高中數(shù)學(xué)北師大版3第一章計(jì)數(shù)原理 校賽得獎(jiǎng)

宜春南苑實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023--2023學(xué)年下學(xué)期期中考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)（理）試卷班級(jí)________姓名_______考號(hào)__________一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.若復(fù)數(shù)z＝a＋i的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a＝()A.－1 C.－2 2．18×17×16×…×9×8等于 ()A．Aeq\o\al(8,18) B．Aeq\o\al(9,18)C．Aeq\o\al(10,18) D．Aeq\o\al(11,18)3．Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(17,20)的值為 ()A．Ceq\o\al(3,21) B．Ceq\o\al(3,20) C．Ceq\o\al(4,20) D．Ceq\o\al(4,21)4．凸十邊形的對(duì)角線的條數(shù)為 ()A．10 B．35C．45 D．905．(x＋2)6的展開式中x3的系數(shù)是 ()A．20 B．40C．80 D．1606．若100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，至少有1件次品的不同取法的種數(shù)是（） A．Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,94) B．Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,99)C．Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,94) D．Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(2,94)7.用反證法證明命題：“若系數(shù)為整數(shù)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”．對(duì)該命題結(jié)論的否定敘述正確的是()A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)是偶數(shù)D．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)是偶數(shù)8.教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個(gè)樓梯，由一層到五層的走法有（）A．種 B．種 C．種 D．種9．函數(shù)f(x)＝x3－3x+1在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是（）A1，－1B3，-17 C1，－17D9，－1910.已知函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像如圖1所示，則()圖1A.函數(shù)f(x)有1個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn)B.函數(shù)f(x)有2個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)C.函數(shù)f(x)有3個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn)D.函數(shù)f(x)有1個(gè)極大值點(diǎn)，3個(gè)極小值點(diǎn)11.設(shè)，，則a，b，c的大小關(guān)系()>b>c >a>c>c>b >c>a12．已知數(shù)列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，則數(shù)列的第k項(xiàng)是()＋ak＋1＋…＋a2k－1＋ak＋…＋a2k－1－1＋ak＋…＋a2k－1＋ak＋…＋a2k－2二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上)13．若函數(shù)f(x)＝，則f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=.14.已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·eq\x\to(z)2是實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z2的模________.15．觀察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為_______16用數(shù)字1,2,3,4,5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有個(gè).三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟)17．（本題滿分10分）已知復(fù)數(shù)，是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位．（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．（本題滿分12分）某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)小正方形．（Ⅰ）求出的值；（Ⅱ）利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出與之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出的表達(dá)式.19．（本題滿分12分）有4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)．(1)共有幾種放法？(2)恰有1個(gè)空盒，有幾種放法？(3)恰有2個(gè)盒子不放球，有幾種放法？20.（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋blnx在x＝1處有極值eq\f(1,2).(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．21.（本題滿分12分）如圖，設(shè)是拋物線上的一點(diǎn)．(1)求該拋物線在點(diǎn)處的切線的方程；(2)求曲線、直線和軸所圍成的圖形的面積.22．（本題滿分12分）已知(eq\r(3,x)＋x2)2n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和比(3x－1)n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和大992，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))2n的展開式中：（1）第10項(xiàng)(2)常數(shù)項(xiàng)；(3)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)．答案BDDBDCBDBAAD13.;14.15.13＋23＋33＋43＋53＋63＝212..三．17.解：（1）∵z=bi（b∈R），∴===．又∵是實(shí)數(shù)，∴，∴b=﹣2，即z=﹣2i．（2）∵z=﹣2i，m∈R，∴（m+z）2=（m﹣2i）2=m2﹣4mi+4i2=（m2﹣4）﹣4mi，又∵復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限，∴，解得m＜﹣2，即m∈（﹣∞，﹣2）時(shí)，復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限．18．解：（Ⅰ）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，∴f（2）﹣f（1）=4=4×1．f（3）﹣f（2）=8=4×2，f（4）﹣f（3）=12=4×3，f（5）﹣f（4）=16=4×4∴f（5）=25+4×4=41．…（4分）（Ⅱ）由上式規(guī)律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．…（8分）∴f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4?（n﹣2），f（n）﹣f（n﹣1）=4?（n﹣1）…（10分）∴f（n）﹣f（1）=4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]=2（n﹣1）?n，∴f（n）=2n2﹣2n+1．…（12分）19．解(1)44＝256(種)．(2)先從4個(gè)小球中取2個(gè)放在一起，有C24種不同的取法，再把取出的兩個(gè)小球與另外2個(gè)小球看作三堆，并分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子里，有A34種不同的放法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的放法共有C24A34＝144(種)．(3)恰有2個(gè)盒子不放球，也就是把4個(gè)不同的小球只放入2個(gè)盒子中，有兩類放法；第一類，1個(gè)盒子放3個(gè)小球，1個(gè)盒子放1個(gè)小球，先把小球分組，有Ceq\o\al(3,4)種，再放到2個(gè)盒中有Aeq\o\al(2,4)種放法，共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)種放法；第二類，2個(gè)盒子中各放2個(gè)小球有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)種放法，故恰有2個(gè)盒子不放球的方法共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝84(種)．20．.解析：(1)f′(x)＝2ax＋eq\f(b,x)，又f(x)在x＝1處有極值eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝\f(1,2)，,f′1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,2a＋b＝0.))解得a＝eq\f(1,2)，b＝－分經(jīng)檢驗(yàn)得a＝eq\f(1,2)，b＝－1函數(shù)f(x)＝ax2＋blnx在x＝1處有極值eq\f(1,2).----------6分(2)由(1)可知f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx，其定義域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x＋1x－1,x).令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1(舍去)．當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)極小值所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)增區(qū)間是(1，＋∞)．------------12分21．（Ⅰ）：直線L的斜率：即為所求．……………..6分（Ⅱ）：法一：切線與軸的交點(diǎn)為，則面積………………….12分法二：曲線C、直線和軸所圍成的圖形的面為．22．解由題意得22n－2n＝992，解得n＝5.(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))10的展開式中第10項(xiàng)，即T10＝-20x-8（2）常數(shù)項(xiàng)為第6項(xiàng)。T6＝Ceq\o\al(5,10)·(2x)5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))5＝－8064.(3)設(shè)第r＋1項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(2x)10－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,10)·210－r·x10－2r.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,10)·210－r≥C\o\al(r－1,10)·210－r＋1，,C\o\al(r,10)·210－r≥C\o\al(r＋1,10)·210－r－1，))得eq\b