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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.()A. B. C. D.2.已知曲線,動(dòng)點(diǎn)在直線上,過點(diǎn)作曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則直線截圓所得弦長(zhǎng)為()A. B.2 C.4 D.3.已知復(fù)數(shù)滿足,則的值為()A. B. C. D.24.根據(jù)如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸入的值為3時(shí),輸出的值等于()A.1 B. C. D.5.設(shè)雙曲線的一條漸近線為,且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,則此雙曲線的方程為()A. B. C. D.6.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,且,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知函數(shù),若有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.8.函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列,要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位9.設(shè)函數(shù),的定義域都為,且是奇函數(shù),是偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是奇函數(shù)10.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A.6 B.5 C.4 D.311.函數(shù)(且)的圖象可能為()A. B. C. D.12.設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且在單調(diào)遞增,,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知的展開式中含有的項(xiàng)的系數(shù)是,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為______.14.實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的最大值為__________.15.已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),,且,若,則________.16.若函數(shù),則使得不等式成立的的取值范圍為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知中,角,,的對(duì)邊分別為,,,已知向量,且.(1)求角的大小;(2)若的面積為,,求.18.(12分)超級(jí)病菌是一種耐藥性細(xì)菌,產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來越多,但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生,很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性,更可怕的是,抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用,病人會(huì)因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y,高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌,需要檢驗(yàn)血液是否為陽性,現(xiàn)有n()份血液樣本,每個(gè)樣本取到的可能性均等,有以下兩種檢驗(yàn)方式:(1)逐份檢驗(yàn),則需要檢驗(yàn)n次;(2)混合檢驗(yàn),將其中k(且)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn),若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這k份的血液全為陰性,因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了,如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性,為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性,就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn),此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次,假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p().(1)假設(shè)有5份血液樣本,其中只有2份樣本為陽性,若采用逐份檢驗(yàn)方式,求恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率;(2)現(xiàn)取其中k(且)份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.(i)試運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí),若,試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式;(ii)若,采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少,求k的最大值.參考數(shù)據(jù):,,,,19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知f(x)=|x+3|-|x-2|(1)求函數(shù)f(x)的最大值m;(2)正數(shù)a,b,c滿足a+2b+3c=m,求證:21.(12分)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=,(1)求f(x)的最小值;(2)對(duì)任意,都有恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)證明:對(duì)一切,都有成立.22.(10分)在四棱錐中,是等邊三角形,點(diǎn)在棱上,平面平面.(1)求證:平面平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值的最大值;(3)設(shè)直線與平面相交于點(diǎn),若,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.2、C【解析】
設(shè),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線斜率,進(jìn)而得到切線方程,將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程,抽象出直線方程,且過定點(diǎn)為已知圓的圓心,即可求解.【詳解】圓可化為.設(shè),則的斜率分別為,所以的方程為,即,,即,由于都過點(diǎn),所以,即都在直線上,所以直線的方程為,恒過定點(diǎn),即直線過圓心,則直線截圓所得弦長(zhǎng)為4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系,拋物線兩切點(diǎn)所在直線求解是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3、C【解析】
由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理已知求得復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求得其模.【詳解】因?yàn)?,所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與求復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
根據(jù)程序圖,當(dāng)x<0時(shí)結(jié)束對(duì)x的計(jì)算,可得y值.【詳解】由題x=3,x=x-2=3-1,此時(shí)x>0繼續(xù)運(yùn)行,x=1-2=-1<0,程序運(yùn)行結(jié)束,得,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,是基礎(chǔ)題.5、C【解析】
求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),可得雙曲線方程的漸近線方程為,由題意可得,又,即,解得,,即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解:拋物線的焦點(diǎn)為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得,即又,即解得,.即雙曲線的方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線的方程,屬于中檔題.6、C【解析】
根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關(guān)系即可得到答案.【詳解】若,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,可得;若,根據(jù)線面平行的判定定理,可得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
令,可得,要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,即和有兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】令,可得,要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,即和有兩個(gè)交點(diǎn),,令,可得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,若直線和有兩個(gè)交點(diǎn),則.實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍,解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.8、A【解析】依題意有的周期為.而,故應(yīng)左移.9、C【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】解:是奇函數(shù),是偶函數(shù),,,,故函數(shù)是奇函數(shù),故錯(cuò)誤,為偶函數(shù),故錯(cuò)誤,是奇函數(shù),故正確.為偶函數(shù),故錯(cuò)誤,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷,根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.10、A【解析】
