高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量平面向量的線性運算 向量加法運算及其幾何意義

2.2.1向量加法運算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo)重點:通過經(jīng)歷向量加法的探究,掌握向量加法概念,結(jié)合物理學(xué)實際理解向量加法的意義.能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,并能作出已知兩向量的和向量.難點：對向量加法法則概念的理解、利用向量加法的幾何意義解決平面幾何問題．知識點：向量的加法、向量加法的三角形和平行四邊形法則、向量加法運算律.能力點：能掌握向量加法運算及其幾何意義；能利用向量運算解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題；通過經(jīng)歷向量加減法概念、法則的建構(gòu)過程，感受和體會將實際問題抽象為數(shù)學(xué)概念的思想方法，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力．教育點：讓學(xué)生親身經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)概念來描述和刻畫現(xiàn)實世界的過程，體驗探索的樂趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；在探究和解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、勇于探索、互相合作的精神．自主探究點：通過位移與力的合成，探究向量的加法法則，類比數(shù)的加法運算律探究發(fā)現(xiàn)向量加法運算律．考試點：向量加法運算及其幾何意義，利用向量加法的幾何意義解決一些簡單數(shù)學(xué)問題．易錯易混點：向量運算法則的正確選擇和靈活應(yīng)用；利用向量運算的幾何意義解決平面幾何問題．拓展點：利用向量解決平面幾何問題和實際問題．教具準(zhǔn)備多媒體課件、三角板課堂模式學(xué)案導(dǎo)學(xué)一、引入新課1.知識回顧：問題1：向量的定義及表示方法？問題2：平行向量、相等向量的概念？【師生活動】教師展示課件、提出問題，學(xué)生思考并回答問題．【設(shè)計意圖】使學(xué)生對本節(jié)課所必備的基礎(chǔ)知識有一個清晰準(zhǔn)確的認(rèn)識，分散教學(xué)難點，更為學(xué)生自主探究鋪平道路．師：我們知道，數(shù)可以進(jìn)行運算，有了運算而使數(shù)的威力無窮；那么，類比數(shù)的運算，向量是否也能進(jìn)行運算？都有哪些運算呢？生：思考交流，提出猜想.【設(shè)計意圖】恰當(dāng)?shù)狞c撥啟發(fā)，使學(xué)生通過類比聯(lián)想主動、快速的探索向量的運算.在開課之初就讓學(xué)生明確本節(jié)課所要研究的內(nèi)容，讓學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)，引發(fā)學(xué)生探究新知識的欲望．2.導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)上一節(jié),我們一起學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念,明確了向量的表示方法,了解了零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念,并接觸了這些概念的辨析判斷.另外,向量和我們熟悉的數(shù)一樣也可以進(jìn)行加減運算,這一節(jié),我們先學(xué)習(xí)向量的加法.思路2.(問題導(dǎo)入)2023年大陸和臺灣沒有直航,因此春節(jié)探親,要先從臺北到香港,再從香港到上海,這兩次位移之和是什么?怎樣列出數(shù)學(xué)式子？由此導(dǎo)入新課.情境1：位移的合成【師生活動】教師展示課件，學(xué)生觀看課件；師提出問題，生思考回答.上海上海香港臺北師：在運動的過程中，飛機(jī)從最初的位置到達(dá)最終的位置都經(jīng)歷了幾次位移？生：飛機(jī)從最初的位置到達(dá)最終的位置都經(jīng)歷了兩次位移.師：如果從作用效果角度來看，這兩次位移的作用效果是什么？生：兩次位移的作用效果都等于從起點到終點的一次位移.師：在物理上，我們就把從起點到終點的位移稱作是兩次位移的和．師：位移求和問題在作圖時，兩次位移的位置關(guān)系是什么？如何作出它們的和位移？和位移的方向呢？生：第一次位移的終點是第二次位移的起點（師補(bǔ)充：從位置關(guān)系上看兩次位移是首尾相連的），和位移是由第一次位移的起點指向第二次位移的終點.