高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步單元測(cè)試 蘇教版 第一章 章末復(fù)習(xí) 教案

第1課時(shí)空間幾何體的表面積(1)直棱柱：側(cè)棱和底面垂直的棱柱．(2)正棱柱：底面為正多邊形的直棱柱．(3)正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心的棱錐．(4)正棱臺(tái)：正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分.觀察下列多面體：?jiǎn)栴}1：直棱柱的側(cè)面展開圖是什么？提示：以底面周長(zhǎng)為長(zhǎng)，高為寬的矩形．問題2：正棱錐的側(cè)面展開圖是什么？提示：若干個(gè)全等的等腰三角形．問題3：正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么？提示：若干個(gè)全等的等腰梯形．幾個(gè)特殊的多面體的側(cè)面積公式(1)S直棱柱側(cè)＝ch(h為直棱柱的高)；(2)S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′(h′為斜高)；(3)S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(h′為斜高).觀察下列旋轉(zhuǎn)體：?jiǎn)栴}1：圓柱的側(cè)面展開圖是什么？提示：以底面周長(zhǎng)為長(zhǎng)，高為寬的矩形．問題2：圓錐的側(cè)面展開圖是什么？提示：扇形．問題3：圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么？提示：扇環(huán)．幾種旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式(1)S圓柱側(cè)＝cl＝2πrl．(2)S圓錐側(cè)＝eq\f(1,2)cl＝πrl．(3)S圓臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h＝π(r＋r′)l．1．柱、錐、臺(tái)的表面積即全面積應(yīng)為側(cè)面積與底面積的和．2．柱、錐、臺(tái)的側(cè)面積的求法要注意柱、錐、臺(tái)的幾何特性，必要時(shí)要展開．3．柱、錐、臺(tái)的側(cè)面積之間的關(guān)系(1)正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)側(cè)面積之間的關(guān)系：eq\x(S正棱柱側(cè))eq\o(→,\s\up7(h′＝h),\s\do5(c′＝c))eq\x(S正棱臺(tái)側(cè))eq\o(→,\s\up7(c′＝0))eq\x(S正棱錐側(cè)).(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)表面積之間的關(guān)系：eq\x(S圓柱側(cè))eq\o(→,\s\up7(r1＝r2))eq\x(S圓臺(tái)側(cè))eq\o(→,\s\up7(r1＝0))eq\x(S圓錐側(cè)).[例1]正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，高是3，求它的表面積．[思路點(diǎn)撥]由S側(cè)與S底的關(guān)系，求得斜高與底面邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，進(jìn)而求出斜高和底面邊長(zhǎng)，最后求表面積．[精解詳析]如圖，設(shè)PO＝3，PE是斜高，∵S側(cè)＝2S底，∴4·eq\f(1,2)·BC·PE＝2BC2.∴BC＝PE.在Rt△POE中，PO＝3，OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)PE.∴9＋(eq\f(PE,2))2＝PE2.∴PE＝2eq\r(3).∴S底＝BC2＝PE2＝(2eq\r(3))2＝12.S側(cè)＝2S底＝2×12＝24.∴S表＝S底＋S側(cè)＝12＋24＝36.[一點(diǎn)通]求棱錐、棱臺(tái)及棱柱的側(cè)面積和表面積的關(guān)鍵是求底面邊長(zhǎng)，高，斜高，側(cè)棱．求解時(shí)要注意直角三角形和梯形的應(yīng)用．1．已知一個(gè)三棱錐的每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則此三棱錐的表面積為________．解析：三棱錐的每個(gè)面(正三角形)的面積都是eq\f(\r(3),4)，所以三棱錐的表面積為4×eq\f(\r(3),4)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)2．底面為正方形的直棱柱，它的底面對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(2)，體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(6)，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是________．解析：設(shè)直棱柱底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則h＝eq\r(6－2)＝2，a＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，所以S棱柱側(cè)＝4×1×2＝8.答案：83．正四棱臺(tái)的高是12cm，兩底面邊長(zhǎng)之差為10cm，表面積為512cm2，求底面的邊長(zhǎng)．解：如圖，設(shè)上底面邊長(zhǎng)為xcm，則下底面邊長(zhǎng)為(x＋10)cm，在Rt△E1FE中，EF＝eq\f(x＋10－x,2)＝5(cm)．∵E1F＝12cm，∴斜高E1E＝13cm.∴S側(cè)＝4×eq\f(1,2)(x＋x＋10)×13＝52(x＋5)，S表＝52(x＋5)＋x2＋(x＋10)2＝2x2＋72x＋360.∵S表＝512cm2，∴2x2＋72x＋360＝512.解得x1＝－38(舍去)，x2＝2.