華南農(nóng)大高數(shù)第1章導(dǎo)數(shù)與微分第四講

1、求導(dǎo)運算 第四節(jié)學(xué)習(xí)重點學(xué)習(xí)重點導(dǎo)數(shù)的四則運算法則導(dǎo)數(shù)的四則運算法則復(fù)合函數(shù)，隱函數(shù)，參數(shù)方程函數(shù)的求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)，隱函數(shù)，參數(shù)方程函數(shù)的求導(dǎo)函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)法則( )( ) uu xvxv xx 如果函數(shù)及，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點外）在都點處也在點處可導(dǎo)可導(dǎo)， 且()uvuv()uvu vuv2( )0uu vuvvvv （）()uvwu vwuv wuvw()cucu你記住了嗎？21( )0vvvv （）特別特別推廣推廣2( )34sinfxxx32(2537)yxxx32(2 )(5 )(3 )(7)xxx22 35 23 0 xx 26103

2、xx23( )424fsin2是 常 數(shù)322537yxxxy求例例1 設(shè)設(shè)解解3( )4cossin2f xxx( )()2fxf，求及例例2解解 3( )(sin )fxxx233sincosxxxx()uvuv uv2( )0uu vuvvvv （）2(sin ) cossin (cos )cosxxxxx222cossincosxxx21cos x2sec x2(tan )secxx 2(cot )cscxx 33() sin(sin )xxxx3( )sinf xxx( )fx求例例3 設(shè)設(shè)解解tanyxy求例例4sin(tan )cosxyxx解解導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式(1)seccsc

3、yxyx和求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2(2)lnc os yxxxln (3) xyx(sec )sec tanxxx2 2lncosc oslnsin yxxxxxxxx 21l nxyx (csc )csc cotxxx反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則0000000()()0()()1()()yfxxfxfxxxyyfxyfx如 果 函 數(shù)在 點處 的 導(dǎo) 數(shù) 存 在 ，且，在 點的 某 一 鄰 域 內(nèi) 連 續(xù) ，且 嚴(yán) 格 單 調(diào) ， 則 其 反 函 數(shù)在 對 應(yīng) 的點 可 導(dǎo) ， 且 （ 。推廣：推廣：()()0()()xxyyfxifxfxixyi如 果 函 數(shù)在 區(qū) 間內(nèi) 可

4、 導(dǎo) ， 且，在 區(qū) 間內(nèi) 嚴(yán) 格 單 調(diào) ， 則 其反 函 數(shù)在 對 應(yīng) 的 去 間內(nèi) 可 導(dǎo) ， 且1)( )yfx（例例5 設(shè)設(shè) ，求，求 arccosyxdydx解解 由于由于 的反函數(shù)為的反函數(shù)為 arccosyxcos ,0, xy y所以所以11arccossincosxyy211x （因為（因為 ）(0, )y同理，可求得同理，可求得21cot1arcxx21arccos1xx 21arctan1xx即即21(arcsin)1xx 1logln.lnxxaxxaaaa 由反函數(shù)求導(dǎo)法則和公式推導(dǎo)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 解解 因為因為 的反函數(shù)是的反函數(shù)是xyalogaxy所以所以1

5、1lnln1loglnxxaayaaayya特別特別xxee基本導(dǎo)數(shù)公式基本導(dǎo)數(shù)公式( )0c1()xx (sin )cosxx (cos )sinxx 2(tan )secxx 2(cot )cscxx (sec )sec tanxxx (csc )csc cotxxx ()lnxxaaa ()xxee 1(log)lnaxxa 1(ln)xx 21(arcsin )1xx 21(arccos )1xx 21(arctan )1xx 21(cot )1arcxx 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則( )( )( ) ( ) ug xxyf uug xdyyf gdydudxdudxxx如果

6、函數(shù)在點可導(dǎo),而在對應(yīng)點處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)在點處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 dydydudvdxdudvdx推廣推廣 ( )( ),( ),( ),yfxyf uuvvx 對于復(fù) 合函數(shù)， 設(shè)均可導(dǎo) 則鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌tchain rule證明關(guān)鍵式子證明關(guān)鍵式子yyuxux3,.uyeux 1cosxu1cossinxxcot x323xx e3()xdyedx33()xex323xx e也可以不寫出中間變量也可以不寫出中間變量lnsin ,dyyxdx求例例6 設(shè)設(shè)3,xdyyedx求例例7 設(shè)設(shè)解解ln sinyx可 分 解 為ln,yusinux解解 因為因為d yd yd ud xd ud x

