高中數(shù)學(xué)人教A版5證明不等式的基本方法一比較法

一比較法1．理解比較法證明不等式的依據(jù)．2．掌握利用比較法證明不等式的一般步驟．(重點)3．通過學(xué)習比較法證明不等式，培養(yǎng)對轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1作差比較法閱讀教材P21～P22例2，完成下列問題．1．理論依據(jù)：①a＞b?a－b＞0；②a＝b?a－b＝0；③a＜b?a－b＜0.2．定義：要證明a＞b，轉(zhuǎn)化為證明a－b＞0，這種方法稱為作差比較法．3．步驟：①作差；②變形；③判斷符號；④下結(jié)論．若x，y∈R，記ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，則()A．ω＞u B．ω＜uC．ω≥u D.無法確定【解析】∵ω－u＝x2－xy＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)))eq\s\up10(2)＋eq\f(3y2,4)≥0，∴ω≥u.【答案】C教材整理2作商比較法閱讀教材P22～P23“習題”以上部分，完成下列問題．1．理論依據(jù)：當b＞0時，①a＞b?eq\f(a,b)＞1；②a＜b?eq\f(a,b)＜1；③a＝b?eq\f(a,b)＝1.2．定義：證明a＞b(b＞0)，只要轉(zhuǎn)化為證明eq\f(a,b)＞1，這種方法稱為作商比較法．3．步驟：①作商；②變形；③判斷商與1大??；④下結(jié)論．下列命題：①當b＞0時，a＞b?eq\f(a,b)＞1；②當b＞0時，a＜b?eq\f(a,b)＜1；③當a＞0，b＞0時，eq\f(a,b)＞1?a＞b；④當ab＞0時，eq\f(a,b)＞1?a＞b.其中真命題是()A．①②③B．①②④C．④D.①②③④【解析】由不等式的性質(zhì)，①②③正確．當ab＞0時(若b＜0，a＜0)，eq\f(a,b)＞1與a＞b不等價，④錯．【答案】A[質(zhì)疑·手記]預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]作商比較法證明不等式已知a＞0，b＞0且a≠b，求證：aabb＞(ab)eq\f(a＋b,2).【精彩點撥】eq\x(判斷aabb與ab\s\up10(\f(a＋b,2))的正負)→eq\x(作商變形)→eq\x(與1比較大小)→eq\x(下結(jié)論)【自主解答】∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)eq\s\up10(eq\f(a－b,2))＞0，作商eq\f(aabb,ab\s\up10(\f(a＋b,2)))＝aaeq\s\up10(－\f(a＋b,2))·bbeq\s\up10(－\f(a＋b,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up10(eq\f(a－b,2)).∵a≠b，∴當a＞b＞0時，eq\f(a,b)＞1且eq\f(a－b,2)＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up10(eq\f(a－b,2))＞1，而(ab)eq\s\up10(\f(a＋b,2))＞0，∴aabb＞(ab)eq\s\up10(\f(a＋b,2)).當b＞a＞0時，0＜eq\f(a,b)＜1且eq\f(a－b,2)＜0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up10(eq\f(a－b,2))＞1，而(ab)eq\s\up10(\f(a＋b,2))＞0，∴aabb＞(ab)eq\s\up10(\f(a＋b,2)).綜上可知a＞0，b＞0且a≠b時，有aabb＞(ab)eq\s\up10(\f(a＋b,2)).1．當不等式的兩端為指數(shù)式時，可作商證明不等式．2．運用a＞b?eq\f(a,b)＞1證明不等式時，一定注意b＞0是前提條件．若符號不能確定，應(yīng)注意分類討論．[再練一題]1．已知m，n∈R＋，求證：eq\f(m＋n,2)≥eq\r(m＋n,mn·nm).【證明】因為m，n∈R＋，所以eq\f(m＋n,2)≥eq\r(mn)＝eq\r(m＋n,mn\s\up10(\f(m＋n,2)))，令ω＝eq\f(mn\s\up10(\f(m＋n,2)),mn·nm)＝meq\s\up10(\f(m－n,2))·neq\s\up10(\f(n－m,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))eq\s\up10(\f(m－n,2))，則：①當m>n>0時，eq\f(m,n)>1，m－n>0，則ω>1.②當m＝n時，ω＝1.③當n>m>0時，0<eq\f(m,n)<1，m－n<0，則ω>1.故對任意的m，n∈R＋都有ω≥1.即eq\r(m＋n,mn\s\up10(\f(m＋n,2)))≥eq\r(m＋n,mn·nm)，所以eq\f(m＋n,2)≥eq\r(m＋n,mn·nm).比較法的實際應(yīng)用甲、乙二人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，問甲、乙二人誰先到達指定地點？【精彩點撥】設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是s，甲、乙二人走完這段路程所用的時間分別為t1,t2，要回答題目中的問題，只要比較t1，t2的大小就可以了．【自主解答】設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程為s，甲、乙二人走完這段路程所用的時間分別為t1,t2，依題意有：eq\f(t1,2)m＋eq\f(t1,2)n＝s，eq\f(s,2m)＋eq\f(s,2n)＝t2.∴t1＝eq\f(2s,m＋n)，t2＝eq\f(sm＋n,2mn)，∴t1－t2＝eq\f(2s,m＋n)－eq\f(sm＋n,2mn)＝eq\f(s[4mn－m＋n2],2mnm＋n)＝－eq\f(sm－n2,2mnm＋n).其中s，m，n都是正數(shù)，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2，從而知甲比乙先到達指定地點．1．應(yīng)用不等式解決實際問題時，關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系、不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決，也即建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵．2．在實際應(yīng)用不等式問題時，常用比較法來判斷數(shù)的大小關(guān)系．若是選擇題或填空題，則可用特殊值加以判斷．[再練一題]2．通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面(指橫截面)的周長相等，試問：截面為圓的水管流量大還是截面為正方形的水管流量大？