∴x2＋10＝12.∴正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2cm、12cm.[例2]圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺(tái)的表面積是多少？[思路點(diǎn)撥]解答本題可先把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即在展開圖內(nèi)求母線的長(zhǎng)，再進(jìn)一步代入側(cè)面積公式求出側(cè)面積，進(jìn)而求出表面積．[精解詳析]如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為c，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，∴S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺(tái)的表面積為1100πcm2.[一點(diǎn)通](1)求圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積和表面積，只需求出上、下底半徑和母線長(zhǎng)即可，求半徑和母線長(zhǎng)時(shí)常借助軸截面．(2)對(duì)于與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體的側(cè)面積和表面積問題，首先要弄清楚它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成，然后再根據(jù)條件求各個(gè)簡(jiǎn)單組合體的半徑和母線長(zhǎng)，注意方程思想的應(yīng)用．4．若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個(gè)圓錐的全面積是________．解析：根據(jù)軸截面面積是eq\r(3)，可得圓錐的母線長(zhǎng)為2，底面半徑為1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.答案：3π如圖所示，在底半徑為2，母線長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為eq\r(3)的圓柱，求圓柱的表面積．解：設(shè)圓柱的底面半徑為x，圓錐高h(yuǎn)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，畫軸截面積圖(如圖)，則eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(2－x,2).故圓錐內(nèi)接圓柱的底半徑x＝1.則圓柱的表面積S＝2π·12＋2π·1·eq\r(3)＝(2＋2eq\r(3))π.6．一個(gè)直角梯形的上、下底的半徑和高的比為1∶2∶eq\r(3)，求它繞垂直于上、下底的腰旋轉(zhuǎn)后形成的圓臺(tái)的上底面積、下底面積和側(cè)面積的比．解：如圖所示，設(shè)上、下底的半徑和高分別為x、2x、eq\r(3)x，則母線長(zhǎng)l＝eq\r(（2x－x）2＋（\r(3)x）2)＝2x，∴S上底＝πx2，S下底＝π(2x)2＝4πx2，S側(cè)＝π(x＋2x)·2x＝6πx2，∴圓臺(tái)的上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為1∶4∶6.1．正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的所有側(cè)面都全等，因此求側(cè)面積時(shí)，可先求一個(gè)側(cè)面的面積，然后乘以側(cè)面的個(gè)數(shù)．2．棱臺(tái)是由棱錐所截得到的，因此棱臺(tái)的側(cè)面積可由大小棱錐側(cè)面積作差得到．3．旋轉(zhuǎn)體的軸截面是化空間問題為平面問題的重要工具，因?yàn)樵谳S截面中集中體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)體的“關(guān)鍵量”之間的關(guān)系．在推導(dǎo)這些量之間的關(guān)系時(shí)要注意比例性質(zhì)的應(yīng)用．課下能力提升(十)1．一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為2eq\r(3)，則圓錐的側(cè)面積為________．解析：S側(cè)＝πRl＝π×2×eq\r(（2\r(3)）2＋22)＝8π.答案：8π2．正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為eq\f(\r(3),3)a，則此棱錐的側(cè)面積為________．解析：如圖，在正三棱錐S-ABC中，過點(diǎn)S作SO⊥平面ABC于O點(diǎn)，則O為△ABC的中心，連結(jié)AO并延長(zhǎng)與BC相交于點(diǎn)M，連結(jié)SM，SM即為斜高h(yuǎn)′，在Rt△SMO中，h′＝eq\r(（\f(\r(3),3)a）2＋（\f(\r(3),6)a）2)＝eq\f(\r(15),6)a，所以側(cè)面積S＝3×eq\f(1,2)×eq\f(\r(15),6)a×a＝eq\f(\r(15),4)a2.答案：eq\f(\r(15),4)a23．一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32π，則母線長(zhǎng)為________．解析：設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r′、r，則母線l＝eq\f(1,2)(r′＋r)．∴S側(cè)＝π(r＋r′)·l＝π·2l·l＝2πl(wèi)2＝32π.∴l(xiāng)＝4.答案：44．一個(gè)圓柱的底面面積是S，其側(cè)面積展開圖是正方形，那么該圓柱的側(cè)面積為________．解析：設(shè)圓柱的底面半徑為R，則S＝πR2，R＝eq\r(\f(S,π))，底面周長(zhǎng)c＝2πR.故圓柱的側(cè)面積為S圓柱側(cè)＝c2＝(2πR)2＝4π2eq\f(S,π)＝4πS.