7、所以所以3xye可分解為可分解為d yd yd ud xd ud x所以所以代入代入dydydudvdxdudvdx1( sin )xveu 1( sin)cos()xxxeee tan()xxee 也可以不寫出中間變量也可以不寫出中間變量lncos()xdyedx1cos()cos()xxeetan()xxee 環(huán)環(huán)環(huán)環(huán)相扣相扣1( sin) ()cos()xxxeee 1( sin)cos()xxxeee lncos(),xdyyedx求例例8 設(shè)設(shè)ln,cos ,xyu uv veln cos()xye可 分 解 為解解求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)123(12) yx2231(1 2

8、) ( 4 )3xx1sin()xye1sin211cos()xexx 32(1)12yx1sin(2)xye2(3)(arcsin)2xy 2(4)1lnyx2112arcsin221( )2xyx 2112ln2 1lnyxxx 332() 3(3 )(3 )xxxxxy 232333 ln3(3 )xxxxx233ln33xxx2212112 1xyxxx 211x2221111xxxxx3,3xxyy求例例92ln(1),yxxy求例例10解解解解求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)21(1)(arcsin1)2yxxx22(2)sinsinyxx222112(1)212 1xyxxxx

9、21x22221cos2(2sincos) sinsin22 sinxxyxxxxxx 22221cossin2sinsin2sinxxxxxxx高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 22( )d yfxdx或，或，( )( )( )( )yf xyfxxyfxyf xy 一般地，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是 的函數(shù)，我們把的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作 ，y而則稱為一階導(dǎo)數(shù)33( )d yyfxyydx，或，或。 相似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)相似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)，（n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的n階導(dǎo)階導(dǎo)數(shù)數(shù)，分別記

10、作，分別記作三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)4(4)(4)(4)4,( ) d yyfxyydx或，或。四階導(dǎo)數(shù)四階導(dǎo)數(shù)( )( )( )(1),( ) nnnnnnd yyfxyydx或，或。n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)10981090yxyxyyx 設(shè)， 則， 我們還可以對繼續(xù)求導(dǎo)，（ ） 引例引例 ( )sin()2nyxn( )(sin )sin()2nxxn( )(cos )cos()2nxxn cosyxsinyx cosyx (4)sinyx規(guī)律：規(guī)律：每四階導(dǎo)數(shù)每四階導(dǎo)數(shù)重復(fù)一次；重復(fù)一次；正弦、余弦正弦、余弦交替出現(xiàn)。交替出現(xiàn)。( )sin ,nyxy求例例11解解sin()2xs

11、in()sin(2)2xx 3sin()sin(3)22xx sin(2 )sin(4)2xx 所以所以即即同理可得同理可得常用的高階導(dǎo)函數(shù)常用的高階導(dǎo)函數(shù) (1) nxxee (2) !nnxn (3) lnnnxxaaa 11 !(4) ln(1)11nnnnxx 11!(5) 111nnnnxx 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( , )0( )f x yxyyy x 由方程確定的變量與變 量之間的函數(shù)關(guān)系，稱為隱函數(shù)。0ydexyedx0ydydyeyxdxdx隱函數(shù)的求導(dǎo)方法隱函數(shù)的求導(dǎo)方法將方程兩邊同時對自變量將方程兩邊同時對自變量x求導(dǎo)。求導(dǎo)。0( )ydyexyeyy xdx求由方程所

12、確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 。例例12將方程兩邊同時對將方程兩邊同時對 x 求導(dǎo)，得：求導(dǎo)，得：解解ydyydxxe (0)yxe所以所以注意：注意：y是是x的函數(shù)，的函數(shù)，則則y的函數(shù)的函數(shù)f(y)視為視為x的復(fù)合函數(shù)。的復(fù)合函數(shù)。()yyddyeedxdx57=230( ).xdyyyxxyy xdx 0求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解 將方程兩邊同時對將方程兩邊同時對 x 求導(dǎo)，得：求導(dǎo)，得：46521210dydyyxdxdx 6412152dyxdxy因為當(dāng)因為當(dāng) x = 0時，從原方程可以解得時，從原方程可以解得 y = 0012xdydx所以所以解解 將方程兩邊同時對將方程兩邊同時對 x

