高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章平面向量 章末知識(shí)整合

章末知識(shí)整合專(zhuān)題一平面向量的線性運(yùn)算[例1]e1，e2是不共線的向量，已知向量eq\o(AB,\s\up13(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up13(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up13(→))＝2e1－e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，求k的值．分析：因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以存在λ∈R，使eq\o(AB,\s\up13(→))＝λeq\o(BD,\s\up13(→))，可由已知條件表示出eq\o(BD,\s\up13(→))，由向量相等得到關(guān)于λ，k的方程組，求得k值．解：eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(CD,\s\up13(→))－eq\o(CB,\s\up13(→))＝e1－4e2.因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，故存在λ∈R，使eq\o(AB,\s\up13(→))＝λeq\o(BD,\s\up13(→)).所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)．解得k＝－8.規(guī)律方法向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運(yùn)算，通常叫作向量的線性運(yùn)算，運(yùn)用它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律，可以解決三點(diǎn)共線、兩線段平行、線段相等、求點(diǎn)的坐標(biāo)等問(wèn)題．利用向量的相等及向量共線的充要條件是將向量問(wèn)題實(shí)數(shù)化的根據(jù)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．[變式訓(xùn)練]以向量eq\o(OA,\s\up13(→))＝a，eq\o(OB,\s\up13(→))＝b為鄰邊作平行四邊形OADB，C為AB與OD的交點(diǎn)，eq\o(BM,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up13(→))，eq\o(CN,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up13(→)).若eq\o(MN,\s\up13(→))＝λa＋μb，求λ＋μ的值．解：如圖所示，eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(CN,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,6)(a＋b)，eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(a－b)，eq\o(MC,\s\up13(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)(a－b)，eq\o(MN,\s\up13(→))＝eq\o(MC,\s\up13(→))＋eq\o(CN,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)(a－b)＋eq\f(1,6)(a＋b)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.又eq\o(MN,\s\up13(→))＝λa＋μb，由平面向量的基本定理，λ＝eq\f(1,2)，μ＝－eq\f(1,6).因此λ＋μ＝eq\f(1,2)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).專(zhuān)題二向量的坐標(biāo)運(yùn)算[例2]已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋teq\o(AB,\s\up13(→)).(1)當(dāng)t為何值時(shí)，P在x軸上？在y軸上？在第二象限？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．分析：(1)將eq\o(OP,\s\up13(→))的坐標(biāo)用t表示出來(lái)，然后討論eq\o(OP,\s\up13(→))的橫、縱坐標(biāo)．(2)若能成為平行四邊形，則有eq\o(OA,\s\up13(→))＝eq\o(PB,\s\up13(→))，解出t的值；若t無(wú)解，則不能構(gòu)成平行四邊形．解：(1)因?yàn)閑q\o(OA,\s\up13(→))＝(1，2)，eq\o(AB,\s\up13(→))＝(3，3)，所以eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋teq\o(AB,\s\up13(→))＝(1＋3t，2＋3t)．若點(diǎn)P在x軸上，則2＋3t＝0，t＝－eq\f(2,3)；若點(diǎn)P在y軸上，則1＋3t＝0，t＝－eq\f(1,3)；若點(diǎn)P在第二象限，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t＜0，,2＋3t＞0.))解得－eq\f(2,3)＜t＜－eq\f(1,3).(2)因?yàn)閑q\o(OA,\s\up13(→))＝(1，2)，eq\o(PB,\s\up13(→))＝eq\o(PO,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＝(3－3t，3－3t)，若四邊形OABP為平行四邊形，則eq\o(OA,\s\up13(→))＝eq\o(PB,\s\up13(→)).又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2))無(wú)解，故四邊形OABP不能成為平行四邊形．規(guī)律方法向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上就是向量的代數(shù)表示，引入向量的坐標(biāo)表示，向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算，達(dá)到了數(shù)與形的統(tǒng)一．運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要可以解決求向量的坐標(biāo)、向量的模，判斷共線、平行等問(wèn)題．[變式訓(xùn)練]已知點(diǎn)A(3，－4)與點(diǎn)B(－1，2)，點(diǎn)P在直線AB上，且|eq\o(AP,\s\up13(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up13(→))|，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，|eq\o(AP,\s\up13(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up13(→))|.當(dāng)P在線段AB上時(shí)，eq\o(AP,\s\up13(→))＝2eq\o(PB,\s\up13(→)).所以(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝－2－2x，,y＋4＝4－2y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝0.))