答案：4πS如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為________．解析：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則其表面積為6，三棱錐D1-AB1C為正四面體，每個(gè)面都是邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正三角形，其表面積為4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(6),2)＝2eq\r(3)，所以三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為1∶eq\r(3).答案：1∶eq\r(3)6．以圓柱的上底中心為頂點(diǎn)，下底為底作圓錐，假設(shè)圓柱的側(cè)面積為6，圓錐的側(cè)面積為5，求圓柱的底面半徑．解：如圖所示，設(shè)圓柱底面圓的半徑為R，高為h，則圓錐的底面半徑為R，高為h，設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為l，則有l(wèi)＝eq\r(R2＋h2).①依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2πRh＝6，,πRl＝5，))②由①②，得R＝eq\f(2\r(π),π)，即圓柱的底面半徑為eq\f(2\r(π),π).7．設(shè)正三棱錐S-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的全面積．解：設(shè)正三棱錐底面邊長(zhǎng)為a，斜高為h′，如圖所示，過O作OE⊥AB，則SE⊥AB，即SE＝h′.∵S側(cè)＝2S底，∴eq\f(1,2)×3a×h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2，∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2，∴32＋(eq\f(\r(3),6)×eq\r(3)h′)2＝h′2.∴h′＝2eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S側(cè)＝2S底＝18eq\r(3).∴S全＝S側(cè)＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).8.如圖所示，表示一個(gè)用鮮花做成的花柱，它的下面是一個(gè)直徑為1m、高為3m的圓柱形物體，上面是一個(gè)半球形體．如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么裝飾這個(gè)花柱大約需要多少朵鮮花(π取?解：圓柱形物體的側(cè)面面積S1≈×1×3＝(m2)，半球形物體的表面積為S2≈2××(eq\f(1,2))2≈(m2)，所以S1＋S2≈＋＝(m2)．10．9×150≈1635(朵)．答：裝飾這個(gè)花柱大約需要1635朵鮮花．第2課時(shí)空間幾何體的體積觀察下列幾何體：?jiǎn)栴}1：你能否求出上述幾何體的體積嗎？提示：能．問題2：要求上述幾何體的體積，需要知道什么？提示：底面積和高．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式(1)柱體體積：V柱體＝Sh．其中S為柱體的底面積，h為高．(2)錐體體積：V錐體＝eq\f(1,3)Sh．其中S為錐體的底面積，h為高．(3)臺(tái)體體積：V臺(tái)體＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)．其中S，S′分別為臺(tái)體的兩底面面積，h為臺(tái)體的高.2023年12月4日，阿迪達(dá)斯和國(guó)際足聯(lián)在開普敦共同發(fā)布2023年南非世界杯官方比賽用球“JABULANI”，“JABULANI”源于非洲祖魯語，意為“普天同慶”，新的比賽用球在技術(shù)上取得歷史性突破，設(shè)計(jì)上融入了南非元素．問題1：根據(jù)球的形成定義，體育比賽中用到的足球與數(shù)學(xué)中的球有何不同？提示：比賽中的足球是空心的，而數(shù)學(xué)中的球是實(shí)體球．問題2：給你一個(gè)足球能否計(jì)算出這個(gè)足球表皮面積和體積？提示：能，只要知道球的半徑即可求出．1．球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍．2．球的體積設(shè)球的半徑為R，則球的體積V＝eq\f(4,3)πR3．1．求柱、錐、臺(tái)的體積要注意底面積與高的確定，必要時(shí)注意分割．2．柱體、錐體、臺(tái)體之間體積公式的關(guān)系3．要求球的表面積，只需求出球的半徑．4．球的體積與球的半徑的立方成正比，即球的體積是關(guān)于球的半徑的增函數(shù)．[例1](1)底面為正三角形的直棱柱的側(cè)面的一條對(duì)角線長(zhǎng)為2.且與該側(cè)面內(nèi)的底邊所成的角為45°，求此三棱柱的體積．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝eq\r(2).求此四棱錐的體積．[思路點(diǎn)撥](1)由條件求出高和底面邊長(zhǎng)，再利用公式求體積；(2)解本題的關(guān)鍵是求四棱錐的高，可證明PA⊥底面ABCD，再利用公式求體積．[精解詳析](1)如圖，由條件知此三棱柱為正三棱柱．∵正三棱柱的面對(duì)角線AB1＝2.∠B1AB＝45°.∴AB＝2×sin45°＝eq\r(2)＝BB1.∴V三棱柱＝S△ABC·BB1＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).(2)在△PAD中，PA＝AD＝1，PD＝eq\r(2)，∴PA2＋AD2＝PD2.∴PA⊥AD，又PA⊥CD，且AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD，從而PA是底面ABCD上的高，∴V四棱錐＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·PA＝eq\f(1,3)×12×1＝eq\f(1,3).