高中數學人教A版2第二章推理與證明合情推理與演繹推理2

合情推理與演繹推理合情推理[學習目標]1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理．2．了解合情推理在數學發(fā)現中的作用．[知識鏈接]1．歸納推理和類比推理的結論一定正確嗎？答歸納推理的結論超出了前提所界定的范圍，其前提和結論之間的聯系不是必然性的，而是或然性的，結論不一定正確．類比推理是從人們已經掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結果具有猜測性，不一定可靠．2．由合情推理得到的結論可靠嗎？答一般來說，由合情推理所獲得的結論，僅僅是一種猜想，未必可靠，例如，費馬猜想就被數學家歐拉推翻了．[預習導引]1．歸納推理和類比推理定義特征歸納推理由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理類比推理是由特殊到特殊的推理2.合情推理的含義歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．3．合情推理的過程eq\x(從具體問題出發(fā))→eq\x(觀察、分析、比較、聯想)→eq\x(歸納、類比)→eq\x(提出猜想)要點一歸納推理的應用例1觀察如圖所示的“三角數陣”1…………第1行22…………第2行343…………第3行4774…………第4行51114115…………第5行…………記第n(n＞1)行的第2個數為an(n≥2，n∈N*)，請仔細觀察上述“三角數陣”的特征，完成下列各題：(1)第6行的6個數依次為________、________、________、________、________、________；(2)依次寫出a2、a3、a4、a5；(3)歸納出an＋1與an的關系式．解由數陣可看出，除首末兩數外，每行中的數都等于它上一行的肩膀上的兩數之和，且每一行的首末兩數都等于行數．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此歸納：an＋1＝an＋n.規(guī)律方法對于數陣問題的解決方法，既要清楚每行、每列數的特征，又要對上、下行，左、右列間的關系進行研究，找到規(guī)律，問題即可迎刃而解．跟蹤演練1根據下列條件，寫出數列中的前4項，并歸納猜想它的通項公式．(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1；(2)a1＝a，an＋1＝eq\f(1,2－an)；(3)對一切的n∈N*，an>0，且2eq\r(Sn)＝an＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－猜想an＝2n＋1－1，n∈N*.(2)由已知可得a1＝a，a2＝eq\f(1,2－a1)＝eq\f(1,2－a)，a3＝eq\f(1,2－a2)＝eq\f(2－a,3－2a)，a4＝eq\f(1,2－a3)＝eq\f(3－2a,4－3a).猜想an＝eq\f(n－1－n－2a,n－n－1a)(n∈N*)．(3)∵2eq\r(Sn)＝an＋1，∴2eq\r(S1)＝a1＋1，即2eq\r(a1)＝a1＋1，∴a1＝1.又2eq\r(S2)＝a2＋1，∴2eq\r(a1＋a2)＝a2＋1，∴aeq\o\al(2,2)－2a2－3＝0.∵對一切的n∈N*，an>0，∴a2＝3.同理可求得a3＝5，a4＝7，猜想出an＝2n－1(n∈N*)．要點二類比推理的應用例2如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊．類比上述定理，寫出對空間四面體性質的猜想．解如右圖所示，在四面體P－ABC中，設S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大?。覀儾孪肷溆岸ɡ眍惐韧评淼饺S空間，其表現形式應為S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.規(guī)律方法(1)類比推理的基本原則是根據當前問題的需要，選擇適當的類比對象，可以從幾何元素的數目、位置關系、度量等方面入手．由平面中的相關結論可以類比得到空間中的相關結論．(2)平面圖形與空間圖形類比平面圖形空間圖形點線線面邊長面積面積體積線線角二面角三角形四面體跟蹤演練2已知P(x0，y0)是拋物線y2＝2px(p>0)上的一點，過P點的切線方程的斜率可通過如下方式求得：在y2＝2px兩邊同時對x求導，得2yy′＝2p，則y′＝eq\f(p,y)，所以過P的切線的斜率k＝eq\f(p,y0).類比上述方法求出雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1在P(eq\r(2)，eq\r(2))處的切線方程為________．答案2x－y－eq\r(2)＝0解析將雙曲線方程化為y2＝2(x2－1)，類比上述方法兩邊同時對x求導得2yy′＝4x，則y′＝eq\f(2x,y)，即過P的切線的斜率k＝eq\f(2x0,y0)，由于P(eq\r(2)，eq\r(2))，故切線斜率k＝eq\f(2\r(2),\r(2))＝2，因此切線方程為y－eq\r(2)＝2(x－eq\r(2))，整理得2x－y－eq\r(2)＝0.要點三平面圖形與空間圖形的類比例3三角形與四面體有下列相似性質：(1)三角形是平面內由直線段圍成的最簡單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡單的封閉圖形．(2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點與這條線段的兩個端點的連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點與這個三角形三個頂點的連線所圍成的圖形．