高中數(shù)學人教A版2第二章推理與證明單元測試 全國獲獎

推理與證明章末測試題（時間：120分鐘滿分：150分）山東沂南職業(yè)中專高中部276300高英軍_一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．下面用“三段論”形式寫出的演練推理：因為指數(shù)函數(shù)y＝ax（a>0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，y＝（eq\f(1,2)）x是指數(shù)函數(shù)，所以y＝（eq\f(1,2)）x在（0，＋∞）上是增函數(shù)．該結(jié)論顯然是錯誤的，其原因是（）A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．以上都可能2．命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ－sin2θ）（cos2θ＋sin2θ）＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”過程應用了（）A．分析法B．綜合法C．綜合法、分析法綜合使用D．間接證明法3．用數(shù)學歸納法證明命題“當n是正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時，正確的證法是（）．A．假設n＝k（k∈N＋），證明n＝k＋1命題成立B．假設n＝k（k是正奇數(shù)），證明n＝k＋1命題成立C．假設n＝2k＋1（k∈N＋），證明n＝k＋1命題成立D．假設n＝k（k是正奇數(shù)），證明n＝k＋2命題成立4.要證明eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)，可選擇的方法有下面幾種，其中最合理的是（）A.綜合法B.特殊值法C.分析法D.其他方法5．用反證證明：“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設為（）A．a(chǎn),b,c中都是奇數(shù)或至少兩個偶數(shù)B．a(chǎn),b,c都是奇數(shù)C．a(chǎn),b,c中至少有兩個偶數(shù)D．a(chǎn),b,c都是偶數(shù)6．若點P是正四面體A－BCD的面BCD上一點，且P到另三個面的距離分別為h1，h2，h3，正四面體A－BCD的高為h，則（）A．h>h1＋h2＋h3 B．h＝h1＋h2＋h3C．h<h1＋h2＋h3 D．h1，h2，h3與h的關系不定7.利用數(shù)學歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋an＋1=，（a≠1，n∈N）”時，在驗證n=1成立時，左邊應該是（）＋a＋a＋a2＋a＋a2＋a38．設n∈N*，f（n）＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，計算知f（2）＝eq\f(3,2)，f（4）＞2，f（8）＞eq\f(5,2)，f（16）＞3，f（32）＞eq\f(7,2)，由此猜想（）A．f（2n）＞eq\f(2n＋1,2) B．f（n2）≥eq\f(n＋2,2)C．f（2n）≥eq\f(n＋2,2) D．以上都不對9．設△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝，類比這個結(jié)論可知：四面體S-ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球半徑為r，四面體S-ABC的體積為V，則r=（）A．B．C．D．10．數(shù)列﹛an﹜的前n項和Sn=n2an（n≥2）．而a1=1，通過計算a2，a3，a4，猜想an=（）A.B.C.D.11．p＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，q＝eq\r(ma＋nc)·eq\r(\f(b,m)＋\f(d,n))（m、n、a、b、c、d均為正數(shù)），則p、q的大小為（）A．p≥q B．p≤qC．p＞q D．不確定12．從1開始的自然數(shù)按如圖2所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個三角形框架在圖中上下或左右移動，使每次恰有九個數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個數(shù)的和可以為（）圖1圖1 A.2097 B.2112 C.2090.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.）13．下列三句話按三段論的模式排列順序正確的是.①2016能被2整除；②一切偶數(shù)都能被2整除；③2016是偶數(shù)．14“開心辭典”中有這樣的問題：給出一組數(shù)，要你根據(jù)規(guī)律填出后面的第幾個數(shù)，現(xiàn)給出一組數(shù)：eq\f(1,2),-eq\f(1,2),eq\f(3,8),-eq\f(1,4),eq\f(5,32),它的第8個數(shù)可以是__.圖215．圓錐曲線中不同曲線的性質(zhì)都是有一定聯(lián)系的，比如圓可以看成特殊的橢圓，所以很多圓的性質(zhì)結(jié)論可以類比到橢圓，例如；如圖所示,橢圓C:可以被認為由圓作縱向壓縮變換或由圓作橫向拉伸變換得到的.依據(jù)上述論述我們可以推出橢圓C的面積公式為.圖216.用數(shù)學歸納法證明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═時，由n=k的假設到證明n=k+1時，等式左邊應添加的式子是.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（10分）已知0<a<1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(4,1－a)≥9.18．（12分）推理與證明是數(shù)學的一般思考方式，也是學數(shù)學、做數(shù)學的基本功.請選擇你認為合適的證明方法，完成下面的問題.已知a,b,c∈R,a＋b＋c＞0,ab＋bc＋ca＞0,abc＞0.求證:a,b,c,全為正數(shù).19．（12分）設數(shù)列{an}的前項和為，且滿足．（Ⅰ）求，，，的值并寫出其通項公式；（Ⅱ）用三段論證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列．20．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an=1，Sn=n2an（n∈N*），（1）試計算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達式;（2）求出an的表達式，并證明（1）中你的猜想.21．（12分）閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin（+）=sincos+cossin------①sin（-）=sincos-cossin------②由①+②得sin（+）+sin（-）=2sincos------③令+=A,-=B有=,=.代入③得sinA+sinB=2sincos,⑴類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:cosA-cosB=-2sinsin;⑵若△ABC的三個內(nèi)角A,B,C滿足cos2A-cos2B=1-cos2C,試判斷△ABC22.（12分）由下列不等式：你能得到怎樣一個不等式？并加以證明.參考答案選擇題2.B5.A9.C提示：1.大前提是：指數(shù)函數(shù)y＝ax（a>0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，這是錯誤的．2.因為證明過程是“從左往右”，即由條件?結(jié)論．故選B.3．因為連續(xù)奇數(shù)相差整數(shù)2.4.根據(jù)分析法的定義.5．自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)的反面為a,b,c中都是奇數(shù)或至少兩個偶數(shù).6．由點P是正三角形ABC的邊BC上一點，且P到另兩邊的距離分別為h1，h2，正三角形ABC的高為h，由面積相等可以得到h＝h1＋h2.于是，采用類比方法，平面上的面積類比空間中的體積，可得答案為B.7.當n=1左邊==1＋a＋a2，故選C.8．由f（2），f（4），f（8），f（16）可猜想f（2n）≥eq\f(n＋2,2).圖39．設四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和，則四面體的體積為

