高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明單元測(cè)試 獲獎(jiǎng)作品

選修2-2第二章選擇題1．(2023·鄭州市高二檢測(cè))用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(n∈N*，a≠1)，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊所得的項(xiàng)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510619)()A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3[答案]B[解析]因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，an＋1＝a2，所以此時(shí)式子左邊＝1＋a＋a2.故應(yīng)選B.2．用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq\f(1,3)n(4n2－1)過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時(shí)，不等式左邊增加的項(xiàng)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510620)()A．(2k)2 B．(2k＋3)2C．(2k＋2)2 D．(2k＋1)2[答案]D[解析]用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq\f(1,3)n(4n2－1)的過程中，第二步，假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)＋(2k＋1)2，等式左邊增加的項(xiàng)是(2k＋1)2，故選D.3．對(duì)于不等式eq\r(n2＋n)≤n＋1(n∈N＋)，某學(xué)生的證明過程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r(12＋1)≤1＋1，不等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，則n＝k＋1時(shí)，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，上述證法eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510622)()A．過程全都正確B．n＝1驗(yàn)證不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確[答案]D[解析]n＝1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確，但從n＝k到n＝k＋1的推理中沒有使用歸納假設(shè)，而通過不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求．故應(yīng)選D.4．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的證明時(shí)，正確的證法是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510623)()A．假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立C．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))時(shí)命題成立，證明n＝k＋2時(shí)命題也成立D．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N)時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立[答案]C[解析]∵n為正奇數(shù)，當(dāng)n＝k時(shí)，k下面第一個(gè)正奇數(shù)應(yīng)為k＋2，而非k＋1.故應(yīng)選C.5．凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n＋1邊形對(duì)角線的條數(shù)f(n＋1)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510624)()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2[答案]C[解析]增加一個(gè)頂點(diǎn)，就增加n＋1－3條對(duì)角線，另外原來(lái)的一邊也變成了對(duì)角線，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故應(yīng)選C.6．觀察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則歸納猜測(cè)a7＋b7＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510625)()A．26 B．27C．28 D．29[答案]D[解析]觀察發(fā)現(xiàn)，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.二、填空題7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，xn－yn能被x＋y整除”，第一步應(yīng)驗(yàn)證n＝________時(shí)，命題成立；第二步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫成\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510626)[答案]2x2k－y2k能被x＋y整除[解析]因?yàn)閚為正偶數(shù)，故第一步取n＝2，第二步假設(shè)n取第k個(gè)正偶數(shù)成立，即n＝2k，故應(yīng)假設(shè)成x2k－y2k能被x＋y整除．8．(2023·九江高二檢測(cè))觀察下列等式，照此規(guī)律，第n個(gè)等式為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510627)1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…[答案]n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[解析]將原等式變形如下：1＝1＝122＋3＋4＝9＝323＋4＋5＋6＋7＝25＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72…由圖知，第n個(gè)等式的左邊有2n－1項(xiàng)，第一個(gè)數(shù)是n，是2n－1個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，則最后一個(gè)數(shù)為n＋(2n－1)－1＝3n－2，右邊是左邊項(xiàng)數(shù)2n－1的平方，故有n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，則n＝k＋1時(shí)，左端在n＝k時(shí)加上\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510628)[答案](k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2[解析]n＝k時(shí)左端為1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1時(shí)，左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.三、解答題10．在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N*).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510629)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè){an}，{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論．[解析]由已知得2bn＝an＋an＋1，aeq\o\al(2,n＋1)＝bnbn＋1，a1＝2，b1＝4，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，可得結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥4，k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)，bk＋1＝eq\f(a\o\al(2,k＋1),bk)＝eq\f(k＋12k＋22,k＋12)＝(k＋2)2.∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對(duì)一切正整數(shù)n都成立．一、選擇題1．當(dāng)n＝1,2,3,4,5,6時(shí)，比較2n和n2的大小并猜想eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510630)()A．n≥1時(shí)，2n>n2 B．n≥3時(shí)，2n>n2C．n≥4時(shí)，2n>n2 D．n≥5時(shí)，2n>n2[答案]D[解析]當(dāng)n＝1時(shí)，21>12，即2n>n2；當(dāng)n＝2時(shí)，22＝22，即2n＝n2；當(dāng)n＝3時(shí)，23<32，即2n<n2；當(dāng)n＝4時(shí)，24＝42，即2n＝n2；當(dāng)n＝5時(shí)，25>52，即2n>n2；當(dāng)n＝6時(shí)，26>62，即2n>n2；…猜想當(dāng)n≥5時(shí)，2n>n2；下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測(cè)成立，(1)當(dāng)n＝5時(shí)，由以上可知猜想成立，(2)設(shè)n＝k(k≥5)時(shí)，命題成立，即2k>k2，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2k＋1＝2·2k>2k2＝k2＋k2>k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2，即n＝k＋1時(shí)，命題成立，由(1)和(2)可得n≥5時(shí)，2n>n2；故當(dāng)n＝2或4時(shí)，2n＝n2；n＝3時(shí)，2n<n2；n＝1及n取大于4的正整數(shù)時(shí)，都有2n>n2.故選D.2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時(shí)的情況，只需展開eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510631)()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案]A[解析]因?yàn)閺膎＝k到n＝k＋1的過渡，增加了(k＋1)3，減少了k3，故利用歸納假設(shè)，只需將(k＋3)3展開，證明余下的項(xiàng)9k2＋27k＋27能被9整除．二、填空題3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510632)[答案]當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝4，右邊＝4，左≥右，不等式成立[解析]當(dāng)n＝1時(shí)，左≥右，不等式成立，∵n∈N*，∴第一步的驗(yàn)證為n＝1的情形．4．對(duì)任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510633)[答案]5[解析]當(dāng)n＝1時(shí)，36＋a3能被14整除的數(shù)為a＝3或5，當(dāng)a＝3時(shí)且n＝3時(shí)，310＋35不能被14整除，故a＝5.三、解答題5．在平面內(nèi)有n條直線，其中每?jī)蓷l直線相交于一點(diǎn)，并且每三條直線都不相交于同一點(diǎn).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510634)求證：這n條直線將它們所在的平面分成eq\f(n2＋n＋2,2)個(gè)區(qū)域．[證明](1)n＝2時(shí)，兩條直線相交把平面分成4個(gè)區(qū)域，命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)，k條直線將平面分成eq\f(k2＋k＋2,2)塊不同的區(qū)域，命題成立．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，設(shè)其中的一條直線為l，其余k條直線將平面分成eq\f(k2＋k＋2,2)塊區(qū)域，直線l與其余k條直線相交，得到k個(gè)不同的交點(diǎn)，這k個(gè)點(diǎn)將l分成k＋1段，每段都將它所在的區(qū)域分成兩部分，故新增區(qū)域k＋1塊．從而k＋1條直線將平面分成eq\f(k2＋k＋2,2)＋k＋1＝eq\f(k＋12＋k＋1＋2,2)塊區(qū)域．所以n＝k＋1時(shí)命題也成立．由(1)(2)可知，原命題成立．6．(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510635)12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·eq\f(nn＋1,2)(n∈N*)．(2)求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．[解析](1)①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12＝1，右邊＝(－1)0×eq\f(1×1＋1,2)＝1，左邊＝右邊，等式成立．②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·eq\f(kk＋1,2).則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·eq\f(kk＋1,2)＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k(k＋1)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(k＋1－\f(k,2)))＝(－1)k·eq\f(k＋1[k＋1＋1],2).∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立，根據(jù)①、②可知，對(duì)于任何n∈N*等式成立．(2)①n＝1時(shí)