高中數(shù)學(xué)北師大版3第二章概率（省一等獎(jiǎng)）

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．設(shè)隨機(jī)變量ξ～N(2,2)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))＝()A．1 B．2\f(1,2) D．4【解析】∵ξ～N(2,2)，∴Dξ＝2.∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))＝eq\f(1,22)Dξ＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).【答案】C2．下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是()A．f(x)＝eq\f(1,\r(2σπ))，μ，σ(σ>0)都是實(shí)數(shù)B．f(x)＝eq\f(\r(2π),2π)C．f(x)＝eq\f(1,2\r(2π))D．f(x)＝eq\f(1,\r(2π))【解析】對于A，函數(shù)的系數(shù)部分的二次根式包含σ，而且指數(shù)部分的符號是正的，故A錯(cuò)誤；對于B，符合正態(tài)密度函數(shù)的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B正確；對于C，從系數(shù)部分看σ＝2，可是從指數(shù)部分看σ＝eq\r(2)，故C不正確；對于D，指數(shù)部分缺少一個(gè)負(fù)號，故D不正確．【答案】B3．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝6，則P(X＞4)等于()A．8 B．7C．6 D．5【解析】由于X服從正態(tài)分布N(3,1)，故正態(tài)分布曲線的對稱軸為x＝3，所以P(X＞4)＝P(X＜2)，故P(X＞4)＝eq\f(1－P2≤X≤4,2)＝7.【答案】B4．某廠生產(chǎn)的零件外直徑X～N,5)，單位：mm，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個(gè)，測得其外直徑分別為7.9mm和7.5mm，則可認(rèn)為()A．上、下午生產(chǎn)情況均為正常B．上、下午生產(chǎn)情況均為異常C．上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常D．上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正?！窘馕觥扛鶕?jù)3σ原則，在(8－3×,8＋3×]即,]之外時(shí)為異常．結(jié)合已知可知上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常．【答案】C5．如果隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，則P(0<X<1)等于()A．5 B．C． D．【解析】由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，∴X～N(3,1)，∴P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝P(0<X<6)＝；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝P(1<X<5)＝，P(0<X<6)－P(1<X<5)＝2P(0<X<1)＝.∴P(0<X<1)＝5.【答案】A二、填空題6．已知正態(tài)分布落在區(qū)間，＋∞)內(nèi)的概率為，那么相應(yīng)的正態(tài)曲線f(x)在x＝________時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)．【解析】由正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱且在x＝μ處達(dá)到峰值和其落在區(qū)間，＋∞)內(nèi)的概率為，得μ＝.【答案】7．已知正態(tài)分布總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間(－3，－1)內(nèi)的概率和落在區(qū)間(3,5)內(nèi)的概率相等，那么這個(gè)正態(tài)總體的均值為________．【解析】區(qū)間(－3，－1)和區(qū)間(3,5)關(guān)于直線x＝1對稱，所以均值μ為1.【答案】18．(2023·哈爾濱高二檢測)如果隨機(jī)變量ξ～N(－1，σ2)，且P(－3＜ξ≤－1)＝，則P(ξ≥1)＝________.【解析】P(ξ≥1)＝P(ξ≤－3)＝－P(－3＜ξ≤－1)＝－＝.【答案】三、解答題9．在一次測試中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2]內(nèi)取值的概率為，求：(1)X在(0,4]內(nèi)取值的概率；(2)P(X>4)．【解】(1)由于X～N(2，σ2)，對稱軸x＝2，畫出示意圖如圖．因?yàn)镻(0<X≤2)＝P(2<X≤4)，所以P(0<X≤4)＝2P(0<X≤2)＝2×＝.(2)P(X>4)＝eq\f(1,2)1－P(0<X≤4)]＝eq\f(1,2)(1－＝.10．一建筑工地所需要的鋼筋的長度X～N(8,22)，質(zhì)檢員在檢查一大批鋼筋的質(zhì)量時(shí)，發(fā)現(xiàn)有的鋼筋長度小于2米，這時(shí)，他是讓鋼筋工繼續(xù)用切割機(jī)截鋼筋呢，還是停下來檢修切割機(jī)？【解】由于X～N(8,22)，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知，正態(tài)分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率僅為%，長度小于2米的鋼筋不在(2,14)內(nèi)，所以質(zhì)檢員應(yīng)讓鋼筋工馬上停止切割，并對切割機(jī)進(jìn)行檢修．能力提升]1．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，則c等于()A．1 B．2C．3 D．4【解析】∵ξ～N(2,9)，∴P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．又∵P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，∴3－c＝c－1，∴c＝2.【答案】B2．已知一次考試共有60名學(xué)生參加，考生的成績X～N(110，52)，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)()【導(dǎo)學(xué)號：62690049】A．(90,110) B．(95,125)C．(100,120) D．(105,115)【解析】P(100＜X＜120)＝P(110－2×5＜X＜110＋2×5)＝%，又%×60＝%≈57%.故選C.【答案】C3．已知正態(tài)分布N(μ，σ2)的密度曲線是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈R.給出以下四個(gè)命題：①對任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果隨機(jī)變量X服從N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函數(shù)；③如果隨機(jī)變量X服從N(108,100)，那么X的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是100；④隨機(jī)變量X服從N(μ，σ2)，P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，則P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命題的序號是________．(寫出所有真命題的序號)【解析】畫出正態(tài)分布N(μ，σ2)的密度曲線如圖：由圖可得：①圖象關(guān)于x＝μ對稱，故①正確；②隨著x的增加，F(xiàn)(x)＝P(ξ<x)也隨著增加，故②正確；③如果隨機(jī)變量ξ服從N(108,100)，那么ξ的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是10；④由圖象的對稱性，可得④正確．故填①②④.【答案】①②④4．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：圖2-6-5(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\x\to(x)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P<Z<；②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間,的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求EX.附：eq\r(150)≈.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝.【解】(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2分別為eq\o(x,\s\up6(－))＝170×＋180×＋190×＋200×＋210×＋220