師：請位移是個物理量，如果拋開它的物理屬性，正是我們所研究的——向量．那么，位移的和就可以看作是兩個向量的和；也就是說既有大小，又有方向的兩個向量可以相加.【設(shè)計意圖】求位移是學(xué)生在物理學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的問題,問題的提出可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,同時體現(xiàn)向量的應(yīng)用價值,通過學(xué)生所熟悉的位移和的求法,使學(xué)生初步意識到進(jìn)一步明確本節(jié)課的探索目標(biāo)，使得教學(xué)過程自然流暢.情境2：位移的合成【師生活動】教師出示課件、提出問題；學(xué)生思考、小組探究.師：除了位移的合成，我們還學(xué)習(xí)了哪些向量（矢量）相加的問題？生：思考回答——速度、加速度、力的合成問題.師：好，下面我們就再一次探究一下力的合成問題.（出示課件）力與力，有怎樣的關(guān)系?生：思考回答，力產(chǎn)生的效果與力，共同作用產(chǎn)生的效果相同.師：你能做出兩個力，的合力嗎？請用語言敘述.生：思考交流，得出答案：力的合成符合平行四邊形法則，合力在以，為鄰邊的平行四邊形的對角線上，并且大小等于平行四邊形對角線的長.【設(shè)計意圖】，【設(shè)計說明】由教師提問，學(xué)生分析討論，層層深入地進(jìn)入課題的探究，讓學(xué)生在自主合作探究中理解重難點.二、探究新知探究1：向量加法的三角形法則【師生活動】師提出問題；生思考、小組探究、代表匯報.師：通過前面實例的探究，我們知道向量可以相加，受到位移求和的啟發(fā)，能否找到向量求和的方法嗎？展示問題：如圖所示，類比位移的合成，作出兩個非零向量與的和.生：通過思考、小組交流，得出小組成果.師：巡視課堂，關(guān)注學(xué)生的解答過程，及時解決學(xué)生解答過程中遇到的困難和出現(xiàn)的問題.師：（向量加法的三角形法則）．已知非零向量與，在平面內(nèi)任取一點,作，,則向量叫做與的和，記作：.即：=+=.求兩個向量和運算，叫作向量的加法.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.生：.師：向量加法的三角形法則有哪些認(rèn)識？留給你印象最深的是什么？生：思考交流后回答：兩個向量要首尾相連，才能用三角形法則求和；和向量要由第一個向量的起點直線第二個向量的終點.師生共同總結(jié)要點：“首尾相接，首尾連”.【設(shè)計意圖】通過動手操作讓學(xué)生進(jìn)行獨立的探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生動手實踐能力；動畫演示使學(xué)生更直觀的感知向量加法的三角形法則，加深印象，掌握向量的幾何作圖技能，規(guī)范作圖.探究2：向量加法的平行四邊形法則【師生活動】師：求作出向量與的和，你還有其他方法嗎？生：通過思考、小組交流，得出小組成果，學(xué)生上臺展示探究成果.師：動畫演示(向量加法的平行四邊形法則)．在平面內(nèi)任取一點，作，，以，為鄰邊作，則以為起點的對角線就是與的和，記作：，=+=.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.向量加法的平行四邊形法則有求和？生：兩個向量要有“相同的起點”.師：向量加法的平行四邊形法則和三角形法則有什么聯(lián)系？本質(zhì)上是一致的嗎？生：思考回答.【設(shè)計意圖】由向量加法平行四邊形法則的圖形探究思考三角形法則，可以很清楚地使學(xué)生從幾何意義上認(rèn)識到兩個法則之間的密切聯(lián)系，理解它們的實質(zhì)，而且銜接自然，能夠使學(xué)生對比地得出兩個法則的特點與實質(zhì)，并對兩個法則的特點有較深刻的印象.探究3：向量加法運算律【師生活動】師：數(shù)的運算與運算律緊密聯(lián)系，運算律可以有效化簡運算，實數(shù)的加法運算滿足交換律和結(jié)合律，類似的，向量的加法是否也有運算律，有哪些運算律呢？師：引導(dǎo)學(xué)生完成下列表格.實數(shù)的加法向量的加法運算律向量加法的交換律：向量加法的結(jié)合律：生：獨立思考，完成表格.【設(shè)計意圖】.【設(shè)計說明】要由向量加法的結(jié)合律使學(xué)生明白，三角形法則也適用于任意多個向量相加.理解新知1.引導(dǎo)學(xué)生完成下列表格：ABABCED加法平行四邊形法則圖形表示語言表述已知非零向量與，在平面內(nèi)任取一點,作，,則=在平面內(nèi)任取一點，作，，以，為鄰邊作，則=.特點首尾相接，首尾連相同起點【設(shè)計意圖】利用表格直觀記憶所學(xué)知識，加深認(rèn)識與理解，為準(zhǔn)確地運用新知作必要的鋪墊．