V四面體A?BCD＝（S1+S2+S3+S4）R，

所以R=,故選C．圖310．因為數(shù)列﹛an﹜的前n項和Sn=n2an（n≥2），所以S2=4a2，因為a1=1，所以1+a2=4a所以；又S3=1++a3=9a3，所以，S4=1+++a4=16a4，所以a4=，…，所以.故選B．11．q＝eq\r(ab＋\f(mad,n)＋\f(nbc,m)＋cd)≥eq\r(ab＋2\r(abcd)＋cd)＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)＝p.12.根據(jù)如圖所示的規(guī)則排列，設最上層的一個數(shù)為a，則第二層的三個數(shù)為a+7，a+8，a+9，第三層的五個數(shù)為a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，這9個數(shù)之和為a+3a+24+5a+80=9a+104．由9a+104=2023，得a填空題13．②③①14．-15．a(chǎn)b16.（k+1）2+k2.提示：13.②是大前提，③是小前提，①是結(jié)論14．eq\f(1,2),-eq\f(1,2),eq\f(3,8),-eq\f(1,4),eq\f(5,32)可化為，-，，-，，故通項公式為an=（-1）n+1，故它的第8個數(shù)可以是a8=-.15．類比圓的圓的面積a2得橢圓的面積ab.16.根據(jù)等式左邊的特點，各數(shù)是先遞增再遞減，由于n=k，左邊=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12n=k+1時，左邊=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12比較兩式，從而等式左邊應添加的式子是（k+1）2+k2三、解答題17．證明:因為0<a<1，所以1－a>0，所以要證eq\f(1,a)＋eq\f(4,1－a)≥9，只需證1－a＋4a≥9a（1－a即證1＋3a≥9a（1－a即證9a2－6a＋即證（3a－1）2≥0上式顯然成立．所以原命題成立．18.證明：假設a，b，c是不全為正的實數(shù)，由于abc＞0，則它們只能是兩負一正，不妨設a＜0，b＜0，c＞0.又因為ab＋bc＋ca＞0，所以a（b＋c）＋bc＞0，且bc＜0，所以a（b＋c）＞0.①又因為a＜0，所以b＋c＜0.所以a＋b＋c＜0這與a＋b＋c＞0相矛盾．故假設不成立，原結(jié)論成立，即a，b，c均為正實數(shù)．19.解：⑴由，得；；；，猜想．⑵因為通項公式為的數(shù)列，若，是非零常數(shù)，則是等比數(shù)列；因為通項公式，又；所以通項公式的數(shù)列是等比數(shù)列．20．解：（1）由an=1，Sn=n2an（n∈N*）得S1=1，S2=，S3=，S4=，猜想（n∈N）（2）證明：因為Sn=n2an①，所以Sn-1=（n-1）2an-1②①-②得Sn-Sn-1=n2an-（n-1）2an-1，所以an=n2an-（n-1）2an-1,化簡得，所以,,,…,,把上面各式相乘得，所以，=.21．解：⑴證明:因為cos（+）=coscos-sinsin，------①cos（-）=coscos+sinsin，------②…①-②得cos（+）-cos（-）=-2③令+=A,-=B有=,=，代入③得cosA-cosB=-2sinsin.⑵由二倍角公式,cos2A-cos2B=1-cos21-2sin2A-1+2sin2B=1-1+2sin2所以sin2A+sin2C=sin2設△ABC的三個內(nèi)角A,