高中數(shù)學(xué)人教A版1相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 第3節(jié)2

第一講第三節(jié)第2課時(shí)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．按如下方法將△ABC的三邊縮小為原來(lái)的eq\f(1,2)，如圖，任取一點(diǎn)O，連接AO，BO，CO，并取它們的中點(diǎn)D、E，F(xiàn).得到△DEF.①△ABC和△DEF是位似圖形；②△ABC與△DEF是相似圖形；③△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為2∶1；④△ABC與△DEF的面積比為4∶1.則以上說(shuō)法正確的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：由相似三角形的性質(zhì)定理及其推論可知①②③④正確．答案：D2．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周長(zhǎng)是16，面積是12，那么△DEF的周長(zhǎng)、面積依次為()A．8,3 B．8,6C．4,3 D．4,6解析：∵AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，且相似比為2.∵△ABC的周長(zhǎng)是16，面積是12，∴△DEF的周長(zhǎng)是8，面積是3.答案：A3．如圖，D、E、F是△ABC的三邊中點(diǎn)，設(shè)△DEF的面積為eq\f(1,4)，△ABC的周長(zhǎng)為9，則△DEF的周長(zhǎng)與△ABC的面積分別是()A．eq\f(9,2)，1 B．9,4C．eq\f(9,2)，8 D．eq\f(9,4)，16解析：∵D、E、F分別為△ABC三邊的中點(diǎn)，∴EF綊eq\f(1,2)BC，DE綊eq\f(1,2)AC，DF綊eq\f(1,2)AB．∴△DFE∽△ABC，且eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2).∴eq\f(l△DEF,l△ABC)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2).又∵l△ABC＝9，∴l(xiāng)△DEF＝eq\f(9,2).又∵eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\f(EF2,BC2)＝eq\f(1,4)，S△DEF＝eq\f(1,4)，∴S△ABC＝1.故選A．答案：A4．兩個(gè)相似多邊形面積的比為m，對(duì)應(yīng)對(duì)角線(xiàn)比為n，且m＋n＝12，則eq\f(n,m)＝()A．3 B．4C．eq\f(1,3) D．無(wú)法確定解析：由相似三角形的性質(zhì)定理的推論可知eq\f(n,m)＝eq\f(1,3).答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．兩相似三角形的相似比為1∶3，則周長(zhǎng)之比為_(kāi)_______，內(nèi)切圓面積之比為_(kāi)_______.解析：由性質(zhì)2和相似三角形性質(zhì)的推廣易知．答案：1∶31∶96．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直線(xiàn)EF∥BD，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)F，若S△AEG＝eq\f(1,3)S四邊形EGCB，則eq\f(CF,AD)＝________.解析：∵S△AEG＝eq\f(1,3)S四邊形EGCB，∴eq\f(S△AEG,S△ABC)＝eq\f(1,4).由相似三角形的性質(zhì)定理，得eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,2)，∴E為AB的中點(diǎn)．由平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理的推論，知G為AC的中點(diǎn)．∵EF∥BC，AC⊥BC，∴FG⊥AC．又點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，∴FG為AC的中垂線(xiàn)．∴FC＝FA．∵EF∥BD，E為AB的中點(diǎn)，∴F為AD的中點(diǎn)．∴eq\f(CF,AD)＝eq\f(AF,AD)＝eq\f(1,2).三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，在AB邊上取一點(diǎn)F，使S△BFC＝S△ADE，求證：AD2＝AB·BF.證明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))2.又∵eq\f(S△BFC,S△ABC)＝eq\f(BF,AB)，且S△BFC＝S△ADE，∴eq\f(AD2,AB2)＝eq\f(BF,AB).∴AD2＝AB·BF.8．如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，直線(xiàn)l平行于BD且與AB，DC，BC，AD及AC的延長(zhǎng)線(xiàn)分別相交于點(diǎn)M，N，R，S和P，求證：PM·PN＝PR·PS.證明：∵BO∥PM，∴△BOA∽△MPA．∴eq\f(PM,OB)＝eq\f(PA,OA).∵DO∥PS，∴△DOA∽△SPA．∴eq\f(PS,OD)＝eq\f(PA,OA).∴eq\f(PM,OB)＝eq\f(PS,OD)，即eq\f(PM,PS)＝eq\f(OB,OD).由BO∥PR得△BOC∽△RPC，得eq\f(PR,OB)＝eq\f(PC,OC).由DO∥PN得△DOC∽△NPC得eq\f(PN,OD)＝eq\f(PC,OC).∴eq\f(PR,OB)＝eq\f(PN,OD)，即eq\f(PR,PN)＝eq\f(OB,OD)，∴eq\f(PR,PN)＝eq\f(PM,PS).∴PM·PN＝PR·PS.eq\x(尖子生題庫(kù))☆☆☆9．(10分)如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝2，BC＝3，點(diǎn)P是AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)(P異于A、D)，Q是BC邊上的任意一點(diǎn)．連接AQ、DQ，過(guò)P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.(1)求證：△APE∽△ADQ；(2)設(shè)AP的長(zhǎng)為x，試求△PEF的面積S△PEF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)P在何處時(shí)，S△PEF取得最大值？最大值為多少？(3)當(dāng)Q在何處時(shí)，△ADQ的周長(zhǎng)最?。?必須給出確定Q在何處的過(guò)程或方法，不必給出證明)．解析：(1)證明：∵PE∥DQ，∴∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，∴△APE∽△ADQ.(2)∵△APE∽△ADQ，∴eq\f(S△APE,S△ADQ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AP,AD)))2.∵AD∥BC，∴△ADQ的高等于AB．∴S△ADQ＝3.∴S△APE＝eq\f(1,3)x2.同理，由PF∥AQ，可得△PDF∽△ADQ，eq\f(S△PDF,S△ADQ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PD,AD)))2.∵PD＝3－x，∴S△PDF＝eq\f(1,3)(3－x)2.∵PE∥DQ，PF∥AQ，∴四邊形PEQF是平行四邊形．∴S△PEF＝eq\f(1,2)S?PEQF＝eq\f(1,2)(S△ADQ－S△APE－S△PDF)＝－eq\f(1,3)x2＋x＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4