高中數(shù)學(xué)人教A版第三章不等式 省賽獲獎(jiǎng)

證明：；若：，求證：；若：，求證：；若：，且，求：的取值范圍；若：是的三邊，求證：；當(dāng)時(shí)，求證：；7、若，求的值域；8、求函數(shù)的最大值和最小值；9、若，求證：；10、若，且，試求：的取值范圍11、若，且，求的最小值12、若，且，求的最大值和最小值；13、若，，且滿足，，，求：的值；14、求證：；15、當(dāng)時(shí)，求證：；16、求證：；17、求證：；18、已知：,求證：；19、已知：，求證：；20、已知：，求證：；21、已知：，求證：；22、設(shè)：，求證：；23、已知：，求證：.【解答】1.證明：；1、證明：.從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮后，進(jìn)行裂項(xiàng)求和.另：本題也可以采用積分法證明.構(gòu)建函數(shù)：，則在區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù).于是：從第二項(xiàng)開(kāi)始用積分，當(dāng)函數(shù)是減函數(shù)時(shí)，積分項(xiàng)大于求和項(xiàng)時(shí)，積分限為；積分項(xiàng)小于求和項(xiàng)時(shí)，積分限為.若：，求證：；2、證明：，即：則：，，即：，即：.立方和公式以及均值不等式配合.另：本題也可以采用琴生不等式證明.構(gòu)建函數(shù)：，則在在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，且是下凸函數(shù).對(duì)于此類函數(shù)，琴生不等式表述為：函數(shù)值得平均值不小于平均值的函數(shù)值.即：對(duì)于本題：即：即：，即：，即：琴生不等式可秒此題.3.若：，求證：；3、由：得：，則：，即：故：.從一開(kāi)始就放縮，然后求和.另：本題也可以采用不等式性質(zhì)證明.所證不等式中的任何一項(xiàng)如第項(xiàng)，均滿足，當(dāng)有項(xiàng)累加時(shí)，不等式兩個(gè)邊界項(xiàng)乘以倍，則不等式依然成立.即：大于最小值得倍，小于最大值的倍.另外，的最大值是，本題有些松.4.若：，且，求：的取值范圍；4、解：，令：，則上式為：.解之得：.均值不等式和二次不等式.若：是的三邊，求證：；5、證明：構(gòu)造函數(shù)，則在時(shí)，為增函數(shù).所以，對(duì)于三角形來(lái)說(shuō)，兩邊之和大于第三邊，即：，那么，，即：..構(gòu)造函數(shù)法，利用單調(diào)性，再放縮，得到結(jié)果.另：不等式的入門證法就是“作差法”和“作商法”.“作差法”即兩項(xiàng)相減得差與0比較；作商法”即同號(hào)兩項(xiàng)相除得商與1比較.本題亦可以采用“作差法”.6.當(dāng)時(shí)，求證：；6.證明：當(dāng)時(shí)，，都擴(kuò)大倍得：，取倒數(shù)得：，裂項(xiàng)：，求和：，即：先放縮，裂項(xiàng)求和，再放縮.另：本題也可以采用積分證明.OAABDCEFOAABDCEFGH由面積關(guān)系得到：即：即：本式實(shí)際上是放縮法得到的基本不等式，同前面裂項(xiàng)式.后面的證法同前.7、若，求的值域；7、解：設(shè)：，，則：，，代入向量不等式：得：，故：.這回用絕對(duì)值不等式.本題另解.求函數(shù)的極值，從而得到不等式.求導(dǎo)得：則：，故函數(shù)的極值出現(xiàn)在.函數(shù)為奇函數(shù)，故我們僅討論正半軸就可以了，即在.由于是奇函數(shù)，故在，故：.8、求函數(shù)的最大值和最小值；8、解：將函數(shù)稍作變形為：，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則，，而點(diǎn)N在單位圓上，就是一條直線的斜率，是過(guò)點(diǎn)M和圓上點(diǎn)N直線斜率的倍，關(guān)鍵是直線過(guò)圓上的N點(diǎn).直線與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)范圍就是：.故的最大值是1，最小值是-1.原本要計(jì)算一番，這用分析法，免計(jì)算了.另：如果要計(jì)算.先變形：變形為：；即：；即：，即：；即：，即：，即：，即：如果要計(jì)算，需要用到輔助角公式.9、若，求證：9、證明：由柯西不等式：即：即：柯西不等式.本題也可以采用排序不等式證明.首先將不等式變形：；即：，即：.由于對(duì)稱性，不妨設(shè)：，則：；即：.有排序不等式得：正序和亂序和；正序和亂序和；上兩式相加得：即：證畢.排序不等式.10、若，且，試求：的取值范圍；10、解：柯西不等式：；即：，故：；所以：.柯西不等式.另：本題亦可采用求極值的方法證明.