簡單幾何體表面積體積

簡單幾何體的表面積與體積P基礎(chǔ)知識,自主學(xué)習(xí)I要點梳理I1．柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積圓柱圓錐圓臺面積體積直棱柱正棱錐正棱臺S側(cè)=2nrhS=nrl

側(cè)V=Sh=nr2h11V=3Sh=3nr2h=3nr212——r2側(cè)=*+r2))S=Ch

側(cè)S側(cè)1C’S側(cè)=1(C+C)h'S球面=4nR2S上+S下+S上SPh3n:(r2+吟+r1r2)hV=ShV=3ShV=3(S上+S下+S上S下)hV=3nR32.2.幾何體的表面積（1）棱柱、棱錐、（2）圓柱、圓錐、棱臺的表面積就是各面面積之和.它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和．圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和．［難點正本疑點清源］1.幾何體的側(cè)面積和全面積幾何體的側(cè)面積是指（各個）側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面積之和．對側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開圖來進行．要特別留意根據(jù)幾何體側(cè)面展開圖的平面圖形的特點來求解相關(guān)問題．如直棱柱（圓柱）側(cè)面展開圖是一矩形，則可用矩形面積公式求解．再如圓錐側(cè)面展開圖為扇形，此扇形的特點是半徑為圓錐的母線長，圓弧長等于底面的周長，利用這一點可以求出展開圖扇形的圓心角的大小.2．等積法等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形（或幾何體）的面積（或體積）通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高，這一方法回避了具體通過作圖得到三角形（或三棱錐）的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值．I基礎(chǔ)自測I.圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是m3..設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m）m3.俯覘圖主視圖3"左視圖.表面積為3n的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為.一個球與一個正方體的各個面均相切，正方體的邊長為a，則球的表面積為.如圖所示，在棱長為俯覘圖主視圖3"左視圖.表面積為3n的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為.一個球與一個正方體的各個面均相切，正方體的邊長為a，則球的表面積為.如圖所示，在棱長為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是A1B1上一點，且PB1=4A1B1,則多面體P—BB1C1C的體積為.題型分類?深度剖析登心免要聆聽名師教你解題題型一簡單幾何體的表面積1例1一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．48C．48＋817B．32＋817D．80思維啟迪：先通過三視圖確定空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后再求表面積．探究提高(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.變式訓(xùn)統(tǒng)1一個幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的表面積是cm2.俯視用俯視用題型二簡單幾何體的體積【例2如圖所示，已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點，求四棱錐C1—B1EDF的體積.思維啟迪：思路一：先求出四棱錐C1—B1EDF的高及其底面積，再利用棱錐的體積公式求出其體積；思路二：先將四棱錐C1—B1EDF化為兩個三棱錐B1—C1EF與D—C1EF，再求四棱錐C1—B1EDF的體積.

解方法一連接A1C1,B1D1交于點O1,連接B1D,EF，過O1作O1H±B1D于H.VEF//A1c1,且A1C19平面B1EDF,AA1C1/平面B1EDF.AC1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離.V平面B1D1D，平面B1EDF,平面B1D1Dn平面B1EDF=B1D,AO1H，平面B1EDF，即O1H為棱錐的高.*/△B1O1Hs^B1DD1,.BQ,?DD,6a.AO1H=1B11D1=a.AVC1—B1EDF=；S四邊形B1EDF?O1H11=32EF?B1D?O1H1161-3"2.2a?3a?6a-6a3.方法二連接EF,B1D.設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1,D到平面C1EF的距離為h2，則h1+h2=B1D1=2a.由題意得，VC1—B1EDF=VB1—C1EF+VD—C1EF二；?S△C1EF?(h1+h2)=11a3.探究提高在求解一些不規(guī)則的幾何體的體積以及兩個幾何體的體積之比時,常常需要用到分割法．在求一個幾何體被分成兩部分的體積之比時,若有一部分為不規(guī)則幾何體,則可用整個幾何體的體積減去規(guī)則幾何體的體積求出其體積.受式尚博工已知三棱錐S—ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為(徑，且SC=2,則此棱錐的體積為(2A.6B.63)3222題型三幾何體的展開與折疊問題【例3⑴如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交一、一7：于O,剪去△AOB,將剩余部分沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，則以A、B、C、D、O為〃頂點的四面體的體積為(2)有一根長為3ncm，底面直徑為2cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為cm.思維啟迪：(1)考慮折疊后所得幾何體的形狀及數(shù)量關(guān)系；(2)可利用圓柱的側(cè)面展開圖．(2)研究幾何體表面上兩點的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的最短距離問題．變式訓(xùn)練鼻如圖，已知一個多面體的平面展開圖由一邊長為1的正思想方法,感悟提高方形和4思想方法,感悟提高方法與技巧1．對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點與平面幾何知識來解決．2．要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．3．求幾何體的體積，要注意分割與補形．將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．4．一些幾何體表面上的最短距離問題，常常利用幾何體的展開圖解決．練出高分A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練（時間：35分鐘，滿分：57分）一、選擇題（每小題5分，共20分）1．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為3．正六棱柱的高為6，底面邊長為4，則它的全面積為A．48(3＋3)C．24(6＋2)B．48(3＋23)D．1444.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是A．28＋65B．30＋65C．56＋125D．60＋125二、填空題（每小題5分，共15分）5.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,E,F分別為線段AA1,B1C上的點，則三棱錐D1-EDF的體積為6．6．主視圖一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為左視圖螭視網(wǎng)已知三棱錐A—BCD的所有棱長都為2,則該三棱錐的外接球的表面積為.「三、解答題（共22分）（10分）如圖所示，在邊長為5+2的正方形ABCD中，以A為圓心畫一個扇形，以O(shè)為圓心畫一個圓，M,N,K為切點，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓O為圓錐底面，圍成一個圓錐，求圓錐的全面積與體積.（12分）有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為廠的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切,然后將球取出,求這時容器中水的深度.B組專項能力提升

（時間：25分鐘，滿分：43分）一、選擇題（每小題5分，共15分）.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個半圓，則該幾何體的表面積為（B.nB.n+3C.；n+3D：n+3.在四棱錐E—ABCD中，底面ABCD為梯形，AB//CD,2AB=3CD,M為AE的中點，設(shè)E—ABCD的體積為％那么三棱錐M—EBC的體積為（）A.25VB.13VC.23VD.130V.已知球的直徑SC=4,A、B是該球球面上的兩點，AB=3,ZASC=ZBSC=30°,則棱錐S—ABC的體積為D．1A．33B．23C.3D．1二、填空題（每小題5分,共15分）.如圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為2cm,高為5cm,則一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點A1的最短路線的長為cm.5．已知一個幾何體是由上、下兩部分構(gòu)成的組合體,其三視圖如圖所示,若圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長為5,則該幾何體的體積是．6.如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，