[一點(diǎn)通]求柱體、錐體的體積，關(guān)鍵是求其高，對(duì)柱體而言，高常與側(cè)棱、斜高及其在底面的射影組成直角三角形，對(duì)棱錐而言，求高時(shí)，往往要用到線面垂直的判定方法，因?yàn)槔忮F的高實(shí)際上是頂點(diǎn)向底面作垂線，垂線段的長(zhǎng)度．1．一圓錐母線長(zhǎng)為1，側(cè)面展開圖圓心角為240°，則該圓錐的體積為________．解析：設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為l，則l＝eq\f(240°×π×1,180°)＝eq\f(4π,3).設(shè)圓錐的底面半徑為r，則eq\f(4π,3)＝2πr，r＝eq\f(2,3).V＝eq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)·eq\r(12－\f(4,9))＝eq\f(4π,33)·eq\r(\f(5,9))＝eq\f(4\r(5),81)π.答案：eq\f(4\r(5),81)π2．一個(gè)正方體和一個(gè)圓柱等高并且側(cè)面積相等，則正方體與圓柱的體積之比為________．解析：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則S正方體側(cè)＝S圓柱側(cè)＝4，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則2πr×1＝4，r＝eq\f(2,π)，V正方體＝1，V圓柱＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,π)))eq\s\up12(2)·1＝eq\f(4,π).∴V正方體∶V圓柱＝π∶4.答案：π∶4[例2]圓臺(tái)上底的面積為16πcm2，下底半徑為6cm，母線長(zhǎng)為10cm，那么，圓臺(tái)的側(cè)面積和體積各是多少？[思路點(diǎn)撥]解答本題作軸截面可以得到等腰梯形，為了得到高，可將梯形分割為直角三角形和矩形，利用它們方便地解決問題．[精解詳析]如圖，由題意可知，圓臺(tái)的上底圓半徑為4cm，于是S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．圓臺(tái)的高h(yuǎn)＝BC＝eq\r(BD2－（OD－AB）2)＝eq\r(102－（6－4）2)＝4eq\r(6)(cm)，V圓臺(tái)＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS)′＋S′)＝eq\f(1,3)×4eq\r(6)×(16π＋eq\r(16π×36π)＋36π)＝eq\f(304\r(6)π,3)(cm3)．[一點(diǎn)通]求臺(tái)體的體積關(guān)鍵是求高，為此常將有關(guān)計(jì)算轉(zhuǎn)化為平面圖形(三角形或特殊四邊形)來計(jì)算．對(duì)于棱臺(tái)往往要構(gòu)造直角梯形和直角三角形；在旋轉(zhuǎn)體中通常要過旋轉(zhuǎn)軸作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．3．正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)為20cm和10cm，側(cè)面積為780cm2，求其體積．解：如圖所示，正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中點(diǎn)E1，AB的中點(diǎn)E，連結(jié)E1E，則E1E是側(cè)面ABB1A1的高．設(shè)O1，O分別是上，下底面的中心，則四邊形EOO1E1是直角梯形．S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×(10＋20)·E1E，即780＝60E1E，解得E1E＝13(cm)．在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5(cm)，OE＝eq\f(1,2)AB＝10(cm)，所以O(shè)1O＝eq\r(E1E2－（OE－O1E1）2)＝eq\r(132－52)＝12(cm)．所以V＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋eq\r(102×202))＝2800(cm3).[例3]一個(gè)球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2.求球的表面積．[思路點(diǎn)撥]由于題中沒有說明截面的位置，故需分類討論．[精解詳析](1)當(dāng)截面在球心的同側(cè)時(shí)，如圖所示為球的軸截面．由球的截面性質(zhì)知，AO1∥BO2，且O1，O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.設(shè)球的半徑為R.因?yàn)閳AO2的面積為49π，即π·O2B2＝49π，所以O(shè)2B＝7.同理，因?yàn)棣小1A2＝400π，所以O(shè)1A＝20.設(shè)OO1＝x，則OO2＝(x＋9)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，所以，x2＋202＝(x＋9)2＋72，解得x＝15.即R2＝x2＋202＝252.故S球＝4πR2＝2500π.所以，球的表面積為2500πcm2.當(dāng)截面位于球心O的兩側(cè)時(shí)，如圖所示為球的軸截面．由球的截面性質(zhì)知，O1A∥O2B，且O1，O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1⊥AO1，OO2⊥O2B.設(shè)球的半徑為R.因?yàn)閳AO2的面積為49π，即π·O2B2＝49π，所以O(shè)2B＝7.同理，因?yàn)棣小1A2＝400π，所以O(shè)1A＝20.設(shè)O1O＝x，則OO2＝(9－x)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72.所以x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合題意，舍去．綜上所述，球的表面積為2500πcm2.