光在晶體中傳播的幾何法描述1課件

光在晶體中的傳播規(guī)律除了利用上述進(jìn)行嚴(yán)格的討論外，還可以利用一些幾何圖形描述。5.2.2

光在晶體中傳播的幾何法描述(Geometricdescriptionoftransmissionoflightincrystals)幾何圖形能使我們直觀地看出晶體中光波的各個矢量場間的方向關(guān)系，以及與各傳播方向相應(yīng)的光速或折射率的空間取值分布。5.2.2

光在晶體中傳播的幾何法描述5.2.2

光在晶體中傳播的幾何法描述x1x2x3n1n2n3幾何方法僅僅是一種表示方法，它的基礎(chǔ)仍然是上面所給出的光的電磁理論基本方程和基本關(guān)系。1.折射率橢球1)

折射率橢球方程由光的電磁理論知道，在主軸坐標(biāo)系中，晶體中的電場儲能密度為1)

折射率橢球方程故有在給定能量密度e的情況下，該方程為D(D1、D2、D3)空間的橢球面。1)

折射率橢球方程若令則有2)

折射率橢球的性質(zhì)若從主軸坐標(biāo)系的原點(diǎn)出發(fā)作波法線矢量k，再過坐標(biāo)原點(diǎn)作一平面(k)與k垂直。x3x1k2)

折射率橢球的性質(zhì)(k)與橢球的截線為一橢圓，橢圓的半長軸和半短軸的矢徑分別記作ra(k)和rb(k)，則可以證明折射率橢球具有下面兩個重要的性質(zhì)：x3x1k2)

折射率橢球的性質(zhì)x3x1k①與波法線方向k相應(yīng)的兩個特許線偏振光的折射率n和n，分別等于這個橢圓的兩個主軸的半軸長，即2)

折射率橢球的性質(zhì)只要給定了晶體，知道了晶體的主介電張量，就可以作出相應(yīng)的折射率橢球。x3x1k從而就可以通過上述的幾何作圖法定出與波法線矢量k相應(yīng)的兩個特許線偏振光的折射率和D的振動方向?，F(xiàn)在證明上述結(jié)論:由空間解析幾何理論，與波法線k垂直的中心截面(k)上的橢圓，應(yīng)滿足下面兩個方程：x3x1k由于橢圓的長半軸和短半軸是橢圓矢量的兩個極值,所以，可以通過對滿足(73)式、(74)式的r2＝x12＋x22

+x32求極值來確定ra(k)和rb(k)。求解ra(k)和rb(k)的問題就變成了對F求極值的問題。而F

取極值的必要條件是它對x1、x2、x3的一階導(dǎo)數(shù)為零，即將(76)式的三個式子分別乘以x1、x2、x3，然后相加，利用(73)式和(74)式關(guān)系，得將(77)式、(78)式得出的1和2關(guān)系代入(76)式，可得將(79)式與(38)式進(jìn)行比較可見，二式的差別只是符號不同。如果我們進(jìn)行如下的代換：并注意到Di/0i＝Ei，則(79)式可以寫成通過中心與k垂直的橢圓截面兩個主軸矢徑ra和rb的方向，就是波法線矢量為k的兩個特許編振光D矢量的振動方向，兩個半軸長ra和rb就是分別與這兩個線偏振光相應(yīng)的折射率。橢球的三個半軸長分別等于三個主介電系數(shù)的平方根，其方向分別與介電主軸方向一致。x1x2x3n1n2n3通過橢球中心的每一個矢徑方向，代表D的一個振動方向，其長度為D在此方向振動的光波折射率,故矢徑可表示為r＝nd。所以，折射率橢球有時也稱為(d，n)曲面。x3x1k3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法利用折射率橢球除了確定相應(yīng)于k的兩個特許線偏振光D矢量的振動方向和折射率外，還可以借助于下述幾何方法，確定D、E、k、s各矢量的方向。x3x1k3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法D、E、k、s矢量都與H矢量垂直，因而同處于一個平面內(nèi)，這個平面與折射率橢球的交線是一個橢圓。x3x1kDODEB法線T切平面R3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法如果相應(yīng)于波法線方向k的一個電位移矢量D確定了，與該D平行的矢徑端點(diǎn)為B，則橢球在B點(diǎn)的法線方向平行于與該D矢量相應(yīng)的E矢量方向。ODEB法線T切平面R曲面f(x1，x2，x3)＝C