根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再求出向量的坐標(biāo),根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ,k=0時(shí)解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的圖象,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于綜合題,但是難度不大,解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標(biāo),再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果,屬于簡(jiǎn)單題.11、D【解析】因?yàn)?,故函?shù)是奇函數(shù),所以排除A,B;取,則,故選D.考點(diǎn):1.函數(shù)的基本性質(zhì);2.函數(shù)的圖象.12、C【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),比較即可.【詳解】解:顯然,所以是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且在單調(diào)遞增,所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
由二項(xiàng)式定理及展開式通項(xiàng)公式得:,解得,令得:展開式中各項(xiàng)系數(shù)和,得解.【詳解】解:由的展開式的通項(xiàng),令,得含有的項(xiàng)的系數(shù)是,解得,令得:展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開式通項(xiàng)公式,屬于中檔題.14、10【解析】
畫出可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)截距可求.【詳解】解:作出可行域如下:由得,平移直線,當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí),截距最小,最大解得的最大值為10故答案為:10【點(diǎn)睛】考查可行域的畫法及目標(biāo)函數(shù)最大值的求法,基礎(chǔ)題.15、【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù),且,可得,解得,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】設(shè)公差為,因?yàn)?,所以,所以,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
分,兩種情況代入討論即可求解.【詳解】,當(dāng)時(shí),,符合;當(dāng)時(shí),,不滿足.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計(jì)算,考查了分類討論的思想.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】試題分析:(1)利用已知及平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得,利用正弦定理可得,結(jié)合,可求,從而可求的值;(2)由三角形的面積可解得,利用余弦定理可得,故可得.試題解析:(1)∵,,,∴,∴,即,又∵,∴,又∵,∴.(2)∵,∴,又,即,∴,故.18、(1)(2)(i)(,且).(ii)最大值為4.【解析】
(1)設(shè)恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)?zāi)馨殃栃詷颖救繖z驗(yàn)出來為事件A,利用古典概型、排列組合求解即可;(2)(i)由已知得,的所有可能取值為1,,則可求得,,即可得到,進(jìn)而由可得到p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式;(ii)由可得,推導(dǎo)出,設(shè)(),利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性,由單調(diào)性可求出的最大值【詳解】(1)設(shè)恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)?zāi)馨殃栃詷颖救繖z驗(yàn)出來為事件A,則,∴恰好經(jīng)過兩次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率為(2)(i)由已知得,的所有可能取值為1,,,,,若,則,則,,,∴p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為(,且)(ii)由題意知,得,,,,設(shè)(),則,令,則,∴當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)增減,又,,,又,,,∴k的最大值為4【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,考查隨機(jī)變量及其分布,考查利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性19、(1)(2)當(dāng)時(shí),的取值范圍為;當(dāng)時(shí),的取值范圍為.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),分類討論把不等式化為等價(jià)不等式組,即可求解.(2)由絕對(duì)值的三角不等式,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”,分類討論,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,不等式可化為或或,解得不等式的解集為.(2)由絕對(duì)值的三角不等式,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”,所以當(dāng)時(shí),的取值范圍為;當(dāng)時(shí),的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值的不等式的求解,以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用,其中解答中熟記含絕對(duì)值不等式的解法,以及合理應(yīng)用絕對(duì)值的三角不等式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)(2)見解析【解析】
(1)利用絕對(duì)值三角不等式求得的最大值.(2)由(1)得.方法一,利用柯西不等式證得不等式成立;方法二,利用“的代換”的方法,結(jié)合基本不等式證得不等式成立.【詳解】(1)由絕對(duì)值不等式性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,所以(2)由(1)得.法1:由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即,所以.法2:由得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值三角不等式,考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式,屬于中檔題.21、(1)(2)((3)見證明【解析】
(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律確定函數(shù)單調(diào)性,最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最小值取法;(2)先分離不等式,轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題,利用導(dǎo)數(shù)求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值即得結(jié)果;(3)構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),再利用兩函數(shù)最值關(guān)系進(jìn)行證明.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)的最小值為f()=;(2)因?yàn)樗詥栴}等價(jià)于在上恒成立,記則,因?yàn)?,令函?shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;函數(shù)f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增;即,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(.(3)問題等價(jià)于證明由(1)知道,令函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增;函數(shù)在(1,+)上單調(diào)遞減;所以{,因此,因?yàn)閮蓚€(gè)等號(hào)不能同時(shí)取得,所以即對(duì)一切,都有成立.【點(diǎn)睛】對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題,在可能的情況下把參數(shù)分離出來,使不等式一端是含有參數(shù)的不等式,另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù),這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù),另一端是參數(shù)的不等式,便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的,如果分離參數(shù)后,得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜,性質(zhì)很難研究,就不要使用分離參數(shù)法.22、(1)證明見解析(2)(3)【解析】
(1)取中點(diǎn)為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進(jìn)而求證;(2)以為原點(diǎn),過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由點(diǎn)在棱上,可設(shè),即可得到,再求得平面的法向量,進(jìn)而利用數(shù)量積求解;(3)設(shè),,則,求得,,即可求得點(diǎn)的坐標(biāo),再由與平面的法向量垂直,進(jìn)而求解.【詳解
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