所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0)).當(dāng)點(diǎn)P在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，eq\o(AP,\s\up13(→))＝－2eq\o(PB,\s\up13(→)).所以(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝2＋2x，,y＋4＝－4＋2y.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝8.))綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))或(－5，8)．專(zhuān)題三平面向量的數(shù)量積[例3]設(shè)0＜|a|≤2，且函數(shù)f(x)＝cos2x－|a|sinx－|b|的最大值為0，最小值為－4，且a與b的夾角為45°，求|a＋b|.分析：要求|a＋b|需知道|a|，|b|，故可利用函數(shù)的最值確立|a|，|b|的值．解：f(x)＝1－sin2x－|a|sinx－|b|＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(|a|,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(|a|2,4)－|b|＋1.因?yàn)?＜|a|≤2，所以當(dāng)sinx＝－eq\f(|a|,2)時(shí)，eq\f(1,4)|a|2－|b|＋1＝0；當(dāng)sinx＝1時(shí)，－|a|－|b|＝－4.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)|a|2－|b|＋1＝0，,－|a|－|b|＝－4))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|a|＝2，,|b|＝2.))所以|a＋b|2＝8＋4eq\r(2)，即|a＋b|＝2eq\r(2＋\r(2)).規(guī)律方法平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，通過(guò)向量的數(shù)量積考查向量的平行、垂直等關(guān)系，利用數(shù)量積可以計(jì)算向量的夾角、長(zhǎng)度等．對(duì)數(shù)量積的正確理解及其性質(zhì)的靈活應(yīng)用是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．[變式訓(xùn)練](2023·重慶卷)若非零向量a，b滿(mǎn)足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為()\f(π,4)\f(π,2)\f(3π,4)D．π解析：因?yàn)?a－b)⊥(3a＋2b)所以(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b因?yàn)閨a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，設(shè)〈a，b〉＝θ，則3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，所以eq\f(8,3)|b|2－eq\f(2\r(2),3)|b|2·cosθ－2|b|2＝0.所以cosθ＝eq\f(\r(2),2).又因?yàn)?≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,4).答案：A專(zhuān)題四平面向量的應(yīng)用[例4]如圖所示，以△ABC的兩邊AB，AC為邊向外作正方形ABGF，ACDE，M為BC的中點(diǎn)，求證：AM⊥EF.分析：要證AM⊥EF，只需證明eq\o(AM,\s\up13(→))·eq\o(EF,\s\up13(→))＝0.將eq\o(AM,\s\up13(→))用eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(AC,\s\up13(→))表示，eq\o(EF,\s\up13(→))用eq\o(AE,\s\up13(→))，eq\o(AF,\s\up13(→))表示，然后通過(guò)向量運(yùn)算證明．證明：因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AM,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))，eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AE,\s\up13(→)).所以eq\o(AM,\s\up13(→))·eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))·(eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AE,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AE,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AE,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)(0＋eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AE,\s\up13(→))－0)＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AE,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)[|eq\o(AC,\s\up13(→))||eq\o(AB,\s\up13(→))|cos(90°＋∠BAC)－|eq\o(AB,\s\up13(→))||eq\o(AC,\s\up13(→))|cos(90°＋∠BAC)]＝0，所以eq\o(AM,\s\up13(→))⊥eq\o(EF,\s\up13(→))，即AM⊥EF.規(guī)律方法平面向量的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是在平面幾何中的應(yīng)用，向量的加法運(yùn)算和全等、平行、數(shù)乘向量和相似，距離、夾角和向量的數(shù)量積之間有密切聯(lián)系，因此利用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問(wèn)題．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)匾胂蛄?，通過(guò)向量運(yùn)算，解釋幾何性質(zhì)．二是在物理中的應(yīng)用，主要解決力、位移、速度等問(wèn)題．解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用向量的觀點(diǎn)將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．[變式訓(xùn)練]如圖所示，在平面斜坐標(biāo)xOy中．∠x(chóng)Oy＝60°，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的坐標(biāo)是這樣定義的：若eq\o(OP,\s\up13(→))＝xe1＋ye2(其中e1，e2分別為與x軸、y軸同方向的單位向量)，則點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(x，y)．(1)若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2