通過類比推理，根據三角形的性質推測空間四面體的性質填寫下表：三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的中位線的長等于第三邊長的一半，且平行于第三邊三角形的三條內角平分線交于一點，且這個點是三角形內切圓的圓心解三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊四面體任意三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的中位線的長等于第三邊長的一半，且平行于第三邊四面體的中截面(以任意三條棱的中點為頂點的三角形)的面積等于第四個面的面積的eq\f(1,4)，且平行于第四個面三角形的三條內角平分線交于一點，且這個點是三角形內切圓的圓心四面體的六個二面角的平分面交于一點，且這個點是四面體內切球的球心規(guī)律方法將平面幾何中的三角形、長方形、圓、面積等和立體幾何中的三棱錐、長方體、球、體積等進行類比，是解決和處理立體幾何問題的重要方法．跟蹤演練3類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可推出正四面體的下列哪些性質，你認為比較恰當的是()①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等．A．① B．①②C．①②③ D． ③答案C解析由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，叫類比推理，上述三個結論均符合推理結論，故均正確．1．下列說法正確的是()A．由合情推理得出的結論一定是正確的B．合情推理必須有前提有結論C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的結論不能判斷正誤答案B解析根據合情推理定義可知，合情推理必須有前提有結論．2．下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子應是什么顏色()A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大答案A解析由圖知：三白二黑周而復始相繼排列，36÷5＝7余1.∴第36顆珠子的顏色為白色．3．將全體正整數排成一個三角形數陣：123456789101112131415……按照以上排列的規(guī)律，第n行(n≥3)從左向右的第3個數為________．答案eq\f(n2－n＋6,2)解析前n－1行共有正整數1＋2＋…＋(n－1)個，即eq\f(n2－n,2)個，因此第n行第3個數是全體正整數中第eq\f(n2－n,2)＋3個，即為eq\f(n2－n＋6,2).4．觀察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….這些等式反映了自然數間的某種規(guī)律，設n表示正整數，用關于n的等式表示為________．答案(n＋2)2－n2＝4n＋4解析由已知四個式子可分析規(guī)律：(n＋2)2－n2＝4n＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，數學研究中，得到一個新結論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現結論；證明一個數學結論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向．合情推理的過程概括為：eq\x(從具體問題出發(fā))→eq\x(觀察、分析、比較、聯想)→eq\x(歸納、類比)→eq\x(提出猜想).一般來說，由合情推理所獲得的結論，僅僅是一種猜想，其可靠性還需進一步證明．2．歸納推理與類比推理都屬合情推理：(1)歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理．它是一種由部分到整體，由個別到一般的推理．(2)類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理，它是一種由特殊到特殊的推理.一、基礎達標1．數列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47 B．65C．63 D．128答案B解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，歸納可得：x＝26＋1＝65.2．根據給出的數塔猜測123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113答案B解析由數塔猜測應是各位都是1的七位數，即1111111.3．設0<θ<eq\f(π,2)，已知a1＝2cosθ，an＋1＝eq\r(2＋an)，猜想an＝()A．2coseq\f(θ,2n) B．2coseq\f(θ,2n－1)C．2coseq\f(θ,2n＋1) D．2sineq\f(θ,2n)答案B解析法一∵a1＝2cosθ，a2＝eq\r(2＋2cosθ)＝2eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝2coseq\f(θ,2)，a3＝eq\r(2＋a2)＝2eq\r(\f(1＋cos\f(θ,2),2))＝2coseq\f(θ,4)，…，猜想an＝2coseq\f(θ,2n－1).法二驗n＝1時，排除A、C、D，故選B.4．對命題“正三角形的內切圓切于三邊中點”可類比猜想：正四面體的內切球切于四面體各正三角形的()A．一條中線上的點，但不是中心B．一條垂線上的點，但不是垂心C．一條角平分線上的點，但不是內心D．中心答案D解析由正四面體的內切球可知，內切球切于四個側面的中心．5．觀察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根據上述規(guī)律，第四個等式為________．答案13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析觀察前3個等式發(fā)現等式左邊分別是從1開始的兩個數、三個數、四個數的立方和，等式右邊分別是這幾個數的和的平方，因此可得第四個等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152.6．觀察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此規(guī)律，第n個等式為________．