【導(dǎo)學(xué)號：32750029】【解】設(shè)截面的周長為l，依題意知，截面是圓的水管的截面面積為π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))2，截面是正方形的水管的截面面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up10(2).∵π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))eq\s\up10(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up10(2)＝eq\f(l2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)－\f(1,4)))＝eq\f(4－πl(wèi)2,16π).由于l＞0,0＜π＜4，∴eq\f(4－πl(wèi)2,16π)＞0，∴π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))eq\s\up10(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up10(2).因此，通過水管放水，當流速相同時，如果水管的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大．[探究共研型]作差比較法探究作差法遵循什么步驟？適用于哪些類型？【提示】“作差法”的理論依據(jù)是實數(shù)的大小順序與實數(shù)的運算性質(zhì)之間的關(guān)系：“a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0”，其一般步驟為“作差→變形→判號→定論”．其中變形是作差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號，常將“差式”變形為一個常數(shù)，或一個常數(shù)與幾個平方和的形式，或幾個因式的積的形式等．當所得的“差式”是某個字母的二次三項式時，則常用判別式法判斷符號．作差法一般用于不等式的兩邊是多項式或分式．已知a，b∈R，求證：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.【精彩點撥】此不等式作差后是含有兩個字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根據(jù)二次三項式的判別式確定符號．【自主解答】法一∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝eq\f(1,2)[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，對于a的二次三項式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.1．作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號，而不用考慮差值的多少．2．因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號，常將“差式”變形為一個常數(shù)，或幾個因式積的形式，當所得的“差式”是某字母的二次三項式時，可利用“Δ”判定符號．[再練一題]3．已知a＞b＞c，證明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.【證明】∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0，即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.[構(gòu)建·體系]比較法—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(作差法),—\x(作商法),—\x(實際應(yīng)用)))1．設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列t與s的大小關(guān)系中正確的是()A．t＞s B．t≥sC．t＜s ≤s【解析】s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.【答案】D2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，則P，Q的大小關(guān)系是()【導(dǎo)學(xué)號：32750030】A．P＞Q B．P＜QC．P＝Q D.大小不確定【解析】P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaeq\f(a3＋1,a2＋1).當0＜a＜1時，0＜a3＋1＜a2＋1，則0＜eq\f(a3＋1,a2＋1)＜1，∴l(xiāng)ogaeq\f(a3＋1,a2＋1)＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.當a＞1時，a3＋1＞a2＋1＞0，eq\f(a3＋1,a2＋1)＞1，∴l(xiāng)ogaeq\f(a3＋1,a2＋1)＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.綜上總有P＞Q，故選A.【答案】A3．設(shè)a，b，m均為正數(shù)，且eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)，則a與b的大小關(guān)系是________．【解析】eq\f(b＋m,a＋m)－eq\f(b,a)＝eq\f(ma－b,aa＋m)＞0.又a，b，m為正數(shù)，∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0.即a＞b.【答案】a＞b4．設(shè)a＞b＞0，x＝eq\r(a＋b)－eq\r(a)，y＝eq\r(a)－eq\r(a－b)，則x，y的大小關(guān)系是x________y.【解析】∵eq\f(x,y)＝eq\f(\r(a＋b)－\r(a),\r(a)－\r(a－b))＝eq\f(\r(a)＋\r(a－b),\r(a)＋\r(a＋b))＜eq\f(\r(a)＋\r(a＋b),\r(a)＋\r(a＋b))＝1，且x＞0，y＞0，∴x＜y.【答案】＜5．已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.【證明】2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因為a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0,從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2