高中數學人教A版2第一章導數及其應用單元測試 微課

1．函數的極值與導數1．了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件．2．會用導數求函數的極大值、極小值，對多項式函數一般不超過三次．eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(梳)eq\x(理)1．極小值點與極小值的定義(1)特征：函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，且f′(a)＝0．(2)實質：在點x＝a附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0．(3)極小值點是：點a，極小值是：f(a)．2．極大值點與極大值的定義(1)特征：函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，且f′(b)＝0．(2)實質：在點x＝b附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0．(3)極大值點是：點b，極大值是：f(b)．3．極值的定義(1)極大值與極小值統(tǒng)稱極值．(2)極值反映了函數在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數的局部性質．4．函數在某點取得極值的必要條件函數y＝f(x)在點x＝x0處取得極值的必要條件是f′(x0)＝0．想一想：(1)函數的極大值一定大于極小值嗎？在區(qū)間內函數的極大值和極小值是唯一的嗎？(2)函數f(x)＝x3－3x2＋7的極大值為________．(1)解析：不一定；不一定唯一．(2)解析：因為f′(x)＝3x2－6x，解3x2－6x＝0得x＝0或x＝2，所以f(x)的增區(qū)間為(2，＋∞)和(－∞，0)，f(x)的減區(qū)間為(0，2)，所以當x＝0時，函數取得極大值f(0)＝7.答案：7eq\x(自)eq\x(測)eq\x(自)eq\x(評)1．函數f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3時取得極值，則a等于(D)A．2B．3C．4D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由f′(－3)＝0得a＝5.故選D.2．設函數f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，則(D)A．x＝eq\f(1,2)為f(x)的極大值點B．x＝eq\f(1,2)為f(x)的極小值點C．x＝2為f(x)的極大值點D．x＝2為f(x)的極小值點3．已知函數y＝x－ln(1＋x2)，則函數y的極值情況是(D)A．有極小值B．有極大值C．既有極大值又有極小值D．無極值解析：x∈R，y′＝1－eq\f(1,1＋x2)·(1＋x2)′＝1－eq\f(2x,1＋x2)＝eq\f(（x－1）2,1＋x2)≥0，所以函數y＝x－ln(1＋x2)無極值．故選D.eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(鞏)eq\x(固)1．函數f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3時取得極值，則a等于(D)A．2B．3C．4D．5解析：f′(－3)＝0，a＝5.故選D.2．函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導數f′(x)在(a，b)內的圖象如下圖所示，則函數f(x)在開區(qū)間(a，b)內極小值有(A)A．1個B．2個C．3個D．4個3．已知函數y＝x－ln(1＋x2)，則函數y的極值情況是(D)A．有極小值B．有極大值C．既有極大值又有極小值D．無極值解析：x∈R，y′＝1－eq\f(1,1＋x2)·(1＋x2)′＝1－eq\f(2x,1＋x2)＝eq\f(（x－1）2,1＋x2)≥0，∴函數y＝x－ln(1＋x2)無極值．故選D.4.若函數f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1處取得極值，則a＝______．解析：f′(x)＝eq\f(2x（x＋1）－（x2＋a）,（x＋1）2).∴f′(1)＝eq\f(3－a,4)＝0得a＝3.答案：3eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．函數f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，1)內的零點個數是(B)A．0B．1C．2D．3解析：因為f′(x)＝2xln2＋3x2＞0，所以函數f(x)＝2x＋x3－2在(0，1)上遞增，且f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，所以有1個零點．6．已知函數y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，則該函數的一個遞增區(qū)間是(B)A．(2，3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)解析：y′＝6x2＋2ax＋36.依題意知6×22＋4a＋36＝0，∴a＝－15，∴y′＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，易知當x>3時，y′>0，∴函數的一個增區(qū)間為(3，＋∞)．7．函數y＝x3－3x的極大值點是x＝－1，極小值點是x＝1，極大值為2，極小值為－2．8．曲線y＝eq\f(1,2)x2＋4lnx上切線斜率的極小值為________．解析：y′＝x＋eq\f(4,x)(x>0)，令g(x)＝x＋eq\f(4,x)，則g′(x)＝1－eq\f(4,x2).令g′(x)＝0，得x＝2.當x∈(0，2)時，g′(x)<0；當x∈(2，＋∞)時g′(x)>0，∴當x＝2時，g(x)有極小值g(2)＝2＋eq\f(4,2)＝4.答案：49．已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在點x0處取得極大值5，其導函數y＝f′(x)的圖象經過點(1，0)，(2，0)，如圖所示．(1)求x0的值；(2)求a，b，c的值．解析：(1)由題圖，x<1時，f′(x)>0，1＜x＜2時，f′(x)<0，∴1是函數f(x)的極大值點，即x0＝1.(2)由題知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（1）＝3a＋2b＋c＝0，,f′（2）＝12a＋4b＋c＝0，,f（1）＝a＋b＋c＝5，))解得a＝2，b＝－9，c＝12.10．(2023·高考福建卷)已知函數f(x)＝ex－ax(a為常數)的圖像與y軸交于點A，曲線y＝f(x)在點A處的切線斜率為－1.(1)求a的值及函數f(x)的極值；(2)證明：當x>0時，x2<ex.解析：(1)由f(x)＝ex－ax得f′(x)＝ex－a.又f′(0)＝1－a＝－1，∴a＝2，∴f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.由f′(x)＝0得x＝ln2，當x<ln2時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x>ln2時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；∴當x＝ln2時，f(x