答案n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)27．在△ABC中，若∠C＝90°，則cos2A＋cos2B＝1，用類比的方法，猜想三棱錐的類似性質，并證明你的猜想解由平面類比到空間，有如下猜想：“在三棱錐P－ABC中，三個側面PAB，PBC，PCA兩兩垂直，且與底面所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”證明設P在平面ABC的射影為O，延長CO交AB于M，記PO＝h，由PC⊥PA，PC⊥PB得PC⊥面PAB，從而PC⊥PM，又∠PMC＝α，cosα＝sin∠PCO＝eq\f(h,PC)，cosβ＝eq\f(h,PA)，cosγ＝eq\f(h,PB)∵VP－ABC＝eq\f(1,6)PA·PB·PC＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PA·PBcosα＋))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PB·))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(PCcosβ＋\f(1,2)PC·PAcosγ))·h，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,PC)＋\f(cosβ,PA)＋\f(cosγ,PB)))h＝1即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.二、能力提升8．設△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，類比這個結論可知：四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內切球半徑為r，四面體S－ABC的體積為V，則r＝()\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C．eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)答案C解析設四面體的內切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四面體的體積為V四面體A－BCD＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).9．(2023·湖北)古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數．如三角形數1,3,6,10，…，第n個三角形數為eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.記第n個k邊形數為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：三角形數N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n正方形數N(n,4)＝n2五邊形數N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n六邊形數N(n,6)＝2n2－n……可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)＝________.答案1000解析由歸納推理可知：n2和n前面的系數，一個成遞增的等差數列，另一個成遞減的等差數列，所以N(n，k)＝eq\f(k－2,2)n2－eq\f(1,2)n(k－4)，所以N(10,24)＝eq\f(24－2,2)×102－eq\f(1,2)×10(24－4)＝1100－100＝1000.10．(2023·陜西)觀察下列等式：eq\a\vs4\al(12＝1,12－22＝－3,12－22＋32＝6,12－22＋32－42＝－10,…)照此規(guī)律，第n個等式可為________．答案12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝eq\f(－1n＋1,2)n(n＋1)解析分n為奇數、偶數兩種情況．當n為偶數時，分組求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－eq\f(nn＋1,2).當n為奇數時，第n個等式＝－eq\f(nn－1,2)＋n2＝eq\f(nn＋1,2).綜上，第n個等式：12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝eq\f(－1n＋1,2)n(n＋1)．11．某同學在一次研究性學習中發(fā)現，以下五個式子的值都等于同一個常數：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；(2)根據(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現推廣為三角恒等式，并證明你的結論．解(1)選擇②式，計算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).12．(1)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點，點P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證：eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))為定值b2－a2.(2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與x軸交于A、B兩點，點P是雙曲線C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))為定值，請寫出這個定值(不要求寫出解題過程)．解(1)證明如下：設點P(x0，y0)，(x0≠±a)依題意，得