高中數學蘇教版第一章算法初步算法案例 2023版第1章算法案例

算法案例1．通過閱讀中國古代數學中的算法案例，體會中國古代數學對世界數學發(fā)展的貢獻．(重點)2．能綜合運用所學的算法知識，解決實際問題，會用自然語言、流程圖和偽代碼表達問題的算法過程．(重點、難點)[基礎·初探]教材整理1“韓信點兵—孫子問題”的算法閱讀教材P26～P27“案例2”以上內容，完成下列問題．1．問題名稱：人們將“韓信點兵——孫子問題”這種問題的通用解法稱為“孫子剩余定理”或“中國剩余定理”．2．問題解法：“孫子問題”相當于求關于x，y，z的不定方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3x＋2，,m＝5y＋3，,m＝7z＋2))的正整數解．不定方程5x＋2y＝12的正整數解為________．【解析】方程變形為y＝6－eq\f(5,2)x(x＞0)．∴0＜x＜eq\f(12,5)，又∵x∈N*，∴x＝1,2.當x＝1時，y＝6－eq\f(5,2)＝eq\f(7,2)不是整數；當x＝2時，y＝6－eq\f(5,2)×2＝1.【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝1))教材整理2輾轉相除與更相減損閱讀教材P27“案例2”～P29的內容，完成下列問題．1．輾轉相除法求兩個正整數a，b的最大公約數的步驟是：(1)計算出a÷b的余數r，若r＝0，則b即為a，b的最大公約數；(2)若r≠0，則把前面的除數b作為新的被除數，把余數r作為新的除數，繼續(xù)運算，直到余數為0，此時的除數即為a，b的最大公約數．2．更相減損術求兩個正整數的最大公約數的步驟：第一步任意給定兩個正整數，判斷它們是否都是偶數．若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步；第二步以較大的數減去較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，并以大數減小數，繼續(xù)這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數(等數)或這個數與約簡的數的乘積就是所求的最大公約數．3．兩個常用函數：(1)Mod(a，b)表示a除以b所得的余數．(2)Int(x)表示不超過x的最大整數．填空： 【導學號：11032023】(1)Mod(8,3)＝________.【解析】Mod(8,3)表示8除以3所得的余數．∵8＝2×3＋2，∴Mod(8,3)＝2.【答案】2(2)兩個整數490和910的最大公約數是________．【解析】490＝72×2×5,910＝13×7×2×5，∴最大公約數為7×2×5＝70.【答案】70教材整理3用二分法求方程近似解閱讀教材P30～P31“練習”以上部分，并完成下列問題．求方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上的近似解的步驟：S1取[a，b]的中點x0＝eq\f(1,2)(a＋b)，將區(qū)間一分為二；S2若f(x0)＝0，則x0就是方程的根，否則判斷根x*在x0的左側還是右側：若f(a)f(x0)>0，則x*∈(x0，b)，以x0代替a；若f(a)f(x0)<0，則x*∈(a，x0)，以x0代替b；S3若|a－b|<c，計算終止，此時x*≈x0，否則轉S1.判斷正誤：(1)用二分法求方程的近似解，應先判斷方程在給定區(qū)間上是否有解．()(2)二分法求方程近似解的過程是一個多次重復的過程，故可用循環(huán)結構處理．()(3)用二分法求方程近似解時，需要對中點(端點)處的函數值的符號進行判斷，故實現算法需用選擇結構，即用條件語句進行選擇．()【解析】(1)√，(2)√，(3)√.由二分法求方程近似解的步驟可知(1)(2)(3)都正確．【答案】(1)√(2)√(3)√[小組合作型]“韓信點兵——孫子問題”有3個連續(xù)的自然數，其中最小的能被15整除，中間的能被17整除，最大的能被19整除，求滿足要求的一組3個連續(xù)的自然數，畫出流程圖，并用偽代碼表示算法．【精彩點撥】eq\x(讀題，理解題意)→eq\x(轉化為求不定方程組的解)→eq\x(畫流程圖)→eq\x(寫偽代碼)【自主解答】流程圖如圖所示．偽代碼如下：eq\x(\a\al(m←2,WhileMod(m,15)≠0Or,Mod(m＋1,17)≠0Or,Mod(m＋2,19)≠0,m←m＋1,EndWhile,Printm，m＋1，m＋2))解決此類問題的方法就是從m＝2開始，對每一個正整數逐一檢驗，當m滿足所有的已知條件時，則結束循環(huán)，輸出m.[再練一題]1．如圖1-4-1所示的流程圖，輸出的結果是________．圖1-4-1【解析】m＝10時，不滿足條件，則m←10＋＝17時，Mod(m,3)＝2且Mod(m,5)＝2成立，故輸出17.【答案】17求最大公約數設計用輾轉相除法求8251與6105的最大公約數的算法，并畫出流程圖，寫出偽代碼．