廣東省揭陽市錫中學校2022年高一數(shù)學文上學期期末試題含解析

廣東省揭陽市錫中學校2022年高一數(shù)學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在命題“若拋物線的開口向下，則”的逆命題、否命題、逆否命題中結(jié)論成立的是（

）A．都真

B．都假

C．否命題真

D．逆否命題真參考答案：D

解析：原命題是真命題，所以逆否命題也為真命題2.命題“至少有一個整數(shù)，它既能被2整除，又能被5整除”,則該命題是（

）

A.全稱命題

B.特稱命題

C.“”形式

D.“”形式參考答案：B

解析:命題中含有特稱量詞“至少有一個”，因此是特稱命題.3.在平行四邊形ABCD中，，，若，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A4.知向量、、中任意二個都不共線，但與共線，且+與共線，則向量++=（

）A． B． C． D．參考答案：D略5.如圖，已知，用表示，則（

）

A．B．C．D．參考答案：B6.已知定義在上的奇函數(shù)滿足（其中），且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，，則（

）A．

B．C．

D．參考答案：C略7.已知定義在R上的函數(shù)f（x），若f（x）是奇函數(shù)，f（x+1）是偶函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=x2，則fA．﹣1 B．1 C．0 D．20152參考答案：A【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意和函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)通過化簡、變形，求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期性和已知的解析式求出f是奇函數(shù)，f（x+1）是偶函數(shù)，∴f（x+1）=f（﹣x+1），則f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），則奇函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，又∵當0≤x≤1時，f（x）=x2，∴f=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故選：A．8.定義在上的函數(shù)，既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當時，，則的值為（） Ａ．

Ｂ． Ｃ．

Ｄ．參考答案：C略9.函數(shù)f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在區(qū)間（﹣∞，4）上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣3] B．[3，+∞） C．{﹣3} D．（﹣∞，5）參考答案：A【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】先求函數(shù)的對稱軸，然后根據(jù)二次項系數(shù)為正時，對稱軸左邊為減函數(shù)，右邊為增函數(shù)建立不等關(guān)系，解之即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的對稱軸x=1﹣a，又函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，4）上是減函數(shù)，可得1﹣a≥4，得a≤﹣3．故選A．10.在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA，c=3，，則△ABC的面積為（）A． B．2 C． D．參考答案：A【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】由正弦定理化簡已知等式可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，利用三角形內(nèi)角和定理整理可得2sinBcosC=sinB，由sinB≠0，解得cosC=，結(jié)合范圍0＜C＜π，可求C的值．由余弦定理得（a+b）﹣3ab﹣9=0，聯(lián)立解得ab的值，利用三角形面積公式即可得解．【解答】由于（2b﹣a）cosC=ccosA，由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC=sin（A+C），可得：2sinBcosC=sinB，因為sinB≠0，所以cosC=，因為0＜C＜π，所以C=．由余弦定理得，a2+b2﹣ab=9，即（a+b）﹣3ab﹣9=0…①，又…②，將①式代入②得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得ab=或ab=﹣1（舍去），所以S△ABC=absinC=，故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知f（1+x）=x2+2x﹣1，則f（x）=__________．參考答案：x2﹣2考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法．專題：計算題；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：直接利用配方法，求解函數(shù)的解析式即可．解答：解：f（1+x）=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，則f（x）=x2﹣2．故答案為：x2﹣2．點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查計算能力12.如圖，二面角等于120°，A、B是棱上兩點，AC、BD分別在半平面、內(nèi)，，，且，則CD的長等于______．參考答案：2【分析】由已知中二面角α﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上兩點，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由，結(jié)合向量數(shù)量積的運算，即可求出CD的長．【詳解】∵A、B是棱l上兩點，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于120°，且AB＝AC＝BD＝1，∴，60°，∴故答案為：2．【點睛】本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，其中利用，結(jié)合向量數(shù)量積的運算，是解答本題的關(guān)鍵．13.已知：在銳角三角形中，角對應的邊分別是，若，則角為

