廣東省廣州市第六十六中學2021-2022學年高三數學理期末試卷含解析

廣東省廣州市第六十六中學2021-2022學年高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.將函數h（x）=2sin（2x+）的圖象向右平移個單位，再向上平移2個單位，得到函數f（x）的圖象，則函數f（x）的圖象與函數h（x）的圖象（）A．關于直線x=0對稱 B．關于直線x=1對稱C．關于點（1，0）對稱 D．關于點（0，1）對稱參考答案：D【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】三角函數的圖像與性質．【分析】通過函數圖象的平移得到函數f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x﹣）+2．對于選項A，h（x）的圖象關于x=0的對稱圖象對應的解析式為h（﹣x）=2sin（﹣2x+）≠f（x），選項A錯誤；對于選項B，h（x）的圖象關于x=1的對稱圖象對應的解析式為h（2﹣x）=2sin（4﹣2x+）=﹣2sin（2x﹣4﹣）≠f（x），選項B錯誤；對于選項C，h（x）的圖象關于點（1，0）的對稱圖象對應的解析式為﹣h（2﹣x）=﹣2sin（4﹣2x+）=2sin（2x﹣4﹣）≠f（x），選項C錯誤；對于選項D，h（x）的圖象關于點（0，1）的對稱圖象對應的解析式為2﹣h（﹣x）=2﹣2sin（﹣2x+）=2sin（2x﹣）+2，選項D正確．【解答】解：將函數h（x）=2sin（2x+）的圖象向右平移個單位，再向上平移2個單位，得到函數f（x）的圖象的解析式為f（x）=2sin[2（x﹣）+]+2=2sin（2x﹣）+2．∵f（x）+h（﹣x）=2sin（2x﹣）+2+2sin（﹣2x+）=2，∴f（x）=2﹣h（﹣x）=2×1﹣h（2×0﹣x）．則函數f（x）的圖象與函數h（x）的圖象關于點（0，1）對稱．故選：D．【點評】本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象變換，三角函數的平移原則為左加右減上加下減，解答此題的關鍵是熟記y=f（x）的圖象與y=2b﹣f（2a﹣x）的圖象關于（a，b）對稱，是中檔題．2.是雙曲線的左、右焦點，過的直線與的左、右兩支分別交于點，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A．4

B．

C．

D．參考答案：B考點：雙曲線的簡單性質3.已知函數，則方程（為正實數）的根的個數不可能為（

）A．3個

B．4個

C．5個

D．6個

參考答案：C4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為

（A）（B）（C）（D）參考答案：B由程序框圖可知，當時，滿足條件，即，所以該程序是求的程序，所以，選B.5.向量若b與b—a的夾角等于，則的最大值為

A．4

B．2

C．2

D．參考答案：A6.已知的值為

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.有關命題的說法錯誤的是A.命題“若

,則”的逆否命題為：“若,則”B.“”是“”的充分不必要條件.C.若為假命題，則、均為假命題.D.對于命題：使得.則：

均有.參考答案：C略8.設等比數列的公比，前項和為，則的值為

A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.已知向量||=10，||=12，且=﹣60，則向量與的夾角為（）A．60° B．120° C．135° D．150°參考答案：B【考點】數量積表示兩個向量的夾角．【分析】利用向量的模、夾角形式的數量積公式，列出方程，求出兩個向量的夾角余弦，求出夾角．【解答】解：設向量的夾角為θ則有：，所以10×12cosθ=﹣60，解得．∵θ∈[0，180°]所以θ=120°．故選B10.已知i是虛數單位．復數，則復數在復平面上對應的點位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，，若，則實數k=

．參考答案：4，則題意，解得.

12.。參考答案：略13.已知函數與的圖象有公共點，且點的橫坐標為2，則_______.參考答案：14.已知f（x）是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，若實數x滿足f（）＜f（﹣1），則x的取值范圍是

．參考答案：【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】利用函數是偶函數得到不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等價為f（|log2|x+1||）＜f（1），然后利用函數在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增即可得到不等式的解集．【解答】解：∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增．∴不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等價為f（|log2|x+1||）＜f（1），即|log2|x+1||＜1∴﹣1＜log2|x+1|＜1，解得x的取值范圍是．故答案為．15.設若，，則的

值是

.參考答案：216.甲烷分子由一個碳原子和四個氫原子構成，其空間結構為正四面體，碳原子位于該正四面體的中心，四個氫原子分別位于該正四面體的四個頂點上，若將碳原子和氫原子均視為一個點（體積忽略不計），設碳原子與每個氫原子的距離都是a，則該正四面體的體積為_________．參考答案：17.若函數在處取極值，則a＝________.參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數在x=1處有極小值—1．

(1)求的值；

(2)求出函數f(x)的單調區(qū)間.

