高中數(shù)學蘇教版第二章平面向量 第2章向量的應用

第2章平面向量向量的應用A級基礎鞏固1．已知三個力F1＝(－2，－1)，F(xiàn)2＝(－3，2)，F(xiàn)3＝(4，－3)同時作用于某物體上一點，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個力F4，則F4等于()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1，2) D．(1，2)解析：為使物體平衡，即合外力為零，即4個向量相加等于零向量，所以F4＝(0－(－2)－(－3)－4，0－(－1)－2－(－3))＝(1，2)．答案：D2．在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝0，eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(BD,\s\up13(→))＝0，則四邊形為()A．平行四邊形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形解析：由題意可知，eq\o(AB,\s\up13(→))∥eq\o(CD,\s\up13(→))，|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝|eq\o(CD,\s\up13(→))|，且eq\o(AC,\s\up13(→))⊥eq\o(BD,\s\up13(→))，所以四邊形ABCD為菱形．答案：D3.如圖所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10牛頓，方向與水平面成60°角，當小車向前運動10米，則力F做的功為()A．100焦耳 B．50焦耳C．50eq\r(3)焦耳 D．200焦耳解析：設小車位移為s，則|s|＝10米．WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×eq\f(1,2)＝50(焦耳)．答案：B4．在△ABC中，若(eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→)))·(eq\o(CA,\s\up13(→))－eq\o(CB,\s\up13(→)))＝0，則△ABC為()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．形狀無法確定解析：因為(eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→)))·(eq\o(CA,\s\up13(→))－eq\o(CB,\s\up13(→)))＝0，所以eq\o(CA2,\s\up13(→))－eq\o(CB2,\s\up13(→))＝0，eq\o(CA2,\s\up13(→))＝eq\o(CB2,\s\up13(→)).所以CA＝CB，△ABC為等腰三角形．答案：C5．O是平面ABC內的一定點，P是平面ABC內的一動點，若(eq\o(PB,\s\up13(→))－eq\o(PC,\s\up13(→)))·(eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝(eq\o(PC,\s\up13(→))－eq\o(PA,\s\up13(→)))·(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝0，則O為△ABC的()A．內心 B．外心C．重心 D．垂心解析：因為(eq\o(PB,\s\up13(→))－eq\o(PC,\s\up13(→)))·(eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝0，則(eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(OC,\s\up13(→)))·(eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝0，所以eq\o(OB,\s\up13(→))2－eq\o(OC,\s\up13(→))2＝0，所以|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|.同理可得|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|，即|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|.所以O為△ABC的外心．答案：B6．一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實際航行方向與水流的方向成30°角，則水流速度為________km/h.解析：如圖所示，船速|v1|＝5(km/h)，水速為v2，實際速度|v|＝10(km/h)，所以|v2|＝eq\r(100－25)＝eq\r(75)＝5eq\r(3)(km/h)．答案：5eq\r(3)7．在△ABC中，已知|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝4，且eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AC,\s\up13(→))＝8，則這個三角形的形狀是__________________．解析：因為eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AC,\s\up13(→))＝4×4×cosA＝8，所以cosA＝eq\f(1,2).所以∠A＝eq\f(π,3).所以△ABC是正三角形．答案：正三角形8．過點A(2015，2016)且垂直于向量a＝(－1，1)的直線方程為______________．解析：在直線上任取一點P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up13(→))＝(x－2015，y－2016)，依題意eq\o(AP,\s\up13(→))·a＝0，所以－(x－2015)＋y－2016＝0，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝09．兩個粒子a，b從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時刻，它們的位移分別為va＝(4，3)，vb＝(2，10)．(1)寫出此時粒子b相對粒子a的位移v；(2)計算v在va方向上的投影．解：(1)v＝vb－va＝(2，10)－(4，3)＝(－2，7)．(2)|v|·cos〈v，va〉＝eq\f(v·va,|va|)＝eq\f(（－2，7）·（4，3）,\r(32＋42))＝eq\f(－8＋21,5)＝eq\f(13,5).10.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．解：設eq\o(AD,\s\up13(→))＝a，eq\o(AB,\s\up13(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up13(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up13(→))＝a－b，由已知|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，則(a－b)2＝|a－b|2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4則1－2a·b＋4＝4，所以a·b＝eq\f(1,2).所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq\f(1,2)＋4＝6，所以|a＋b|＝eq\r(6).故對角線AC的長為eq\r(6).B級能力提升11．在△ABC所在的平面內有一點P，滿足eq\o(PA,\s\up13(→))＋eq\o(PB,\s\up13(→))＋eq\o(PC,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))，則△PBC與△ABC的面積之比是()\f(1,3)\f(1,2)\f(2,3)\f(3,4)解析：由eq\o(PA,\s\up13(→))＋eq\o(PB,\s\up13(→))＋eq\o(PC,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))，得eq\o(PA,\s\up13(→))＋eq\o(PB,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))＋eq\o(PC,\s\up13(→))＝0，即eq\o(PC,\s\up13(→))＝2eq\o(AP,\s\up13(→))，所以點P是CA邊上的三等分點，如圖所示．故eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(|PC|,|AC|)＝eq\f(2,3).答案：C12．已知直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝1相交于A，B兩點，且AB＝1，則eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(OB,\s\up13(→))＝________．解析：因為圓x2＋y2＝1的半徑為1，AB＝1，所以△AOB為正三角形．所以eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(OB,\s\up13(→))＝1×1·cos60°＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．已知圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及點A(1，1)，M是圓C上的任意一點，點N在線段MA的延長線上，且eq\o(MA,\s\up13(→))＝2eq\o(AN,\s\up13(→))，求點