【精彩點撥】根據輾轉相除法的步驟設計算法，然后畫出流程圖，寫出偽代碼．【自主解答】算法如下：S1a←8251；S2b←6105；S3如果Mod(a，b)≠0，那么轉S4，否則轉S7；S4r←Mod(a，b)；S5a←b；S6b←r，轉S3；S7輸出b.流程圖與偽代碼：eq\x(\a\al(a←8251,b←6105,WhileModa，b≠0,r←Moda，b,a←b,b←r,EndWhile,Printb))輾轉相除法是一個多次循環(huán)的過程，當大數被小數除盡時，結束除法運算，此時較小的數就是兩個整數的最大公約數.[再練一題]2．求324,243,270的最大公約數.【導學號：11032023】【解】324＝243×1＋81,243＝81×3，所以324與243的最大公約數為81，又270＝81×3＋27,81＝27×3，故81與270的最大公約數為27，綜上可知，324,243,270這三個數的最大公約數為27.[探究共研型]二分法求方程的近似解探究1設計用二分法求方程近似解的算法的基本思想是什么？在算法中要用到怎樣的結構？【提示】算法的設計思想是：如果估計出方程f(x)＝0在某個區(qū)間[a，b]內有一個根x0，則就可以用二分法求得符合誤差限制要求的近似解．由于二分法求解是一個多次循環(huán)的過程，因此在算法的設計中要用到循環(huán)結構，從而必含有條件結構．探究2用二分法求方程log2x＝3－x在區(qū)間[a，b]內的一個近似解(誤差不超過時，利用循環(huán)語句“Do…EndDo”編寫偽代碼，其循環(huán)的終止條件是什么？【提示】由二分法的求解過程知終止條件是|a－b|＜.設計用二分法求方程x3－2＝0在區(qū)間[1,2]內的近似解(誤差不超過的流程圖，寫出偽代碼．【精彩點撥】先回憶用二分法求近似解的步驟，然后由步驟畫出流程圖，最后寫出算法的偽代碼．【自主解答】流程圖如圖：偽代碼如下：eq\x(\a\al(a←1,b←2,c←,Dox0←a＋b/2,fa←a3－2,fx0←x\o\al(3,0)－2,Iffx0＝0ThenExitDo,Iffa×fx0<0Then,b←x0,Else,a←x0,EndIf,Until|a－b|<c,EndDo,Printx0))用二分法求方程的近似解就是逐步把“解”所在的區(qū)間縮短，直到近似解或方程的解所在的區(qū)間的長度小于誤差為止.因此求方程的近似解時，一定要給出精確度.[再練一題]3．流程圖1-4-2表示的算法的功能是________．圖1-4-2【解析】由流程圖知，該算法的功能是用二分法求方程x2－3x＋1＝0在區(qū)間[0,1]內的近似解，誤差不超過.【答案】用二分法求方程x2－3x＋1＝0在區(qū)間[0,1]內的一個近似解(誤差不超過1．Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,2)))＋Mod(80,3)的值為________.【導學號：11032024】【解析】∵Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,2)))＝10,80＝26×3＋2，Mod(80,3)＝2，∴Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,2)))＋Mod(80,3)＝12.【答案】122．已知一個班的學生人數在30至56之間，現按3人一排，多出1人；按5人一排，多出3人；按7人一排，多出1人，則該班人數為________．【解析】設此班有m人，問題轉化為解關于x、y、z的不定方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1＝m，,5y＋3＝m，,7z＋1＝m，))又m∈(30,56)，故m的值為43.【答案】433．圖1-4-3表示的流程圖，輸出的結果是________．圖1-4-3【解析】第一次執(zhí)行循環(huán)體：r＝34，a＝119，b＝34，第二次執(zhí)行循環(huán)體：r＝17，a＝34，b＝17.第三次執(zhí)行循環(huán)體：r＝0，a＝17，b＝0，輸出b＝0.【答案】04．給出下面的說法：①若f(a)f(b)<0(a≠b)，則方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)上一定有根；②若f(a)f(b)>0(a≠b)，則方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)上一定沒有根；③連續(xù)不間斷的函數y＝f(x)，若f(a)f(b)<0(a≠b)，則方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)上只有一個根．其中不正確的說法有________個．【解析】①的反例：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x－1，x>0，))區(qū)間：(－1,1)．②的反例：圖象為區(qū)間：(－1,2)．