構(gòu)建拉格朗日函數(shù)：由在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0得：，則：，即：；，則：，即：；，則：，即：.代入得：極值點(diǎn)為：，，則：，即：11、若，且，求的最小值；11、解：設(shè)：，，則：；；；代入得：；即：，故：最小值為4.向量不等式.向量不等式是柯西不等式的特殊形式，本題當(dāng)然可用柯西不等式.，即：用拉格朗日乘數(shù)法也行.構(gòu)建拉氏函數(shù)：在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，即：，即：；，即：；，即：.代入得：則：，，故：求極值時(shí)，要判斷是極大值還是極小值，只需用賦值法代一下.12、若，且，求的最大值和最小值；12、解：柯西不等式：即：；故：；于是：.柯西不等式.另：本題也可以采用換元法求解.有人說(shuō)：是一個(gè)橢球面，沒(méi)錯(cuò).它是一個(gè)不等軸的橢球.它的三個(gè)半軸長(zhǎng)分別為：，，設(shè)：，，，則這個(gè)橢球的方程為：=1\*GB3①現(xiàn)在來(lái)求的最大值和最小值.采用三角換元法：令：，，代入方程=1\*GB3①檢驗(yàn)，可知它滿足方程.采用輔助角公式化簡(jiǎn)：故：的峰值是：當(dāng)時(shí)，即：而，故：，即：.13、若，，且滿足，，，求：的值；13、解：本題滿足：即柯西不等式中等號(hào)成立的條件.故有：，即：，，.則：；即：，即：故：.柯西不等式中等號(hào)成立.14、求證：；14、證明：注意變形為不等式的方法，雖然仍是放縮法.另：本題也可以采用積分法證明.構(gòu)建函數(shù)：，則在區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù).15、當(dāng)時(shí)，求證：；15、證明：=1\*GB3①由二項(xiàng)式定理得：=2\*GB3②由二項(xiàng)式定理得：本題=1\*GB3①由二項(xiàng)式中，保留前兩項(xiàng)進(jìn)行放縮得到：；本題=2\*GB3②由二項(xiàng)式中，分子由從n開(kāi)始的k個(gè)遞減數(shù)連乘，分母由k個(gè)n連乘，得到的分?jǐn)?shù)必定小于1.于是得到：.另：本題也可以利用函數(shù)的基本性質(zhì)證明.構(gòu)建函數(shù)：，則在時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).故：在時(shí)，利用基本不等式：，即：則：.本方法需要運(yùn)用，該不等式成立的條件是：.16、求證：；16、證明：，故：；令：，；則：，即：；故：=1\*GB3①由得：，即：，故：代入=1\*GB3①式得：則：原式=本題的關(guān)鍵在于把根式或其他式子換成兩個(gè)相鄰的根式差，然后利用求和來(lái)消去中間部分，只剩兩頭.17、求證：；17、證明：由得：；即：=1\*GB3①由：得：即：，即：，即：，即：故：，多項(xiàng)求和：=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②，本題得證.本題還是采用級(jí)數(shù)求和的放縮法.18、已知：,求證：;18、證明：(1)構(gòu)造函數(shù)：，則：.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).即：；故：，即：.(2)構(gòu)造函數(shù)：，則：.當(dāng)時(shí)，其導(dǎo)數(shù)為：.即當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).即：；故：，即：.由(1)和(2)，本題證畢.本題采用構(gòu)造函數(shù)法，利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)證題.19、已知：，求證：；19、證明：先構(gòu)造函數(shù)：，在函數(shù)圖象上分別取三點(diǎn)A,B,C，即：,,,我們來(lái)看一下這幾個(gè)圖形的面積關(guān)系：；OAABOAABDCEFGH即：；即：；(1)求和：；即：；(2)求和：；即：;由(1)和(2)證畢.本題采用構(gòu)造函數(shù)法，利用函數(shù)的面積積分來(lái)證題.20、已知：當(dāng)時(shí)，求證：；20、證明：當(dāng)時(shí)，.由二項(xiàng)式定理得：證畢.本題利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮得證.21、已知：，求證：；21、證明：設(shè)：，則：證畢.將1以后的項(xiàng)數(shù)，按2的次方個(gè)數(shù)劃分成n組，每組都大于，這樣放縮得證.22、設(shè)：，求證：；22、證明：由得：，求和得：即：即：.本題首先構(gòu)建含有的不等式，構(gòu)建成功，本題得證.23、已知：，求證：.23、證明：設(shè)：；采用倒序相加得：；