廣東省廣州市市番禺區(qū)南沙中學2021-2022學年高二數學理上學期期末試卷含解析

廣東省廣州市市番禺區(qū)南沙中學2021-2022學年高二數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，是兩個不同的平面，m，n是異面直線且，則下列條件能推出的是（

）A．，

B．，

C．，

D．，參考答案：D2.下面四個推理中，屬于演繹推理的是（）A．觀察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，則72015的末兩位數字為43B．觀察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，可得偶函數的導函數為奇函數C．在平面上，若兩個正三角形的邊長比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似的，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為1：2，則它們的體積之比為1：8D．已知堿金屬都能與水發(fā)生還原反應，鈉為堿金屬，所以鈉能與水發(fā)生反應參考答案：D【考點】F7：進行簡單的演繹推理．【分析】分別判斷各選項，即可得出結論．【解答】解：選項A、B都是歸納推理，選項C為類比推理，選項D為演繹推理．故選D．3.已知三條直線m，n，l，三個平面α，β，γ，下面說法正確的是（）A．?α∥β

B．?m∥n C．?l∥β D．?m⊥γ參考答案：D【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】在A中，α與β相交或平行；在B中，m與n相交、平行或異面；在C中，l與β相交、平行或l?β；在D中，由線面垂直的判定定理得m⊥γ．【解答】解：三條直線m，n，l，三個平面α，β，γ，知：在A中，?α與β相交或平行，故A錯誤；在B中，?m與n相交、平行或異面，故B錯誤；在C中，?l與β相交、平行或l?β，故C錯誤；在D中，?m⊥γ，由線面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正確．故選：D．【點評】本題考查命題真判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．4.已知點分別是橢圓的左，右焦點，過且垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點，若是銳角三角形，則該橢圓的離心率的取值范圍（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B5.已知是實數，設是虛數單位，若則復數是（

）A、 B、

C、 D、參考答案：C6.已知S，T是兩個非空集合，定義集合，則結果是(

)A.T B.S C. D.參考答案：C【分析】根據定義集合分析元素特征即可得解.【詳解】因為表示元素在中但不屬于，那么表示元素在中且在中即，故選C.【點睛】本題考查了集合的運算，結合題中給出的運算規(guī)則即可進行運算,屬于基礎題,7.若f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍是

（）A．﹣1＜a＜2 B．a＞2或a＜﹣1 C．a≥2或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣2參考答案：B【考點】6D：利用導數研究函數的極值．【分析】先求出函數的導數，根據函數有極大值和極小值，可知導數為0的方程有兩個不相等的實數根，通過△＞0，即可求出a的范圍．【解答】解：函數f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1所以函數f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），因為函數有極大值和極小值，所以方程f′（x）=0有兩個不相等的實數根，即x2+2ax+a+2=0有兩個不相等的實數根，∴△＞0，∴（2a）2﹣4×1×（a+2）＞0，解得：a＜﹣1或a＞2故選：B．8.在坐標平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（）A． B． C． D．2參考答案：B【考點】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，根據對應圖形，求出對應的面積即可．【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域，則A（0，1），A到直線y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0的距離d=，由得，即C（，﹣），由，得，即B（﹣1，﹣2），則|BC|==，則△ABC的面積S==，故選：B9.已知函數在區(qū)間(－2,－1)內存在單調遞減區(qū)間，實數a的取值范圍為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據題意求出函數的導數，問題轉化為，根據不等式的性質求出a的范圍即可．【詳解】，由題意得，使得不等式成立，即時，，令，，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故，故滿足條件a的范圍是，故選：C．【點睛】本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及不等式的性質，是一道中檔題．10.已知向量，若-與垂直，則||等于（A）1

（B）

（C）

（D）3參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.正三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱長為3，AB=4，D是A1C1的中點，則AD與面B1DC所成角的正弦值為

；點E是BC中點，則過A，D，E三點的截面面積是

．參考答案：．【考點】直線與平面所成的角；棱柱的結構特征．【分析】以A為原點，在平面ABC內過A作AC的垂直為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AD與面B1DC所成角的正弦值和過A，D，E三點的截面面積．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱長為3，AB=4，D是A1C1的中點，∴以A為原點，在平面ABC內過A作AC的垂直為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，A（0，0，0），D（0，2，3），B1（2，2，3），C（0，4，0），E（，3，0），=（0，2，3），=（2，0，0），=（0，2，﹣3），=（），設平面B1DC的法向量=（x，y，z），則，取z=2，得=（0，3，2），設AD與面B1DC所成角為θ，則sinθ===．∴AD與面B1DC所成角的正弦值為；過D作DF∥AE，交B1C1于F，則梯形AEFD就是過A，D，E三點的截面，∴AE=，DF=，DF到AE的距離d=||?=?=，∴過A，D，E三點的截面面積是S梯形AEFD=（）×=．故答案為：．12.已知P是橢圓上任意一點，EF是圓M：的直徑，則的最大值為

．參考答案：2313.若對個向量，存在個不全為零的實數，使得=成立，則稱向量為“線性相關”.依此規(guī)定，請你求出一組實數的值，它能說明=(1,0),=(1,－1),=(2,2)“線性相關”.的值分別是_____，______，______；（寫出一組即可）.參考答案：14.實數x>0,y>0滿足x+y+xy=1,則x+y的最小值是