參考答案：（1）a=1,b=-1;(2)單調遞增區(qū)間為，,單調遞增區(qū)間為.

解析：（1）由題易知

（2）由可得或；由可得所以函數的單調遞增區(qū)間為，函數的單調遞增區(qū)間為---------------12分

略19.據氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v（km/h）與時間t（h）的函數圖象如圖所示，過線段OC上一點T（t，0）作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t（h）內沙塵暴所經過的路程s（km）．（1）當t=4時，求s的值；（2）將s隨t變化的規(guī)律用數學關系式表示出來；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由．參考答案：【考點】函數解析式的求解及常用方法．【專題】壓軸題．【分析】（1）設直線l交v與t的函數圖象于D點．由圖象知，點A的坐標為（10，30），故直線OA的解析式為v=3t，當t=4時，D點坐標為（4，12），OT=4，TD=12，S=×4×12=24（km）；（2）分類討論：當0≤t≤10時；當10＜t≤20時；當20＜t≤35時；（3）根據t的值對應求S，然后解答．【解答】解：設直線l交v與t的函數圖象于D點，（1）由圖象知，點A的坐標為（10，30），故直線OA的解析式為v=3t，當t=4時，D點坐標為（4，12），∴OT=4，TD=12，∴S=×4×12=24（km）；

（2）當0≤t≤10時，此時OT=t，TD=3t（如圖1）∴S=?t?3t=當10＜t≤20時，此時OT=t，AD=ET=t﹣10，TD=30（如圖2）∴S=S△AOE+S矩形ADTE=×10×30+30（t﹣10）=30t﹣150當20＜t≤35時，∵B，C的坐標分別為，（35，0）∴直線BC的解析式為v=﹣2t+70∴D點坐標為（t，﹣2t+70）∴TC=35﹣t，TD=﹣2t+70（如圖3）∴S=S梯形OABC﹣S△DCT=（10+35）×30﹣（35﹣t）（﹣2t+70）=﹣（35﹣t）2+675；（3）∵當t=20時，S=30×20﹣150=450（km），當t=35時，S=﹣（35﹣35）2+675=675（km），而450＜650＜675，∴N城會受到侵襲，且侵襲時間t應在20h至35h之間，由﹣（35﹣t）2+675=650，解得t=30或t=40（不合題意，舍去）．∴在沙塵暴發(fā)生后30h它將侵襲到N城．【點評】本題考查的是一次函數在實際生活中的運用，比較復雜，解答此題的關鍵是根據圖形反映的數據進行分段計算，難度適中．20.如圖，正三角形的邊長為，，，分別在三邊，和上，且為的中點，，，．（1）當時，求的大小；（2）求的面積的最小值及使得取最小值時的值。參考答案：（1）；（2）當時，取最小值．分析：在中，由正弦定理得，…．．2分在中，由正弦定理得．…．．4分由，得，整理得，…．．5分所以．…6分（2）……10分當時，取最小值．……12分21.已知橢圓E：+=1（a＞）的離心率e=，右焦點F（c，0），過點A（，0）的直線交橢圓E于P，Q兩點．（1）求橢圓E的方程；（2）若點P關于x軸的對稱點為M，求證：M，F，Q三點共線；（3）當△FPQ面積最大時，求直線PQ的方程．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）由橢圓的離心率公式，計算可得a與c的值，由橢圓的幾何性質可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程計算可得答案；（2）根據題意，設直線PQ的方程為y=k（x﹣3），聯立直線與橢圓的方程可得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，設出P、Q的坐標，由根與系數的關系的分析求出、的坐標，由向量平行的坐標表示方法，分析可得證明；（3）設直線PQ的方程為x=my+3，聯立直線與橢圓的方程，分析有（m2+3）y2+6my+3=0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），結合根與系數的關系分析用y1．y2表示出△FPQ的面積，分析可得答案．【解答】解：（1）由，c=ea=×=2，則b2=a2﹣c2=2，∴橢圓E的方程是．（2）證明：由（1）可得A（3，0），設直線PQ的方程為y=k（x﹣3），由方程組，得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，依題意△=12（2﹣3k2）＞0，得．設P（x1，y1），Q（x2，y2），則，∵，由（2﹣x1）y2﹣（x2﹣2）y1=（2﹣x1）?k（x2﹣3）﹣（x2﹣2）?k（x1﹣3）=，得，∴M，F，Q三點共線．（3）設直線PQ的方程為x=my+3．由方程組，得（m2+3）y2+6my+3=0，依題意△=36m2﹣12（m2+3）＞0，得．設P（x1，y1），Q（x2，y2），則．∴=，令t=m2+3，則，∴，即時，S△FPQ最大，∴S△F