高中數(shù)學(xué)人教A版2本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 公開課

2．演繹推理1．結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理．2．通過具體實(shí)例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(梳)eq\x(理)1．演繹推理．從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．2．演繹推理的一般模式——“三段論”，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情況；(3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(自)eq\x(測)1．推理：“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是(B)A．①B．②C．③D．①②解析：此推理的小前提是“三角形不是平行四邊形”．故選B.2．“∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD的對角線相等．”補(bǔ)充以上推理的大前提是(B)A．正方形都是對角線相等的四邊形B．矩形都是對角線相等的四邊形C．等腰梯形都是對角線相等的四邊形D．矩形都是對邊平行且相等的四邊形解析：易知此推理的大前提是矩形都是對角線相等的四邊形．故選B.3．命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是(D)A．使用了歸納推理B．使用了類比推理C．使用了“三段式”，但大前提錯誤D．使用了“三段式”，但小前提錯誤解析：此推理使用了“三段式”，但小前提錯誤．故選D.4．在△ABC中，AC＞BC，CD是AB邊上的高，求證：∠ACD＞∠BCD.①證明：在△ABC中，∵CD⊥AB，AC＞BC；②∴AD＞BD；③∴∠ACD＞∠BCD.則在上面證明過程中錯誤的是③(只填序號)．解析：AD，BD不在同一個三角形中，③錯誤．eq\a\vs4\al(（一）“三段論”的表示形式)(1)符號表示．大前提：M是P.小前提：S是M.結(jié)論：S是P.(2)集合表示．若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，集合S是集合M的一個子集，那么S中所有元素也具有性質(zhì)P.由此可見，應(yīng)用“三段論”解決問題時(shí)，首先應(yīng)該明確什么是大前提和小前提．有時(shí)為了敘述簡潔，如果大前提或小前提是顯然的，那么可以省略．(二)合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：從推理形式和推理所得的結(jié)論上講，二者有差異．合情推理演繹推理歸納推理合情推理推理形式由部分到整體或由個別到一般的過程由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理結(jié)論的正確性結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明在前提和推理形式都正確的前提下，結(jié)論一定正確1．在推理證明中，證明命題的正確性采用演繹推理，而合情推理不能用作證明．2．在證明中，演繹推理的基本規(guī)則是：(1)在證明過程中，論題應(yīng)當(dāng)始終同一，不得中途變更．違反這條規(guī)則的常見錯誤是偷換論題．(2)論據(jù)不能靠論題來證明．論題的真實(shí)性是靠論據(jù)來證明的，如果論據(jù)的真實(shí)性又要靠論題來證明，那么結(jié)果什么也沒有證明．違反這條規(guī)則的邏輯錯誤叫做循環(huán)論證．(3)論據(jù)要真實(shí)，論據(jù)是確定論題真實(shí)性的理由．如果論據(jù)是假的，那就不能確定論題的真實(shí)性．違反這條規(guī)則的邏輯錯誤叫做虛假論據(jù)．(4)論據(jù)必須能推出論題．證明是特殊的推理，因而證明過程應(yīng)該合乎推理形式，遵守推理規(guī)則．論據(jù)必須是推出論題的充足理由，否則，論據(jù)就推不出論題．違反這條規(guī)則的邏輯錯誤，叫做不能推出．3．應(yīng)用“三段論”來證明問題時(shí)，首先應(yīng)明確什么是大前提和小前提．若題干中沒有，則應(yīng)先補(bǔ)出大前提，然后再利用“三段論”證明．1．三段論“①已有船準(zhǔn)時(shí)起航，才能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港；②這艘船是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港的；③所以這艘船是準(zhǔn)時(shí)起航的．”中“小前提”是(B)A．①B．②C．①②D．③2．下列三段可以組成一個“三段論”，則小前提是(D)①因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)是增函數(shù)；②所以y＝2x是增函數(shù)；③而y＝2x是指數(shù)函數(shù)．A．①B．②C．①②D．③解析：根據(jù)“三段論”的原理，可知選D.3．設(shè)a＝(x，4)，b＝(3，2)，若a∥b，則x的值是(D)A．－6\f(8,3)C．－eq\f(8,3)D．6解析：∵a∥b，∴eq\f(x,3)＝eq\f(4,2)，∴x＝6.4．