參考答案：略15.一個盒子中放有大小相同的3個白球和1個黑球，從中任取兩個球，則所取的兩個球不同色的概率為

▲

．參考答案：略16.若x＞0，y＞0，+=，則x+4y的最小值為

．參考答案：64【考點】基本不等式．【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=，則x+4y=4（x+4y）=4（8+）≥4=64，當且僅當x=4y=32時取等號．故答案為：64．17.已知P是橢圓和雙曲線的一個共公點，F1，F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，e1，e2分別為橢圓和雙曲線的離心率，若，則的最大值是_________.參考答案：【分析】設，利用橢圓和雙曲線的定義，求出的值，利用余弦定理得出等式，利用三角代換求出的最大值。【詳解】設，由橢圓的定義可知：（1），由雙曲線的定義可知：（2），得：，得：，由余弦定理可知：，設所以，當時，的最大值是?！军c睛】本題考查了橢圓、雙曲線的定義。重點考查了三角代換、余弦定理、輔助角公式。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥DC，點E、F、G、M、N分別是PB，AB，BC，PD，PC的中點（1）求證：AN∥平面EFG；（2）求證：平面MNE⊥平面EFG參考答案：解：（1）在中，分別是的中點，所以，所以平面在中，分別是的中點，所以，所以平面又，所以平面平面，所以平面（2）∵、分別是、中點，∴又，∴同理可證．又，、面，故．又、分別為、中點，∴，又，故，∴∵∴

19.如圖，平面α截三棱錐P﹣ABC得截面DEFG，設PA∥α，BC∥α．（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）設PA=6，BC=4，PA與BC所成的角為600，求四邊形DEFG面積的最大值．參考答案：【考點】直線與平面平行的性質；直線與平面平行的判定．【分析】（1）推導出DG∥EF，GF∥DE，由此能證明四邊形DEFG為平行四邊形．（2）設DG=x（0＜x＜6），推導出DE=GF=，∠GDE=60°，四邊形DEFG面積S=DG?DE?sin60°，由此能求出四邊形DEFG面積取最大值．【解答】證明：（1）∵面α截三棱錐P﹣ABC得截面DEFG，PA∥α，BC∥α．平面PAB∩截面DEFG=DG，∴PA∥DG，PA∥EF，∴DG∥EF，同理，GF∥DE，∴四邊形DEFG為平行四邊形．解：（2）設DG=x（0＜x＜6），則，∴，∴DE=GF=，∵PA∥DG，BC∥DE，PA與BC所成的角為600，∴∠GDE=60°，∴四邊形DEFG面積S=DG?DE?sin60°=x??sin60°=﹣（x﹣3）2+3．∴當x=3時，四邊形DEFG面積取最大值3．20.（12分）已知函數⑴求函數在[]上的單調區(qū)間；⑵已知角滿足，，求的值。參考答案：(2)

∵，∴∴（12分）21.三角形ABC中，a（cosB+cosC）=b+c，（1）求證A=（2）若三角形ABC的外接圓半徑為1，求三角形ABC周長的取值范圍．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】計算題；轉化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由余弦定理化簡已知整理可得：（b+c）（a2﹣b2﹣c2）=0，由b+c＞0，可得a2=b2+c2，即可解得A=．（2）利用正弦定理可得a=2，b+c=2sin（B+），結合范圍0，可得2＜b+c，從而可求三角形ABC周長的取值范圍．【解答】解：（1）證明：∵a（cosB+cosC）=b+c，∴由余弦定理可得：a+a=b+c，∴整理可得：（b+c）（a2﹣b2﹣c2）=0，∵b+c＞0，∴a2=b2+c2，∴A=，得證．（2）∵三角形ABC的外接圓半徑為1，A=，∴a=2，∴b+c=2（sinB+cosB）=2sin（B+），∵0，＜B+＜，∴2＜b+c，∴4＜a+b+c≤2，∴三角形ABC周長的取值范圍是：（4，2+2]．【點評】本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，正弦函數的圖象和性質，屬于基本知識的考查．22.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱長均為2，側面BCC1B1⊥底面ABC，側棱BB1與底面ABC所成的角為60°．（Ⅰ）求直線A1C與底面ABC所成的角；（Ⅱ）在線段A1C1上是否存在點P，使得平面B1CP⊥平面ACC1A1？若存在，求出C1P的長；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）過B1作B1O⊥BC于O，證明B1O⊥平面ABC，以O為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，求出A，B，C，A1，B1，C1坐標，底面ABC的法向量，設直線A1C與底面ABC所成的角為θ，通過，求出直線A1C與底面ABC所成的角．（Ⅱ）假設在線段A1C1上存在點P，設=，通過求出平面B1CP的法向量，利用求出平面ACC1A1的法向量，通過=0，求出．．求解．【解答】（本題滿分14分）解：（Ⅰ）過B1作B1O⊥BC于O，∵側面BCC1B1⊥平面ABC，∴B1O⊥平面ABC，∴∠B1BC=60°．又∵BCC1B1是菱形，∴O為BC的中點．…以O為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，則，B（