高中數(shù)學人教B版第一章立體幾何初步 第1章4

學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．(2023·鄭州高一檢測)給出下列說法：①梯形的四個頂點共面；②三條平行直線共面；③有三個公共點的兩個平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定3個平面．其中正確的序號是()A．① B．①④C．②③ D．③④【解析】因為梯形有兩邊平行，所以梯形確定一個平面，所以①是正確的；三條平行直線不一定共面，如直三棱柱的三條平行的棱，所以②不正確；有三個公共點的兩個平面不一定重合，如兩個平面相交，三個公共點都在交線上，所以③不正確；三條直線兩兩相交，可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是1或3，所以④不正確．【答案】A2．a(chǎn)、b為異面直線是指①a∩b＝?，且a不平行于b；②a?平面α，b?平面α，且a∩b＝?；③a?平面α，b?平面β，且α∩β＝?；④不存在平面α能使a?α，且b?α成立．()A．①②③ B．①③④C．②③ D．①④【解析】②③中的a，b有可能平行，①④符合異面直線的定義．【答案】D3．(2023·蚌埠高二檢測)經(jīng)過空間任意三點作平面()A．只有一個 B．可作兩個C．可作無數(shù)多個 D．只有一個或有無數(shù)多個【解析】若三點不共線，只可以作一個平面；若三點共線，則可以作出無數(shù)多個平面，選D.【答案】D4．空間四點A、B、C、D共面而不共線，那么這四點中()A．必有三點共線 B．必有三點不共線C．至少有三點共線 D．不可能有三點共線【解析】如圖(1)(2)所示，A、C、D均不正確，只有B正確，如圖(1)中A、B、D不共線．(1)(2)【答案】B5．如圖1-2-10，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C?l，直線AB∩l＝D，過A、B、C三點確定的平面為γ，則平面γ、β的交線必過()圖1-2-10A．點A B．點BC．點C，但不過點D D．點C和點D【解析】根據(jù)公理判定點C和點D既在平面β內(nèi)又在平面γ內(nèi)，故在β與γ的交線上．故選D.【答案】D二、填空題6．設平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l.【解析】因為a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因為α∩β＝l，所以M∈l.【答案】∈7．如圖1-2-11，在正方體ABCD-A1B1C1D1圖1-2-11(1)平面AB1∩平面A1C1(2)平面A1C1CA∩平面AC(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB【答案】(1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B18．空間三條直線，如果其中一條直線和其他兩條直線都相交，那么這三條直線能確定的平面?zhèn)€數(shù)是________．【解析】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直線AB，A1B1與AA1可以確定一個平面(平面ABB1A1②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，直線AB，AA1與A1D1可以確定兩個平面(平面ABB1A1和平面ADD1A③三條直線AB，AD，AA1交于一點A，它們可以確定三個平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A【答案】1或2或3三、解答題9．如圖1-2-12所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF，GH交于一點P，求證：點P在直線BD上．圖1-2-12【證明】∵EF∩GH＝P，∴P∈EF且P∈GH.又∵EF?平面ABD，GH?平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，∴P∈平面ABD∩平面CBD，∵平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.∴點P在直線BD上．10．求證：兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內(nèi)．【解】已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明：法一∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．法二∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1、l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2、l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點A、B、C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．[能力提升]1．已知α，β為平面，A，B，M，N為點，a為直線，下列推理錯誤的是()【導學號：60870033】A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC．A∈α，A∈β?α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線?α，β重合【解析】選項C中，α與β有公共點A，則它們有過點A的一條交線，而不是點A，故C錯．【答案】C2．空間中有A，B，C，D，E五個點，已知A，B，C，D在同一個平面內(nèi)，B，C，D，E在同一個平面內(nèi)，那么這五個點()A．共面 B．不一定共面C．不共面 D．以上都不對【解析】若B，C，D共線，則這五個點不一定共面；若B，C，D不共線，則這五個點一定共面，故選B.【答案】B3．(2023·邯鄲高一檢測)如圖1-2-13所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點圖1-2-13①C1，M，O三點共線；②C1，M，O，C四點共面；③C1，O，A，M四點共面；④D1，D，O，M四點共面．【解析】在題圖中，連接A1C1，AC(圖略)，則AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝∴三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O∴選項①、②、③均正確，④不正確．【答案】①②③4．在正方體AC1中，E、F分別為D1C1、B1C1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF圖1-2-14(1)求證：D、B、E、F四點共面；(2)作出直線A1C與平面BDEF的交點R【解】(1)證明：由于CC1和BF在同一個平面內(nèi)且不平行，故必相交．設交點為O，則OC1＝C1C.同理直線DE與CC1也相交，設交點為O′，則O′C1＝C1C，故O′與O重合．由此可證得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四點共面(設為