▲

.參考答案：14.求值：_____________。

參考答案：

15.正三角形ABC的邊長為a，利用斜二測畫法得到的平面直觀圖為△A′B′C′，那么△A′B′C′的面積為．參考答案：【考點】LB：平面圖形的直觀圖．【分析】斜二測畫法得到的平面直觀圖的面積等于原圖形面積乘以．【解答】解：∵正三角形ABC的邊長為a，∴=，∴==．故答案為：．16.某單位200名職工的年齡分布情況如圖2，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機按1－200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號…，196－200號）.若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應是

．若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應抽取

人.

圖2參考答案：37,

20略17.已知函數(shù)f（2x﹣1）=3x+2，則f（5）=．參考答案：11【考點】函數(shù)的值．【專題】計算題；規(guī)律型；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】直接利用函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可．【解答】解：函數(shù)f（2x﹣1）=3x+2，則f（5）=f（2×3﹣1）=3×3+2=11．故答案為：11．【點評】本題考查函數(shù)的解析式的應用，函數(shù)值的求法，考查計算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知動點M到點A(2,0)的距離是它到點B(8,0)的距離的一半，求：(1)動點M的軌跡方程；(2)若N為線段AM的中點，試求點N的軌跡．參考答案：解：(1)設(shè)動點M(x，y)為軌跡上任意一點，則點M的軌跡就是集合P＝{M||MA|＝|MB|}．由兩點間距離公式，點M適合的條件可表示為＝.平方后再整理，得x2＋y2＝16.

可以驗證，這就是動點M的軌跡方程．(2)設(shè)動點N的坐標為(x，y)，M的坐標是(x1，y1)．由于A(2,0)，且N為線段AM的中點，所以x＝，y＝.所以有x1＝2x－2，y1＝2y.①由(1)知，M是圓x2＋y2＝16上的點，所以M的坐標(x1，y1)滿足x＋y＝16.②將①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4.

所以N的軌跡是以(1,0)為圓心，2為半徑的圓．19.（本題10分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是，已知

.（1）判斷△ABC的形狀；（2）若，求角B的大小參考答案：由

則由

則又∵∴

∴由得，由正弦定理由

∴∴B=600

略20.設(shè)數(shù)列{an}的首項a1=1，前n項和Sn滿足關(guān)系式：3tSn﹣（2t+3）Sn﹣1=3t（t＞0，n=2，3，4…）（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列{an}的公比為f（t），作數(shù)列{bn}，使，求數(shù)列{bn}的通項bn；（3）求和：b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1．參考答案：【考點】8E：數(shù)列的求和；88：等比數(shù)列的通項公式．【分析】（1）通過3tSn﹣（2t+3）Sn﹣1=3t與3tSn﹣1﹣（2t+3）Sn﹣2=3t作差、整理得（n=2，3，…），進而可得結(jié)論；（2）通過（1）可知bn=f+bn﹣1，即數(shù)列{bn}是一個首項為1、公差為的等差數(shù)列，進而即得結(jié)論；（3）通過bn=可知數(shù)列{b2n﹣1}和{b2n}是首項分別為1和、公差均為的等差數(shù)列，并項取公因式，計算即得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵a1=S1=1，S2=1+a2，∴a2=又3tSn﹣（2t+3）Sn﹣1=3t