13、 求導(dǎo)，得：求導(dǎo)，得：11cos02dydyydxdx22cosdydxy將上式兩邊再對將上式兩邊再對 x 求導(dǎo)得：求導(dǎo)得：2222sin(2cos )dyyd ydxdxy34sin(2cos )yy注意注意 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù)221sin0.2d yxyyydx 求由方程所確定的隱函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù)例例13 冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩邊取對數(shù)，得兩邊取對數(shù)，得lnsinlnyxx將方程兩邊同時對將方程兩邊同時對 x 求導(dǎo)（求導(dǎo)（注意注意 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù)）得：）得：11coslnsinyxxxyx 1(coslnsin)yyxxxx sin1(coslnsin)xxxx

14、xx解法解法2解法解法1sinsin ln()()xxxyxesin ln(sinln )xxexx sinsin(cosln)xxxxxx轉(zhuǎn)化為初等轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)，直接函數(shù)，直接求導(dǎo)法求導(dǎo)法轉(zhuǎn)化為隱函轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)，對數(shù)求數(shù)，對數(shù)求導(dǎo)法導(dǎo)法sin0,1xyxxxy求的導(dǎo)數(shù)例例14一般地，冪指函數(shù)一般地，冪指函數(shù) 的求導(dǎo)，可有兩種方法，的求導(dǎo)，可有兩種方法，都可得到一般公式：都可得到一般公式：( )( )v xyu x( )( )( ) ln( )v xyu xv xu x 如如sinsinsinlnxxxxxxsin1coslnsinxxxxxx練習(xí)練習(xí) 設(shè)設(shè) 33333 ,.xxyxxy求

15、3233 ln33lnxxxyxxx 32333 ln33 ln3 lnxxxxxxxx解答解答對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法1lnln(1)ln(2)ln(3)3yxxx兩邊取對數(shù)，得兩邊取對數(shù)，得兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)（求導(dǎo)（注意注意 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù)）得：）得：11111()3123yyxxx 31(1)(2)111()33123xxyxxxx 對數(shù)求導(dǎo)法常用于冪指函數(shù)和以乘、除、乘方、開方運算對數(shù)求導(dǎo)法常用于冪指函數(shù)和以乘、除、乘方、開方運算為主的函數(shù)的求導(dǎo)。為主的函數(shù)的求導(dǎo)。3(1)(2),3xxyyx設(shè)求例例15解解tan xyxy ( 1 ) 求的 導(dǎo) 數(shù)tantan ln()(

16、)xxxyxesin1xyxxey ( 2 ) 求的 導(dǎo) 數(shù)11lnlnln sinln(1)22xyxxe11 1cos12sin2 1xxxeyyxxe111sin1cot22 1xxxeyxxexxe 解解解解tan2tan(secln)xxxxxx所以所以由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( )( )xtdyytdx由 參 數(shù) 方 程確 定 的 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)( )( )dytdydtdxtdxdt22()dydd ydtdxdxdtdxdydydtdxdtdxdydydtdxdxdt()ddydtdxdxdt注意一階導(dǎo)注意一階導(dǎo)數(shù)也是數(shù)也是 t t 的函數(shù)的

17、函數(shù)11( )( )( )( )xttxytx y是是x的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)t是中間變量是中間變量求由擺線的參數(shù)方程求由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。(sin )(1 cos )xa ttyatttxydydxsin(1cos )atatsin(1cos )ttcot2t22()ddyd ydt ddtxxdxd(cot)2txt21csc2 2(1 cos )att21(1cos )at 解解例例16是是t的函數(shù)，的函數(shù)，是是x的復(fù)合的復(fù)合函數(shù)函數(shù)23331 , xtd ydxytt 設(shè)求解解 21 332221ttydyxtttdxt 221322ttd y

18、tdxx3331344td yttdxx4233442ttt23131322424tttt 311344tttx253 18tt 22( )( )( )( )xftytftf td yftdx求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) （設(shè)存在且不為零）.ttxydydx( )( )( )( )tftftftft22()tddyd ydtxdxdxt1( )ft解解相關(guān)變化率相關(guān)變化率( )( )xx tyy txydxdydtdt 設(shè)及都 可 導(dǎo) ，而 變 量與存 在 某 種 關(guān) 系 ， 從而 變 化 率與間 也 存 在 一 定 關(guān)系 ， 這 兩 個 相 互 依 賴 的 變 化 率 稱 為相 關(guān) 變 化 率 。例例1 1 一個飛機觀察員觀察到一架飛機正在一個飛機觀察員觀察到一架飛機正在的的1143米的高度米的高度向他飛來，仰角為向他飛來，仰角為 ，并以，并以 /s