2.完成下列問題：（1）；（2）；（4）；（5）．【設(shè)計意圖】鞏固新知，加深對向量加、減法運算法則的理解；在訓(xùn)練向量加法三角形法則的同時，使同學(xué)們注意到三角形法則可以推廣到個向量相加的形式．即：．四、運用新知例1如圖，已知兩個不共線的向量、，求作向量．師：你有幾種方法解決例1的問題嗎？生：分析求、的和向量的方法，并獨立利用不同的方法進(jìn)行解題，并由兩名學(xué)生分別板書三角形法則和平行四邊形法則.教：巡視課堂，關(guān)注學(xué)生的解答過程，進(jìn)行個別指導(dǎo).最后課件展示兩種作圖方法的詳細(xì)步驟，學(xué)生校對答案，并反思總結(jié)．【設(shè)計意圖】校對答案，題后反思，可以加深學(xué)生對知識的理解，構(gòu)建自己的解題思維過程．解：方法一：在平面內(nèi)任取一點,作，,.方法二：在平面內(nèi)任取一點，作，，以，為鄰邊作，連接，則.【設(shè)計意圖】直接應(yīng)用，內(nèi)化新知，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.通過本例讓學(xué)生體會用兩種方法作圖的聯(lián)系與區(qū)別，并注意應(yīng)用三角形法則作圖要求首尾相連，用平行四邊形法則作圖要求起點相同，使學(xué)生熟悉求兩個向量和向量的基本步驟．思考1：若兩個向量、共線，如何求向量．師：展示課件，提出問題.生：思考作圖.（1）當(dāng)、同向時，在平面內(nèi)任取一點，作，，則；（2）當(dāng)、反向時，同理可得：師：對于方向相同的兩個向量相加，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則還適用嗎？（引導(dǎo)學(xué)生從作圖方法上進(jìn)行分析）生：平行四邊形法則不成立，三角形法則仍然適用.師：類比異號兩數(shù)相加，通過向量加法的三角形法則得出方向相反的兩個向量的和向量.師生總結(jié)：兩個不共線的向量相加，可采用平行四邊形法則或三角形法則；兩個共線向量相加只能采用三角形法則，即：三角形法則適用于任意兩個向量相加．師：對于零向量與任一向量，等于什么呢？生：思考，容易得出結(jié)論：.師：引導(dǎo)學(xué)生利用向量加法法則，從加法的幾何意義說明結(jié)論的合理性.【設(shè)計意圖】通過對共線向量加法的探討，拓寬了學(xué)生對三角形法則的認(rèn)識，使得不同位置的向量相加都有了依據(jù)；采用類比的方法，使學(xué)生對共線向量的加法，尤其是方向相反的兩個向量的加法更容易，便于化解難點.思考2：結(jié)合圖形觀察分析，向量的模與、的模有怎樣的關(guān)系？師：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形進(jìn)行探究.生：思考、小組討論，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.（1）當(dāng)與共線且同向時，；（2）當(dāng)與共線且反向時，；（3）當(dāng)與不共線時，.【設(shè)計意圖】點評:要善于運用向量的加法的運算法則及運算律來求和向量.例2長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運輸.如圖所示,一艘船從長江南岸點出發(fā),以的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度大?。ūＡ魞晌挥行?shù)字）與方向（用與江水速度間的夾角表示,精確到度）.分析：這是一個速度合成問題，把船的速度、水流速度看成兩個向量，這兩個向量的和就是小船的實際速度，且三個向量構(gòu)成一個直角三角形，已知船的速度、水流速度，就可算出船實際航行的速度.【師生活動】活動:本例結(jié)合一個實際問題說明向量加法在實際生活中的應(yīng)用.這樣的問題在物理中已有涉及,這里是要學(xué)生能把它抽象為向量的加法運算,體會其中應(yīng)解決的問題是向量模的大小及向量的方向(與某一方向所成角的大小).引導(dǎo)點撥學(xué)生正確理解題意,將實際問題反映在向量作圖上,從而與初中學(xué)過的解直角三角形建立聯(lián)系.師：你能把這個實際問題抽象為向量問題嗎？生：思考，正確理解題意，將實際問題反映成向量，并作圖完成例題.師展示課件，師生共同校對答案.解：（1）表示船速，表示水速，以、為鄰邊作，則表示船實際航行的速度.（2）在中，，，所以.因為，所以.答：船實際航行速度的大小為，方向與水的流速間的夾角約為.【設(shè)計意圖】點評:用向量法解決物理問題的步驟為:先用向量表示物理量,再進(jìn)行向量運算,最后回扣物理問題,解決問題.