廣東省廣州市東風(fēng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

廣東省廣州市東風(fēng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量等于

（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°參考答案：B略2.

是成立的是（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既非充分又非必要條件參考答案：答案:A3.設(shè)隨機(jī)變量，且，則實(shí)數(shù)的值為(

)A．4

B．6

C．8

D．10參考答案：A由題意知.4.已知點(diǎn)，若為雙曲線的右焦點(diǎn)，是該雙曲線上且在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．

C．

D．參考答案：B5.滿足，且關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對的個(gè)數(shù)為（

）A.14

B.13

C.12

D.10參考答案：B6.已知為的重心，設(shè)，則＝（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C7.已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t正實(shí)數(shù)等于A、1

B、2

C、3

D、4參考答案：B8.若，其中，是虛數(shù)單位，則（

）A．0 B．2 C． D．5參考答案：D略9.函數(shù)y=的圖象大致是（）A． B．C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷．【解答】解：當(dāng)x＞0時(shí)，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜時(shí)，函數(shù)y單調(diào)遞減，當(dāng)x＞，函數(shù)y單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)y為偶函數(shù)，故選：D10.函數(shù)的值域?yàn)锳．[0,4]

B．(－∞,4]

C．[0,+∞)

D．[0,2]參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(選修4—1幾何證明選講）如圖，兩個(gè)等圓⊙與⊙外切，過作⊙的兩條切線是切點(diǎn)，點(diǎn)在圓上且不與點(diǎn)重合，則=

.參考答案：略12.若，且，則參考答案：13.由曲線y＝｜x｜，y＝－｜x｜，x＝2，x＝－2同成的封閉圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V，則V＝____________．

參考答案：略14.設(shè)是非空集合，定義．已知，則___________．參考答案：考點(diǎn)：1.新定義問題；2.集合的運(yùn)算.15.在工程技術(shù)中，常用到雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)，雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)與我們學(xué)過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多相類似的性質(zhì)，請類比正、余弦函數(shù)的和角或差角公式，寫出關(guān)于雙曲正弦、雙曲余弦函數(shù)的一個(gè)正確的類似公式

．參考答案：填入，，，四個(gè)之一即可．略16.設(shè)a>1．若曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積為2，則a=

．參考答案：17.已知的取值范圍是

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，點(diǎn)M在線段EC上．（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M為EC中點(diǎn)時(shí)，求證：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）當(dāng)平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐M﹣BDE的體積．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定．【分析】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，驗(yàn)證，即，從而可證BM∥平面ADEF；（II）利用平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為，確定點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，從而可得S△DEM=2，AD為三棱錐B﹣DEM的高，即可求得三棱錐M﹣BDE的體積．【解答】（I）證明：以直線DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），所以M（0，2，1）．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又是平面ADEF的一個(gè)法向量．∵，∴∴BM∥平面ADEF﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）解：設(shè)M（x，y，z），則，又，設(shè)，則x=0，y=4λ，z=2﹣2λ，即M（0，4λ，2﹣2λ）．設(shè)是平面BDM的一個(gè)法向量，則取x1=1得即

又由題設(shè)，是平面ABF的一個(gè)法向量，﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴|cos＜，|==，∴λ=﹣﹣即點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，此時(shí)，S△DEM=2，AD為三棱錐B﹣DEM的高，∴VM﹣BDE=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.已知函數(shù)

（1）當(dāng)a=-4時(shí)，求的最小值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)t≥1時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，參考答案：略20.設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m對一切實(shí)數(shù)x均成立，求m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）對x討論，分當(dāng)x≥4時(shí)，當(dāng)﹣≤x＜4時(shí)，當(dāng)x＜﹣時(shí)，分別解一次不等式，再求并集即可；（2）運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)，求得F（x）=f（x）+3|x﹣4|的最小值，即可得到m的范圍．【解答】解：（1）當(dāng)x≥4時(shí)，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立；當(dāng)﹣≤x＜4時(shí)，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立；當(dāng)x＜﹣時(shí)，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．綜上，原不等式的解集為{x|x＞1或x＜﹣5}；（2）令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，當(dāng)﹣時(shí)等號(hào)成立．即有F（x）的最小值為9，所以m≤9．即m的取值范圍為（﹣∞，9]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對值不等式的解法，以及不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運(yùn)用分類討論的思想方法和絕對值不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.某公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時(shí)出售變頻空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況（如資金、勞動(dòng)力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達(dá)到最大．已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動(dòng)力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表： 試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤達(dá)到最大，最大利潤是多少？ 資金單位產(chǎn)品所需資金（百元）空調(diào)機(jī)洗衣機(jī)月資金供應(yīng)量（百元）成本3020300勞動(dòng)力（工資）510110單位利潤68

參考答案：【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用． 【分析】利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實(shí)際問題屬于直線方程的一個(gè)應(yīng)用．本題主要考查找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)，準(zhǔn)確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解． 【解答】解：設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是x、y臺(tái)，總利潤是P，則P=6x+8y， 由題意有30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均為整數(shù)． 由圖知直線y=﹣x+P過M（4，9）時(shí)，縱截距最大． 這時(shí)P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96（百元）． 故當(dāng)月供應(yīng)量為空調(diào)機(jī)4臺(tái)，洗衣機(jī)9臺(tái)時(shí)，可獲得最大利潤9600元． 【點(diǎn)評(píng)】用圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解． 22.如圖,多面體中,四邊形是菱形,,,相交于,∥,點(diǎn)在平面上的射影恰好是線段的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成角(銳角)的余弦值．參考答案：(Ⅰ)取AO的中點(diǎn)H,連結(jié)EH,則EH⊥平面ABCD,因?yàn)锽D在平面ABCD內(nèi),所以EH⊥BD.又菱形ABCD中,AC⊥BD且EH∩AC=H,EH,AC在平面EACF內(nèi)所以BD⊥平面EACF,即BD⊥平面ACF.(Ⅱ)由(Ⅰ)知EH⊥平面ABCD,以H為原點(diǎn),如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz因?yàn)镋H⊥平面ABCD,所以∠EAH為AE與平面ABCD所成的角,即∠EAH＝45°；又菱形ABCD的邊長為4,則===.各點(diǎn)坐標(biāo)分別為,E(0,0,),易知為平面ABCD的一個(gè)法向量,記n=,=,

=,因?yàn)镋F//AC,

所以,設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為

(注意：此處