因?yàn)橹袊拇髮W(xué)分布在全國各地，大前提北京大學(xué)是中國的大學(xué)，小前提所以北京大學(xué)分布在全國各地．結(jié)論(1)上面的推理正確嗎？為什么？(2)推理的結(jié)論正確嗎？為什么？解析：(1)推理形式錯誤．大前提中的M是“中國的大學(xué)”它表示中國的所有大學(xué)，而小前提中的M雖然也是“中國的大學(xué)”，但它表示中國的一所大學(xué)，二者是兩個不同的概念，故推理的結(jié)論錯誤．(2)由于推理形式錯誤，故推理結(jié)論錯誤．1．下面說法正確的有(C)①演繹推理是由一般推理到特殊推理；②演繹推理得到的結(jié)論一定是正確的；③演繹推理的一般模式是“三段論”形式；④演繹推理得到的結(jié)論的正誤與大前提、小前提和推理形式有關(guān)．A．1個B．2個C．3個D．4個解析：①③④正確，②錯誤的原因是：演繹推理的結(jié)論要為真，必須前提和推理形式都為真．2．△ABC中，E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，則有EF∥BC，這個問題的大前提為(A)A．三角形的中位線平行于第三邊B．三角形的中位線等于第三邊的一半C．EF為中位線D．EF∥CB解析：易知該推理是一個正確的三段論，所以選C.3．“由于所有能被6整除的數(shù)都能被3整除，18是能被6整除的數(shù)，所以18能被3整除．”這個推理是(C)A．大前提錯誤B．結(jié)論錯誤C．正確的D．小前提錯誤解析：易知該推理是一個正確的三段論，所以選C.4．下列推理是演繹推理的是(A)A．M，N是平面內(nèi)兩定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足|PM|＋|PN|＝2a＞|MN|，得點(diǎn)PB．由a1＝1，an＝2n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C．由圓x2＋y2＝r2的面積為πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積為πabD．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇解析：B是歸納推理，C、D是類似推理，只有A是利用橢圓的定義作為大前提的演繹推理．5．在不等邊三角形中，a邊最大，要想的到∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足的條件是(C)A．a(chǎn)2＜b2＋c2B．a(chǎn)2＝b2＋c2C．a(chǎn)2＞b2＋c2D．a(chǎn)2≤b2＋c26．(2023·吉安二模)對于任意實(shí)數(shù)a，b，c，定義Γ(a，b，c)滿足Γ(a，b，c)＝Γ(b，c，a)＝Γ(c，a，b)關(guān)系式，則稱Γ(a，b，c)具有輪換對稱關(guān)系．給出如下四個式子：①Γ(a，b，c)＝a＋b＋c；②Γ(a，b，c)＝a2－b2＋c2；③Γ(x，y，z)＝x2(y－z)＋y2(z－x)＋z2(x－y)；④Γ(A，B，C)＝2sinCcos(A－B)＋sin2C(A，B，C是△ABC其中具有輪換對稱關(guān)系的個數(shù)是(C)A．1B．2C．3D．4解析：C因?yàn)閍＋b＋c＝b＋c＋a＝c＋a＋b，故①具有輪換對稱關(guān)系；因?yàn)閍2－b2＋c2＝b2－c2＋a2未必成立，故②不具有輪換對稱關(guān)系；因?yàn)閤2(y－z)＋y2(z－x)＋z2(x－y)＝y(tǒng)2(z－x)＋z2(x－y)＋x2(y－z)＝z2(x－y)＋x2(y－z)＋y2(z－x)，故③具有輪換對稱關(guān)系；因?yàn)?sinCcos(A－B)＋sin2C＝2sinC[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝4sinAsinBsinC，故④具有輪換對稱關(guān)系，故選7．“一切奇數(shù)都不能被2整除，35不能被2整除，所以35奇數(shù)．”把此演繹推理寫成“三段論”的形式．大前提：________________________，小前提：________________________，結(jié)論：__________________________．答案：不能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)35不能被2整除35是奇數(shù)8．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函數(shù)f(x)＝ax，若實(shí)數(shù)m，n滿足f(m)＞f(n)，則m，n的大小關(guān)系是________．解析：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax為減函數(shù)，∵a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0，1)，∴函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))eq\s\up12(x)為減函數(shù)．故由f(m)＞f(n)，得m＜n.答案：m＜n9．