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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),其中點(diǎn)在第一象限,若弦的長(zhǎng)為,則()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或2.已知非零向量,滿足,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解:3.在中,角的對(duì)邊分別為,若.則角的大小為()A. B. C. D.4.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.5.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值是A. B. C.1 D.46.已知函數(shù),其中表示不超過的最大正整數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.的值域是 B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.是增函數(shù)7.復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.9.“且”是“”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知集合A,B=,則A∩B=A. B. C. D.11.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.12.若與互為共軛復(fù)數(shù),則()A.0 B.3 C.-1 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=kx有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.14.從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項(xiàng)活動(dòng),要求男生中的甲和乙不能同時(shí)參加,女生中的丙和丁至少有一名參加,則不同的選法種數(shù)為______.(用數(shù)字作答)15.二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為_____,含項(xiàng)的系數(shù)為_____.16.《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問題“今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.問積幾何?答曰:二千一百一十二尺,術(shù)曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,這里所說(shuō)的圓堡瑽就是圓柱體,它的體積為“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是說(shuō):圓堡瑽(圓柱體)的體積為(底面圓的周長(zhǎng)的平方高),則由此可推得圓周率的取值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)過點(diǎn)P(-4,0)的動(dòng)直線l與拋物線相交于D、E兩點(diǎn),已知當(dāng)l的斜率為時(shí),.(1)求拋物線C的方程;(2)設(shè)的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.18.(12分)已知點(diǎn)為圓:上的動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),過作直線的垂線(當(dāng)、重合時(shí),直線約定為軸),垂足為,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程;(2)直線的極坐標(biāo)方程為,連接并延長(zhǎng)交于,求的最大值.19.(12分)如圖,空間幾何體中,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,,,,平面平面,且平面平面,為中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求二面角平面角的余弦值.20.(12分)已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列,是數(shù)列的前項(xiàng)和,且、、成等比數(shù)列,.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;(2)令,證明:.21.(12分)已知函數(shù),函數(shù)().(1)討論的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)時(shí),.(3)證明:當(dāng)時(shí),.22.(10分)如圖,在平行四邊形中,,,現(xiàn)沿對(duì)角線將折起,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P,點(diǎn)M,N分別在直線,上,且A,B,M,N四點(diǎn)共面.(1)求證:;(2)若平面平面,二面角平面角大小為,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
先根據(jù)弦長(zhǎng)求出直線的斜率,再利用拋物線定義可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為,則,所以,,即,所以直線的方程為.當(dāng)直線的方程為,聯(lián)立,解得和,所以;同理,當(dāng)直線的方程為.,綜上,或.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,弦長(zhǎng)問題一般是利用弦長(zhǎng)公式來(lái)處理.出現(xiàn)了到焦點(diǎn)的距離時(shí),一般考慮拋物線的定義.2、C【解析】
根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算,由向量的關(guān)系,可得選項(xiàng).【詳解】,,∴等價(jià)于,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和命題的充分、必要條件,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得,結(jié)合,可得,結(jié)合范圍,可得,可得,即可得解的值.【詳解】解:∵,∴由正弦定理可得:,∵,∴,∵,,∴,∴.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】試題分析:由題意,得,解得,故選A.考點(diǎn):函數(shù)的定義域.5、B【解析】
作出該不等式組表示的平面區(qū)域,如下圖中陰影部分所示,設(shè),則,易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),z取得最小值,由,解得,所以,所以,故選B.6、C【解析】
根據(jù)表示不超過的最大正整數(shù),可構(gòu)建函數(shù)圖象,即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性,進(jìn)而下結(jié)論.【詳解】由表示不超過的最大正整數(shù),其函數(shù)圖象為選項(xiàng)A,函數(shù),故錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù),故正確;選項(xiàng)D,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),但在整個(gè)定義域范圍上不具備單調(diào)性,故錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)題干的理解,屬于函數(shù)新定義問題,可作出圖象分析性質(zhì),屬于較難題.7、B【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及幾何意義即可求解.【詳解】解:,則復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為:,位于第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
首先求得時(shí),的取值范圍.然后求得時(shí),的單調(diào)性和零點(diǎn),令,根據(jù)“時(shí),的取值范圍”得到,利用零點(diǎn)存在性定理,求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),且,則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí),.”,所以令,得,因?yàn)椋?,所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點(diǎn),考查零點(diǎn)存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.9、A【解析】
畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進(jìn)行判斷.【詳解】如圖,“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形,記為集合P,“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部,記為集合Q,顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.10、A【解析】
先解A、B集合,再取交集?!驹斀狻?所以B集合與A集合的交集為,故選A【點(diǎn)睛】一般地,把不等式組放在數(shù)軸中得出解集。11、D【解析】
