高中數(shù)學(xué)北師大版第一章立體幾何初步單元測試 學(xué)業(yè)分層測評8

學(xué)業(yè)分層測評(八)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標]一、選擇題1．下列說法中正確的個數(shù)是()①若直線l與平面α內(nèi)一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l與平面α內(nèi)兩條直線垂直，則l⊥α；③若直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線垂直，則l⊥α；④若直線l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直，則l⊥α；⑤若直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則l⊥α.A．1 B．2C．3 D．4【解析】對①②⑤，由于缺少“相交”二字，不能斷定該直線與平面垂直，該直線與平面可能平行，可能斜交，也可能在平面內(nèi)，所以是錯誤的．正確的是③④，故選B.【答案】B2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1CB．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB【解析】連接A1D、B1C，由ABCD-A1B1C1D1為正方體可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.【答案】B3．如果直線l，m與平面α，β，γ滿足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ【解析】B錯，有可能m與β相交；C錯，有可能m與β相交；D錯，有可能α與β相交．【答案】A4．如圖1-6-11，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A，B)，且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為()圖1-6-11A．60°B．30°C．45°D．90°【解析】∵AB為直徑，∴AC⊥CB，又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，PC平面PAC，∴PC⊥BC，∴∠PCA為二面角P-BC-A的平面角，又PA＝AC，∴∠ACP＝45°.【答案】C5．在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點E、F、G分別是所在棱的中點，則下面結(jié)論中錯誤的是()圖1-6-12A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直線EF與直線PC所成的角D．∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角【解析】由三角形的中位線的性質(zhì)可證EG∥BC，F(xiàn)G∥PC，進而可證平面EFG∥平面正確，由PC⊥BC，PC⊥AC可證PC⊥平面ABC，又因為PC∥FG，所以FG⊥平面ABC，所以平面EFG⊥平面正確，因為E、F分別為所在棱的中點，所以EF∥PB，所以∠BPC是直線EF與直線PC所成的角，D錯誤，因為AB與平面EFG不垂直．【答案】D二、填空題6．如圖1-6-13，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ACD1與平面BB1D1D的位置關(guān)系是________．圖1-6-13【解析】∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵D1D⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.∵AC平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.【答案】垂直7．如圖1-6-14所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)有________．圖1-6-14【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\al(PA⊥平面ABC,BC平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\al(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.【答案】4個8．正四面體的側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值是________．【解析】如圖所示，設(shè)正四面體A-BCD的棱長為1，頂點A在底面上的射影為O，連接DO，并延長交BC于點E，連接AE，則E為BC的中點，故AE⊥BC，DE⊥BC，∴∠AEO為側(cè)面ABC與底面BCD所成的二面角的平面角．在Rt△AEO中，AE＝eq\f(\r(3),2)，EO＝eq\f(1,3)ED＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)，∴cos∠AEO＝eq\f(EO,AE)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)三、解答題9．如圖1-6-15，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點，求證：平面BDE⊥平面ABCD.圖1-6-15【證明】設(shè)AC∩BD＝O，連接OE.因為O為AC中點，E為PA的中點，所以EO是△PAC的中位線，EO∥PC.因為PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因為EO平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.10.如圖1-6-16，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°且PA＝AB＝BC，E是PC的中點．求證：圖1-6-16(1)CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.【導(dǎo)學(xué)號：10690023】【證明】(1)因為PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD.因為AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因為E是PC的中點，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.又PD平面PCD，所以AE⊥PD.因為PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以AB⊥PD.又AE∩AB＝A，所以PD⊥平面ABE.[能力提升]1．在正四面體P-ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC【解析】如圖所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴A正確．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE.∴B正確．∵平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，∴D正確．【答案】C2．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P到BC的距離是()\r(5)B．2eq\r(5)C．3eq\r(5)D．4eq\r(5)【解析】如圖所示，作PD⊥BC于點D，連接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CD，∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在Rt△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4，在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).【答案】D3．在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿對角線AC折起，使折起后BD＝eq\f(\r(3),2)，則二面角B-AC-D的余弦值為________．【解析】如圖所示，由二面角的定義知∠BOD即為二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BOD＝60°.【答案】60°4.如圖1-6-17，在三棱錐P-ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝eq\r(34).圖1-6-17(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)過C作CF⊥PB交PB于點F，在線段AB上找一點E，使得PB⊥平面CEF，求點E的位置．【解】(1)證明：由已知得PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋AB2＝34，所以PA⊥AC，PA⊥AB，又AB∩AC＝A，所以PA⊥平面ABC.(2)因為CF⊥PB，所以