當(dāng)在（0，2）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)在（2，+∞）時(shí)，g（x）＞0，g（x）遞增，∴g（x）=為函數(shù)的最小值．19.隨著智能手機(jī)等電子產(chǎn)品的普及，“低頭族”正成為現(xiàn)代社會(huì)的一個(gè)流行詞．在路上、在餐廳里、在公交車上，隨處可見低頭玩手機(jī)的人，這種“低頭族現(xiàn)象”沖擊了人們面對(duì)面交流的溫情，也對(duì)人們的健康構(gòu)成一定的影響．為此，某報(bào)社發(fā)起一項(xiàng)專題調(diào)查，記者隨機(jī)采訪了M名市民，得到這M名市民每人在一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間（單位：小時(shí)），根據(jù)此數(shù)據(jù)作出頻數(shù)的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率[0，0.5）40.10[0.5，1）mp[1，1.5）10n[1.5，2）60.15[2，2.5）40.10[2.5，3）20.05合計(jì)M1（Ⅰ）求出表中的M，p及圖中a的值；（Ⅱ）試估計(jì)這M名市民在一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的平均時(shí)間（同一組的數(shù)據(jù)用該組的中間值作代表）；（Ⅲ）在所取樣本中，從一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間不少于2小時(shí)的市民中任取2人，求兩人在一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間都在區(qū)間[2，2.5）內(nèi)的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）由頻率=，利用頻率分布表頻率分布直方圖能求出表中的M，p及圖中a的值．（Ⅱ）先求出，由此利用頻率分布直方圖能估計(jì)這M名市民在一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的平均時(shí)間．（Ⅲ）所取樣本中，一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間不少于2小時(shí)的市民共有6人，由此利用列舉法能求出兩人在一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間都在區(qū)間[2，2.5）內(nèi)的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵分組[0，0.5）內(nèi)的頻數(shù)是4，頻率是0.10∴，得M=40…∵頻數(shù)之和為M=40∴4+m+10+6+4+2=40，得m=14∴分組[0.5，1）內(nèi)的頻率…∵a是分組[0.5，1）內(nèi)頻率與組距的商，∴…（Ⅱ），設(shè)這40名市民一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的平均時(shí)間為x，則x=0.25×0.1+0.75×0.35+1.25×0.25+1.75×0.15+2.25×0.1+2.75×0.05=1.225…（Ⅲ）所取樣本中，一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間不少于2小時(shí)的市民共有6人…設(shè)一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間在區(qū)間[2，2.5）內(nèi)的人為a1，a2，a3，a4，在區(qū)間[2.5，3）內(nèi)的人為b1，b2，則任取2人有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共15種情況…其中兩人在一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間都在區(qū)間[2，2.5）內(nèi)有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4）共6種情況…∴兩人在一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間都在區(qū)間[2，2.5）內(nèi)的概率為…【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．20.（12分）求證：

參考答案：21.（10分）在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρsin2θ=4cosθ，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系xOy，曲線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．（1）求C1、C2的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線C1與曲線C2交于A、B兩點(diǎn)，且定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），求|PA|?|PB|的值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（1）曲線C1的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ2sin2θ=4ρcosθ，由此能求出曲線C1的直角坐標(biāo)方程，曲線C2的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出曲線C2的直角坐標(biāo)方程．（2）曲線C2的參數(shù)方程代入y2=4x，得3t2﹣8t﹣32=0，由此能求出|PA|?|PB|的值．【解答】（本題滿分10分）解：（1）∵曲線C1：ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2=4x．∵曲線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．∴曲線C2消去參數(shù)t，得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為=0．（2）曲線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入y2=4x，得=8+2t，即3t2﹣8t﹣32=0，△=（﹣8）2﹣4×3×（﹣32）=448＞0，t1?t2=﹣，∴|PA|?|PB|=|t1|?|t2|=|t1t2|=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查兩線段的乘積的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．

22.已知定點(diǎn)A（1，0）和定直線x＝－1的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，滿足AE⊥AF，動(dòng)點(diǎn)P滿足EP∥OA，F(xiàn)O∥OP（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過點(diǎn)B（0，2）的直線l與（1）中軌跡C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，若∠MAN為鈍角，求直線l的斜率的取值范圍；（3）過點(diǎn)T（－1，0）作直線m與（1）中的軌跡C交于兩點(diǎn)G、H，問在x軸上是否存在一點(diǎn)D，使△DGH為等邊三角形；若存在，試求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：解：（1）設(shè)P（x，y），E（－1，y1），F(xiàn)（－1，y2）（y1、y2均不為0），由EP∥OA得y1＝y(tǒng)，即E（－1，y）.由FO∥OP得y2＝－，即F（―1，―），得AE·AF＝0

（2，－y1）·（2，y2）＝0

y1y2＝－4

y2＝4x（x≠0）所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2＝4x（x≠0）.（3分）（2）設(shè)直線l的方程y＝kx＋2（k≠0），M（，y1），N（，y2）聯(lián)立得消去x得ky2－4y＋8＝0，所以y1＋y2＝，y1y-2＝，且△＝16－32k＞0，即k＜.所以AM·AN＝·＝

＋y1y-2＝＝＋

因?yàn)椤螹AN為鈍角，所以AM·AN＜0，所以－12＜k＜0.（8分）（3）設(shè)m：y＝k(x＋1)（k≠0），代入y2＝4x，得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0，由