討論的取值范圍,然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變小,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變大,可排除A、B;當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變大,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變小,可排除C,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像,考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.12、C【解析】
計(jì)算,由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】,又由共軛復(fù)數(shù)概念得:,.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由圖可知,當(dāng)直線y=kx在直線OA與x軸(不含它們)之間時(shí),y=kx與y=f(x)的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn),即方程有兩個(gè)不相同的實(shí)根.14、1【解析】
由排列組合及分類討論思想分別討論:①設(shè)甲參加,乙不參加,②設(shè)乙參加,甲不參加,③設(shè)甲,乙都不參加,可得不同的選法種數(shù)為9+9+5=1,得解.【詳解】①設(shè)甲參加,乙不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為9,②設(shè)乙參加,甲不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為9,③設(shè)甲,乙都不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為5,綜合①②③得:不同的選法種數(shù)為9+9+5=1,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合及分類討論思想,準(zhǔn)確分類及計(jì)算是關(guān)鍵,屬中檔題.15、【解析】
將代入二項(xiàng)式可得展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng),令的指數(shù)為,求出參數(shù)的值,代入通項(xiàng)即可得出項(xiàng)的系數(shù).【詳解】將代入二項(xiàng)式可得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為.二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為,令,解得,因此,展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式,屬基礎(chǔ)題.16、3【解析】
根據(jù)圓堡瑽(圓柱體)的體積為(底面圓的周長(zhǎng)的平方高),可得,進(jìn)而可求出的值【詳解】解:設(shè)圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結(jié)合方程的思想即可求出結(jié)果.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、;【解析】
根據(jù)題意,求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,結(jié)合,即可求出拋物線C的方程;設(shè),的中點(diǎn)為,把直線l方程與拋物線方程聯(lián)立,利用判別式求出的取值范圍,利用韋達(dá)定理求出,進(jìn)而求出的中垂線方程,即可求得在軸上的截距的表達(dá)式,然后根據(jù)的取值范圍求解即可.【詳解】由題意可知,直線l的方程為,與拋物線方程方程聯(lián)立可得,,設(shè),由韋達(dá)定理可得,,因?yàn)?,所以,解得,所以拋物線C的方程為;設(shè),的中點(diǎn)為,由,消去可得,所以判別式,解得或,由韋達(dá)定理可得,,所以的中垂線方程為,令則,因?yàn)榛?所以即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用;考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和運(yùn)算求解能力;屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)設(shè)的極坐標(biāo)為,在中,有,即可得結(jié)果;(2)設(shè)射線:,,圓的極坐標(biāo)方程為,聯(lián)立兩個(gè)方程,可求出,聯(lián)立可得,則計(jì)算可得,利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】(1)設(shè)的極坐標(biāo)為,在中,有,點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為;(2)設(shè)射線:,,圓的極坐標(biāo)方程為,由得:,由得:,,,當(dāng),即時(shí),,的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用,考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,是中檔題.19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)分別取,的中點(diǎn),,連接,,,,,要證明平面,只需證明面∥面即可.(2)以點(diǎn)為原點(diǎn),以為軸,以為軸,以為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別計(jì)算面的法向量,面的法向量可取,并判斷二面角為銳角,再利用計(jì)算即可.【詳解】(1)證明:分別取,的中點(diǎn),,連接,,,,.由平面平面,且交于,平面,有平面,由平面平面,且交于,平面,有平面,所以∥,又平面,平面,所以∥平面,由,有,∥,又平面,平面,所以∥平面,由∥平面,∥平面,,所以平面∥平面,所以∥平面(2)以點(diǎn)為原點(diǎn),以為軸,以為軸,以為軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系由面,所以面的法向量可取,點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn),,,設(shè)面的法向量,所以,取,二面角的平面角為,則為銳角.所以【點(diǎn)睛】本題考查由面面平行證明線面平行以及向量法求二面角的余弦值,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,在做此類題時(shí),一定要準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo).20、(1),(2)證明見解析【解析】
(1)利用首項(xiàng)和公差構(gòu)成方程組,從而求解出的通項(xiàng)公式;由的通項(xiàng)公式求解出的表達(dá)式,根據(jù)以及,求解出的通項(xiàng)公式;(2)利用錯(cuò)位相減法求解出的前項(xiàng)和,根據(jù)不等關(guān)系證明即可.【詳解】(1)設(shè)首項(xiàng)為,公差為.由題意,得,解得,∴,∴,∴當(dāng)時(shí),∴,.當(dāng)時(shí),滿足上式.∴(2),令數(shù)列的前項(xiàng)和為.兩式相減得∴恒成立,得證.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,難度一般.(1)當(dāng)用求解的通項(xiàng)公式時(shí),一定要注意驗(yàn)證是否成立;(2)當(dāng)一個(gè)數(shù)列符合等差乘以等比的形式,優(yōu)先考慮采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和,同時(shí)注意對(duì)于錯(cuò)位的理解.21、(1)答案不唯一,具體見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】
(1)求出的定義域,導(dǎo)函數(shù),對(duì)參數(shù)、分類討論得到答案.(2)設(shè)函數(shù),求導(dǎo)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,即可得證.(3)由(1)可知,可得,即又即可得證.【詳解】(1)解:的定義域?yàn)?,,?dāng),時(shí),,則在上單調(diào)遞增;當(dāng),時(shí),令,得,令,得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng),時(shí),,則在上單調(diào)遞減;當(dāng),時(shí),令,得,令,得,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2)證明:設(shè)函數(shù),則.因?yàn)椋?,,則,從而在上單調(diào)遞減,所以,即.(3)證明:當(dāng)時(shí),.由(1)知,,所以,即.當(dāng)時(shí),,,則,即,又,所以,即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,屬于難題.22、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)根據(jù)余弦定理,可得,利用//,可得//平面,然后利用線面平行的性質(zhì)定理,//,最后可得結(jié)果.(
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