[一點(diǎn)通]球的截面性質(zhì)：球心與截面圓心的連線垂直于截面，本題利用球的截面將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，借助于直角三角形中的勾股定理解決問題．4．(新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為________cm3.解析：設(shè)球半徑為Rcm，根據(jù)已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面的距離為(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)cm3.答案：eq\f(500π,3)5．過球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為________．解析：過球心作球的截面，如圖所示，設(shè)球的半徑為R，截面圓的半徑為r，則有r＝eq\r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)R，則球的表面積為4πR2，截面的面積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)πR2，所以截面的面積與球的表面積的比為eq\f(\f(3,4)πR2,4πR2)＝eq\f(3,16).答案：eq\f(3,16)6．長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別是3，4，5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積和體積是多少？解：設(shè)球的半徑為R，則由已知得(2R)2＝32＋42＋52，故R2＝eq\f(25,2)，∴R＝eq\f(5,2)eq\r(2)，∴S球＝4πR2＝50π，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·(eq\f(5,2)eq\r(2))3＝eq\f(125,3)eq\r(2)π.1．求柱、錐、臺(tái)體的體積時(shí)，由條件畫出直觀圖，然后根據(jù)幾何體的特點(diǎn)恰當(dāng)進(jìn)行割補(bǔ)，可能使復(fù)雜問題變得直觀易求．2．求球與多面體的組合問題，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖．3．球的截面是一個(gè)圓面、圓心與球心的連線與截面圓垂直，且滿足d＝eq\r(R2－r2)(d為球心到截面圓的距離)．課下能力提升(十一)1．一個(gè)圓錐與一個(gè)球的體積相等，圓錐的底面半徑是球的半徑的3倍，圓錐的高與底面半徑之比為________．解析：設(shè)球的半徑為r，則圓錐的底面半徑是3r，設(shè)圓錐的高為h，則eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,3)π(3r)2h，解得h＝eq\f(4,9)r，所以圓錐的高與底面半徑之比為eq\f(4,27).答案：eq\f(4,27)2．如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于________．解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的母線長(zhǎng)為2r，由題意得S圓柱側(cè)＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圓柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.答案：2π3．(福建高考)三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐P-ABC的體積等于________．解析：依題意有，三棱錐P-ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·|PA|＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×3＝eq\r(3).答案：eq\r(3)4．在△ABC中，AB＝2，BC＝，∠ABC＝120°，若使△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是________．解析：V＝V大圓錐－V小圓錐＝eq\f(1,3)π(eq\r(3))2(1＋－1)＝eq\f(3,2)π.答案：eq\f(3,2)π5．(天津高考)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上．若球的體積為eq\f(9π,2)，則正方體的棱長(zhǎng)為________．解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，其外接球的半徑為R，則由球的體積為eq\f(9π,2)，得eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9π,2)，解得R＝eq\f(3,2).由2R＝eq\r(3)x，得x＝eq\f(2R,\r(3))＝eq\r(3).答案：eq\r(3)如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF＝eq\f(3,2)，EF與平面AC的距離為2，求該多面體的體積．解：如圖，設(shè)G，H分別是AB，DC的中點(diǎn)，連結(jié)EG，EB，EC，EH，HG，HB，∵EF∥AB，EF＝eq\f(1,2)AB＝GB，∴四邊形GBFE為平行四邊形，則EG∥FB，同理可得EH∥FC，GH∥BC，得三棱柱EGH-FBC和棱錐E-AGHD.依題意VE-AGHD＝eq\f(1,3)SAGHD×2＝eq\f(1,3)×3×eq\f(3,2)×2＝3，而VEGH-FBC＝3VB-EGH＝3×eq\f(1,2)VE-BCHG＝eq\f(3,2)VE-AGHD＝eq\f(9,2)，∴V多面體＝VE-AGHD＋VEGH-FBC＝eq\f(15,2).7．已知正四棱臺(tái)兩底面面積分別為80cm2和245cm2，截得這個(gè)正四棱臺(tái)的原棱錐的高是35cm，求正四棱臺(tái)的體積．