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生親自動手操作,引導(dǎo)學(xué)生注意規(guī)范操作,為以后解題打下良好基礎(chǔ)；變式訓(xùn)練用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.圖12活動:本題是一道平面幾何題,如果用純幾何的方法去思考,問題不難解決,如果用向量法來解,不僅思路清晰,而且運算簡單.將互相平分利用向量表達(dá),以此為條件推證使四邊形為平行四邊形的向量等式成立.教師引導(dǎo)學(xué)生探究怎樣用向量法解決幾何問題,并在解完后總結(jié)思路方法.證明:如圖12,設(shè)四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,=+,=+.AC與BD互相平分,=,=,=,因此∥且||=||,即四邊形ABCD是平行四邊形.點評:證明一個四邊形是平行四邊形時,只需證明=或=即可.而要證明一個四邊形是梯形,需證明與共線,且||≠|(zhì)|.五、課堂小結(jié)1.先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識:向量的加法定義,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,向量加法滿足交換律和結(jié)合律,幾何作圖,向量加法的實際應(yīng)用.2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法:特殊與一般,歸納與類比,數(shù)形結(jié)合,分類討論,特別是通過知識遷移類比獲得新知識的過程與方法.這種遷移類比的方法將把我們引向數(shù)學(xué)的王國,科學(xué)的殿堂.教師提問：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？留給你印象最深的是什么？（引導(dǎo)學(xué)生從知識點、思想方法兩方面進(jìn)行總結(jié)）學(xué)生總結(jié)：1．知識點：向量加法的三角形法則；向量加法的平行四邊形法則；向量加法的運算律；相反向量；2．思想：歸納類比、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法．教師展示課件并強(qiáng)調(diào)：1．向量加法的三角形法則要注意兩個向量“首尾相連”；2．向量加法的平行四邊形法則要注意兩個向量“同起點”；【設(shè)計意圖】讓學(xué)生通過小結(jié)，反思學(xué)習(xí)過程，提升對所學(xué)知識及數(shù)學(xué)思想方法的理解和應(yīng)用意識；提高學(xué)生的概括、歸納能力.同時學(xué)生在回顧、總結(jié)、反思的過程中，將知識條理化、系統(tǒng)化，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)更趨合理；最后教師用課件展示小結(jié)內(nèi)容并進(jìn)行重點強(qiáng)調(diào)，使學(xué)生印象深刻.為了鼓勵學(xué)生的個性發(fā)展，在課堂小結(jié)部分設(shè)置一個開放性問題，期望通過這個問題使學(xué)生體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心．六、布置作業(yè)1．書面作業(yè)（課下投影）如圖16所示,已知矩形ABCD中,||=4,設(shè)=a,=b,=c,試求向量a+b+c的模.圖16解:過D作AC的平行線,交BC的延長線于E,∴DE∥AC,AD∥BE.∴四邊形ADEC為平行四邊形.∴=,=.于是a+b+c=++=+==+=2,∴|a+b+c|=2||=8.點評:求若干個向量的和的模(或最值)的問題通常按下列步驟進(jìn)行:(1)尋找或構(gòu)造平行四邊形,找出所求向量的關(guān)系式;(2)用已知長度的向量表示待求向量的模,有時還要利用模的重要性質(zhì).必做題：3，4．2．課外思考思考1：是內(nèi)一點，且，判斷是的什么心？思考2：三人奪球游戲的規(guī)則：在小球上均勻裝上三條繩子，由三人在一水平面分別拉繩，要求每兩人與球連接夾角相等，得到小球者為勝.現(xiàn)有甲、乙、丙三人玩此游戲，若甲、乙兩人的力量相同，均為，則丙需要多少力量才能使小球靜止？若甲、乙兩人的力量不等，小球有可能靜止嗎？[設(shè)計意圖]通過適量的課后作業(yè)，復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識,并使．書面作業(yè)的布置，設(shè)置了兩組練習(xí)，一組必做題，一組選做題，這樣可以使學(xué)生在完成基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時，又能得到符合自身實