積分變換第4版講義12Fourier變換

Fourier變換ssss1.2本節(jié)內(nèi)容四、小結(jié)一、Fourier變換的概念二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換三、非周期函數(shù)的頻譜1.若函數(shù)f(t)滿足Fourier積分定理的條件,則在f(t)的連續(xù)點(diǎn)處,有f(t)的Fourier變換記作:F(w)叫做f(t)的象函數(shù).一、Fourier變換的概念F(w)的Fourier逆變換記作:f(t)叫做F(w)的象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)構(gòu)成了一個(gè)Fourier變換對(duì).一、Fourier變換的概念象原函數(shù).2、Fourier變換的奇偶虛實(shí)性質(zhì)1)F(w)和f(t)有相同的奇偶性.2)f(t)為t的實(shí)值函數(shù)的充要條件是F(w)的實(shí)部為w的偶函數(shù),虛部為w的奇函數(shù).3)f(t)為t的虛值函數(shù)的充要條件是F(w)的實(shí)部為w的奇函數(shù),虛部為w的偶函數(shù).一、Fourier變換的概念3.Fourier正弦變換及正弦逆變換:當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí),Fourier正弦變換一、Fourier變換的概念Fourier正弦逆變換一、Fourier變換的概念當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí),Fourier余弦變換一、Fourier變換的概念Fourier余弦逆變換一、Fourier變換的概念例1解求函數(shù)的Fourier變換及其積分表達(dá)式,有根據(jù)的積分性質(zhì),得例1利用奇偶函數(shù)因此,得例1例2解求函數(shù)的Fourier變換及其積分表達(dá)式,有令例2則為復(fù)平面s上的解析函數(shù),取如圖的閉曲線由Cauchy積分定理有:例2實(shí)軸虛軸矩形當(dāng)時(shí),有例2同理,當(dāng)時(shí),有例2即鐘形脈沖函數(shù)的Fourier變換為例22)鐘形脈沖函數(shù)的積分表達(dá)式積分性質(zhì),有由例2利用奇偶函數(shù)的例2例3解求函數(shù)的正弦變換和余弦變換.由正弦變換為余弦變換為例3在原來(lái)電流為零的電路中,某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t)、以q(t)表示上述電路中到時(shí)刻t為止通過(guò)導(dǎo)體截面的電荷函數(shù),則引例二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換由于電流強(qiáng)度是電荷函數(shù)對(duì)時(shí)間的變化率,即所以,當(dāng)t0時(shí),i(t)=0,由于q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在、二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù),則得這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示上述電路的電流強(qiáng)度、為了確定這種電路上的電流強(qiáng)度,必須引進(jìn)一個(gè)新的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱為Dirac函數(shù),簡(jiǎn)單地記成d-函數(shù)、二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換對(duì)于任何一個(gè)無(wú)窮可微的函數(shù)f(t),如果滿足則稱

的弱極限為d-函數(shù),記為d(t).二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換表明d-函數(shù)可以看成一個(gè)普通函數(shù)序列的弱極限.的圖形二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換d

-函數(shù)的定義:任何，有工程上,常將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù).可將d-函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線段表示,這個(gè)線段的長(zhǎng)度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強(qiáng)度.二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換1.d-函數(shù)的性質(zhì):證明:若

為無(wú)窮次可微的函數(shù),則有1)篩選性質(zhì):二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換由于

為無(wú)窮次可微的函數(shù),則f(t)是連續(xù)函數(shù),由積分中值定理,有二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換同理可得2)d-函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若f(t)為無(wú)窮次可微的函數(shù),則有同理可得二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換3)d

-函數(shù)是偶函數(shù):證明:二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換4)d-函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù):稱為單位階躍函數(shù)、5)時(shí)間尺度變換性質(zhì):其中為任意正數(shù).二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換6)卷積性質(zhì)7)乘以時(shí)間函數(shù)的性質(zhì)其中為任意常數(shù).為在處連續(xù)的任意函數(shù).二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換1)

的Fourier變換對(duì)2.d

-函數(shù)的Fourier變換二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換可見(jiàn),單位脈沖函數(shù)d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一個(gè)Fourier變換對(duì).2)

的Fourier變換對(duì)二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換可見(jiàn),與構(gòu)成了一個(gè)Fourier變換對(duì).二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換例4解證明單位階躍函數(shù)的Fourier變換為則例4例4表明

的Fourier變換為例4例5解求正弦函數(shù)的Fourier變換.根據(jù)Fourier變換的公式,有例5三、非周期函數(shù)的頻譜1.周期函數(shù)的頻譜對(duì)于以為周期的非正弦函數(shù)，它的第次諧波的振幅為其中在復(fù)指數(shù)形式中，第次諧波且三、非周期函數(shù)的頻譜對(duì)于以為周期的非正弦函數(shù)，它的第次諧波的振幅為各次諧波的振幅隨頻率變化的分布情況.頻譜圖的概念：頻率和振幅的關(guān)系圖.頻譜的圖形是不連續(xù)的，故稱為離散頻譜.表明了一個(gè)非正弦周期函數(shù)包含了哪些頻率分量及各分量占的比重.三、非周期函數(shù)的頻譜描述了離散頻譜的性質(zhì)：頻譜圖形關(guān)于直線對(duì)稱.相交頻譜是的奇函數(shù)，即三、非周期函數(shù)的頻譜2)非周期函數(shù)的頻譜非周期函數(shù),當(dāng)它滿足Fourier積分定理中的條件時(shí),則在的連續(xù)點(diǎn)處可表示為其中為它的Fourier變換.三、非周期函數(shù)的頻譜在頻譜分析中,Fourier變換

稱為的頻譜函數(shù),而頻譜函數(shù)的模稱為的振幅頻譜.由于是連續(xù)變化的,因此稱為連續(xù)頻譜.對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)作Fourier變換,就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜函數(shù).三、非周期函數(shù)的頻譜非周期函數(shù)信號(hào)的頻譜性質(zhì)：是的奇函數(shù)，即隨的增大而減小.三、非周期函數(shù)的頻譜例6解作圖中所示單個(gè)矩形脈沖的頻譜圖.根據(jù)上面的討論,單個(gè)矩形脈沖的頻譜函數(shù)為再根據(jù)振幅頻譜作出頻譜圖例6例7解作指數(shù)衰減函數(shù)的頻譜圖.由得因