高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章空間向量與立體幾何 校賽得獎(jiǎng)

平面的法向量與平面的向量表示學(xué)案編號(hào)：GEXX2-1T3-2-2【學(xué)習(xí)要求】1．理解平面的法向量的概念，會(huì)求平面的法向量．2．會(huì)用平面的法向量證明平面與平面平行、垂直．3．理解并會(huì)應(yīng)用三垂線定理及其逆定理，證明有關(guān)垂直問題．【學(xué)法指導(dǎo)】在證明過程中，體會(huì)向量法與幾何法證明的不同之處．從不同的角度闡明數(shù)學(xué)證明的原理，培養(yǎng)我們善于探索、獨(dú)立思考、集體交流的好習(xí)慣.1．平面的法向量：已知平面α，如果________________________，則向量n叫做平面α的法向量或說向量n與平面α正交．2．平面的向量表示：設(shè)A是空間任一點(diǎn)，n為空間內(nèi)任一向量，則適合__________的點(diǎn)M構(gòu)成的圖形是過空間內(nèi)一點(diǎn)A并且與n垂直的平面．這個(gè)式子稱為平面的向量表示式．3．設(shè)n1，n2分別是平面α、β的法向量，則α∥β或α與β重合?________________.α⊥β?________?__________.4．三垂線定理：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直.探究點(diǎn)一平面的法向量問題1平面的法向量有何作用？是否唯一．問題2怎樣求一個(gè)平面的法向量？例1已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一個(gè)法向量．跟蹤1已知平面α經(jīng)過三點(diǎn)A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，試求平面α的一個(gè)法向量．探究點(diǎn)二利用平面的法向量判斷平面與平面平行、垂直問題1設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，如何利用法向量來判斷α，β的關(guān)系？問題2根據(jù)下列條件，判斷相應(yīng)的直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系．(1)直線l的方向向量、平面α的法向量分別是a＝(3,2,1)，n＝(－1,2，－1)；(2)平面α、β的法向量分別是n1＝(1,3,0)，n2＝(－3，－9,0)；(3)平面α、β的法向量分別是n1＝(1，－3，－1)，n2＝(8,2,2)．例1在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點(diǎn)，求證：平面BEF⊥平面ABC.跟蹤2已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E、F分別是BB1、DD1(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C探究點(diǎn)三三垂線定理及應(yīng)用問題1如圖，AB，AC分別是平面α的垂線和斜線，BC是AC在α內(nèi)的射影，a?α，試用三垂線定理或其逆定理說明在上述條件下a⊥BC和a⊥AC的關(guān)系．如何證明？問題2三垂線定理中，把a(bǔ)?α，改為a∥α，其他條件不變，三垂線定理仍然成立嗎？例3在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1的中點(diǎn)．求證：EO⊥平面A1DB跟蹤3如圖，已知PO⊥平面ABC，且O為△ABC的垂心，求證：AB⊥PC.【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．若a＝(1,2,3)是平面γ的一個(gè)法向量，則下列向量中能作為平面γ的法向量的是 ()A．(0,1,2) B．(3,6,9)C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)2．若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別為u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，則 ()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正確3．已知l∥α，且l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，則m＝________.4．正方體ABCD—A1B1C1D1中，證明：平面A1BD∥平面CB1D1【課堂小結(jié)】1．用法向量來解決平面與平面的關(guān)系問題，思路清楚，不必考慮圖形的位置關(guān)系，只需通過向量運(yùn)算，就可得到要證明的結(jié)果．2．利用三垂線定理證明線線垂直，需先找到平面的一條垂線，有了垂線，才能作出斜率的射影，同時(shí)要注意定理中的“平面內(nèi)的一條直線”這一條件，忽視這一條件，就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)果.3.2.2平面的法向量與平面的向量表示一、基礎(chǔ)過關(guān)1．若平面α、β的法向量分別為u＝(2，－3,5)，v＝(－3，1，－4)，則 ()A．α∥β B．α⊥βC．α、β相交但不垂直 D．以上均不正確2．若直線l的一個(gè)方向向量為a＝(2,5,7)，平面α的一個(gè)法向量為u＝(1,1，－1)，則()A．l∥α B．l⊥αC．l?α D．A、C都有可能3．已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2，－1,2)，α的一個(gè)法向量為n＝(3,1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是 ()A．(1，－1,1) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(3,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，\f(3,2))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3，－\f(3,2)))4．若n1，n2分別是平面α，β的法向量，且α⊥β，n1＝(1,2，x)，n2＝(x，x＋1，x)，則x的值為 ()A．1或2 B．－1或－2C．－1 D．－25．設(shè)平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于()A．2B．－4C．4D．－26．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，則平面ABC的一個(gè)單位法向量是 ()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))7．已知平面α和平面β的法向量分別為a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，則x＝________.8．下列命題中：①若u，v分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?u·v＝0；②若u是平面α的法向量且向量a與α共面，則u·a＝0；③若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直．正確的命題序號(hào)是________．9．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正確的是________．(填序號(hào))二、能力提升10．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，試在棱BB1上找一點(diǎn)M，使得D1M⊥平面EFB11.如圖所示，△ABC是一個(gè)正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)．求證：平面DEA⊥平面ECA.12.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，