①∴3tSn﹣1﹣（2t+3）Sn﹣2=3t

②①﹣②得：3tan﹣（2t+3）an﹣1=0，∴，（n=2，3，…）∴{an}是一個首項為1、公比為的等比數(shù)列；（2）解：∵f（t）=，∴bn=f+bn﹣1．∴數(shù)列{bn}是一個首項為1、公差為的等差數(shù)列．∴bn=1+（n﹣1）=；（3）解：∵bn=，∴數(shù)列{b2n﹣1}和{b2n}是首項分別為1和，公差均為的等差數(shù)列，于是b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1=b2（b1﹣b3）+b4（b3﹣b5）+b6（b5﹣b7）+…+b2n（b2n﹣1+b2n+1）=﹣（b2+b4+…+b2n）=﹣=﹣（2n2+3n）．【點評】本題考查數(shù)列的通項及前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．21.（12分）已知函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）（1）若f（x0）=2，求f（3x0）（2）若f（x）的圖象過點（2，4），記g（x）是f（x）的反函數(shù)，求g（x）在區(qū)間[]上的值域．參考答案：考點： 函數(shù)的值；反函數(shù)．專題： 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析： （1）由函數(shù)的表達式，得=2，而f（3x0）=，結(jié)合指數(shù)運算法則，得f（3x0）=23=8；（2）由f（x）的圖象過點（2，4），解出a=2（舍負），從而f（x）的解析式為f（x）=2x，其反函數(shù)為g（x）=log2x，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)運算法則，不難得到g（x）在區(qū)間[]上的值域．解答： （1）∵f（x0）==2，∴f（3x0）==（）3=23=8…4分（2）∵f（x）的圖象過點（2，4），∴f（2）=4，即a2=4，解之得a=2（舍負）…6分

因此，f（x）的表達式為y=2x，∵g（x）是f（x）的反函數(shù)，∴g（x）=log2x，…8分∵g（x）區(qū)間[]上的增函數(shù)，g（）=log2=﹣1，g（2）=log22=1，∴g（x）在區(qū)間[]上的值域為[﹣1，1]．…12分點評： 本題給出指數(shù)函數(shù)，在已知圖象經(jīng)過定點的情況下求它的反函數(shù)的值域，著重考查了指對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)和指對數(shù)運算法則等知識，屬于基礎(chǔ)題．22.已知函數(shù)f（x）=sin（x∈R）．任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）﹣m（t）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對稱軸方程（Ⅱ）當t∈[﹣2，0]時，求函數(shù)g（t）的解析式（Ⅲ）設(shè)函數(shù)h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中實數(shù)k為參數(shù)，且滿足關(guān)于t的不等式k﹣5g（t）≤0有解．若對任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求實數(shù)k的取值范圍參考公式：sinα﹣cosα=sin（α﹣）參考答案：【考點】正弦函數(shù)的圖象；三角函數(shù)的最值．【專題】分類討論；綜合法；分類法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和圖象的對稱性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期及對稱軸方程．（Ⅱ）當t∈[﹣2，0]時，分類討論求得M（t）和m（t），可得g（t）的解析式．（Ⅲ）由題意可得函數(shù)H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8在[4，+∞）上的值域是h（x）在[4，+∞）上的值域的子集，分類討論求得k的范圍．【解答】解：（Ⅰ）對于函數(shù)f（x）=sin（x∈R），它的最小正周期為=4，由=kπ+，求得x=2k+1，k∈Z，可得f（x）的對稱軸方程為x=2k+1，k∈Z．（Ⅱ）當t∈[﹣2，0]時，①若t∈[﹣2，﹣），在區(qū)間[t，t+1]上，M（t）=f（t）=sin，m（t）=f（﹣1）=﹣1，g（t）=M（t）﹣m（t）=1+sin．②若t∈[﹣，﹣1），在區(qū)間[t，t+1]上，M（t）=f（t+1）=sin（t+1）=cost，m（t）=f（﹣1）=﹣1，g（t）=M（t）﹣m（t）=1+cos．③若t∈[﹣1，0]，在區(qū)間[t，t+1]上，M（t）=f（t+1）=sin（t+1）=cost，m（t）=f（t）=sint，g（t）=M（t）﹣m（t）=cost﹣sin．綜上可得，g（t）=．（Ⅲ）函數(shù)f（x）=sin的最小正周期為4，∴M（t+4）=M（t），m（t+4）=m（t）．函數(shù)h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，對任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，即函數(shù)H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8在[4，+∞）上的值域是h（x）在[4，+∞）上的