關(guān)于函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)＝(x≠0)，有下列命題：①其圖像關(guān)于y軸對稱；②當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)為增函數(shù)；③f(x)的最小值是lg2；④當(dāng)－1＜x＜0，或x＞1時(shí)，f(x)是增函數(shù)；⑤f(x)無最大值，也無最小值．其中正確結(jié)論的序號是________．解析：易知f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，①正確．當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))).∵g(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，故②不正確，而f(x)有最小值lg2，∴③正確，④也正確，⑤不正確．答案：①③④10．將下列演繹推理寫成“三段論”的形式．(1)太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行，海王星是太陽系中的大行星，所以海王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行；(2)菱形對角線互相平分；(3)函數(shù)f(x)＝x2－cosx是偶函數(shù)．解析：(1)太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行，大前提海王星是太陽系中的大行星，小前提海王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行．結(jié)論(2)平行四邊形對角線互相平分，大前提菱形是平行四邊形，小前提菱形對角線互相平分．結(jié)論(3)若對函數(shù)f(x)定義域中的x，都有f(－x)＝f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，大前提對于函數(shù)f(x)＝x2－cosx，當(dāng)x∈R時(shí)，有f(－x)＝f(x)，小前提所以函數(shù)f(x)＝x2－cosx是偶函數(shù)．結(jié)論11．已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1，證明|c|≤1，并分析證明過程中的三段論．證明：∵|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1.x＝0滿足|x|≤1，∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1.證明過程中的三段論分析如下：大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；結(jié)論是|f(0)|≤1.?品味高考1．(2023·山東高考)對于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個值，都有f(x)＝f(2a－x)，則f(x)為準(zhǔn)偶數(shù)函數(shù)．下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶數(shù)函數(shù)的是(DA．f(x)＝eq\r(x)B．f(x)＝x2C．f(x)＝tanxD．f(x)＝cos(x＋1)解析：由f(x)＝f(2a－x)知f(x)的圖像關(guān)于x＝a對稱，且a≠0，A，C中兩函數(shù)無對稱軸，B中函數(shù)圖像的對稱軸只有x＝0，而D中當(dāng)a＝kπ－1(k∈Z)時(shí)，x＝a都是y＝cos(x＋1)的圖像的對稱軸．故選2．下列四類函數(shù)中，具有性質(zhì)“對任意的x＞0，y＞0，函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是(C)A．冪函數(shù)B．對數(shù)函數(shù)C．指數(shù)函數(shù)D．余弦函數(shù)解析：對于指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，則有f(x＋y)＝ax＋y＝ax·ay＝f(x)·f(y)．3．對于n∈N*，將n表示為n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，當(dāng)i＝k時(shí)，ai＝1，當(dāng)0≤i≤k－1時(shí)，ai為0或1.定義bn如下：在n的上述表示中，當(dāng)a0，a1，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時(shí)，bn＝1；否則bn＝0.(1)b2＋b4＋b6＋b8＝________；(2)記cn為數(shù)列{bn}中第m個為0的項(xiàng)與第m＋1個為0的項(xiàng)之間的項(xiàng)數(shù)，則cm的最大值是________________________________________________________________________．解析：(1)2＝1×21＋0×20，∴b2＝1；4＝1×22＋0×21＋0×20，∴b4＝1；6＝1×22＋1×21＋0×20，∴b6＝0；8＝1×23＋0×22＋0×21＋0×20，∴b8＝1.∴b2＋b4＋b6＋b8＝3.(2)設(shè){bn}中第m個為0的項(xiàng)為bt(t∈N*)，即bt＝0，將t寫成二進(jìn)制數(shù)，則有兩種情形：①t的二進(jìn)制數(shù)表達(dá)式為：，則t＋1的二進(jìn)制數(shù)表達(dá)式中“1