上某點(diǎn)處的法線方向平行于函數(shù)f在該點(diǎn)處的梯度矢量f。由(69)式，折射率橢球方程可寫成所以，現(xiàn)證明如下：若將xi＝Din/D和i＝Di/0Ei代入，上式變?yōu)橐蚨@說明，與折射率橢球上某點(diǎn)所確定的D矢量相應(yīng)的E矢量方向，平行于橢球在該點(diǎn)處的法線方向。

3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法ODEB法線T切平面R幾何方法：先過B點(diǎn)作橢圓的切線BT，再由O點(diǎn)向BT作垂線OR,則OR的方向即是B點(diǎn)的法線方向,也就是與D相應(yīng)的E的方向。3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法ODEB法線T切平面R另外，過O點(diǎn)作BT的平行線OQ，則OQ的方向就是s的方向，而垂直于OB的方向OJ

就k的方向。3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法ODEB法線T切平面RQJks4)應(yīng)用折射率橢球討論晶體的光學(xué)性質(zhì)

(1)各向同性介質(zhì)或立方晶體(2)單軸晶體(3)雙軸晶體

(1)各向同性介質(zhì)或立方晶體在各向同性介質(zhì)或立方晶體中，主介電系數(shù)1＝2＝

3,主折射率n1＝n2＝n3＝n0，折射率橢球方程為這就是說，各向同性介質(zhì)或立方晶體的折射率橢球是一個半徑為n0的球。

(1)各向同性介質(zhì)或立方晶體不論k在什么方向,垂直于k的中心截面與球的交線均是半徑為n0的圓，不存在特定的長、短軸，因而光學(xué)性質(zhì)是各向同性的。x3x2x1(2)單軸晶體在單軸晶體中，1=23，或n1=n2=no，n3=neno，因此折射率橢球方程為顯然這是一個旋轉(zhuǎn)橢球面，旋轉(zhuǎn)軸為x3軸。x3x2x1x3x2x1(2)單軸晶體若ne＞no稱為正單軸晶體，折射率橢球是沿著x3軸拉長了的旋轉(zhuǎn)橢球；若ne

＜no，稱為負(fù)單軸晶體，折射率橢球是沿著x3軸壓扁了的旋轉(zhuǎn)橢球。設(shè)晶體內(nèi)一平而光波的k與x3軸夾角為，則過橢球中心作垂直于k的平面(k)與橢球的交線必定是一個橢圓。下面討論波法線方向?yàn)閗的光波傳播特性:x3x2kx1(k)nonone由于旋轉(zhuǎn)橢球的x1(x2)軸的任意性，可以假設(shè)(k，x3)面為x2Ox3平面。若建立新的坐標(biāo)系O－x1x2x3，使x3軸與k重合，x1軸與x1

軸重合，則x2軸在x2Ox3平面內(nèi)。x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone這時，(k)截面即為

x1Ox2面，其方程為x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone新舊坐標(biāo)系的變換關(guān)系為x2x2x3x3O(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)將上面關(guān)系代入(82)式，再與(83)式聯(lián)立，就有其中經(jīng)過整理，可得出截線方程為或表示為根據(jù)折射率橢球的性質(zhì)，橢圓截線的長半軸和短半軸方向就是相應(yīng)于波法線方向k的兩個待許線偏振光的D矢量振動方向d和d

,兩個半軸的長度等于這兩個特許線偏振光的折射率n和n

。由(84)式可見,這個橢圓有一個半軸的長度為no方向?yàn)閤1軸方向.如果k在x2Ox3平面內(nèi),不論k的方向如何，它總有一個特許線偏振光的折射率不變,相應(yīng)的D方向垂直于k與x3軸所構(gòu)成的平面,這就是o光。x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone通過作圖法，即可確定o光的ED，sk。x2x1x3DeEeEoDoksosex3x2x2x3kx1x1(k)nonenone對于橢圓的另一個半軸，其長度為ne，且在x2Ox3

平面上。相應(yīng)于波法線方向k的另一個特許的線偏振光的D矢量在(k,x3)面內(nèi)，相應(yīng)的折射率ne

隨

k的方向變化，這就是e光。x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone通過作圖法可以看出，e光的D方向不在主軸方向,因而E與D不平行，s與k也不平行。這些結(jié)果與解析法得到的結(jié)論完全一致。x2x1x3DeEeEoDoksose下面討論兩種特殊情況：①＝0

時，k與x3軸重合，這時，ne＝no，中心截面與橢球的截線方程為這是一個半徑為no的圓。沿x3軸方向傳播的光波折射率為no

，D矢量的振動方向除與x