解：如圖，SO＝35，A′O′＝2eq\r(5)，AO＝eq\f(7\r(5),2)，由eq\f(SO′,SO)＝eq\f(A′O′,AO)，得SO′＝eq\f(35×2\r(5),\f(7\r(5),2))＝20.∴OO′＝15.∴V正四棱臺(tái)＝eq\f(1,3)×15×(80＋eq\r(80×245)＋245)＝2325.即正四棱臺(tái)的體積為2325cm3.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高．(1)證明：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB＝eq\r(6)，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱錐P-ABCD的體積．解：(1)證明：因?yàn)镻H是四棱錐P-ABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD內(nèi)，且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD，故平面PAC⊥平面PBD.(2)因?yàn)锳BCD為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝eq\r(6)，所以HA＝HB＝eq\r(3).因?yàn)椤螦PB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝eq\r(6)，HD＝HC＝1，可得PH＝eq\r(3).等腰梯形ABCD的面積為S＝eq\f(1,2)AC×BD＝2＋eq\r(3).所以四棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)×(2＋eq\r(3))×eq\r(3)＝eq\f(3＋2\r(3),3).一、空間幾何體1．多面體與旋轉(zhuǎn)體(1)棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形．但是要注意“有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱”．(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫棱錐．注意：一個(gè)棱錐至少有四個(gè)面，所以三棱錐也叫四面體．(3)棱臺(tái)是利用棱錐來定義的，用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到兩個(gè)幾何體，一個(gè)仍然是棱錐，另一個(gè)稱之為棱臺(tái)，截面叫做上底面，原棱錐的底面叫做下底面．注意：解決臺(tái)體常用“臺(tái)還原成錐”的思想．(4)將矩形、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)，這條直線叫做軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)一周而成的圓面叫做底面，不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做母線．2．直觀圖畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點(diǎn)就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時(shí)，直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法．畫立體圖形與畫水平放置的平面圖形相比多了一個(gè)z軸，最大區(qū)別是空間幾何體的直觀圖有實(shí)線與虛線之分，而平面圖形的直觀圖全為實(shí)線．二、平面的基本性質(zhì)1．平面的基本性質(zhì)公理內(nèi)容圖形符號(hào)公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)A∈α，B∈α?AB?α公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l公理3經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α公理3的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．2．三個(gè)公理的主要作用(1)公理1的作用：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)．②用直線檢驗(yàn)平面．(2)公理2的作用：①判定兩個(gè)平面是否相交；②證明點(diǎn)共線．(3)公理3的作用：①確定平面；②證明點(diǎn)線共面．三、空間直線與直線的位置關(guān)系空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有相交、平行、異面三種．注意：兩直線垂直有“相交垂直”與“異面垂直”兩種．1．證明線線平行的方法(1)線線平行的定義；(2)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行；(3)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；(4)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b；(5)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.2．證明線線垂直的方法(1)線線垂直的定義：兩條直線所成的角是直角，在研究異面直線所成的角時(shí)，要通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線；(2)線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b；(3)線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b.四、空間直線與平面的位置關(guān)系空間中直線與平面有三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)，直線與平面相交，直線與平面平行．注意：直線在平面外包括平行和相交兩種關(guān)系．1．證明線面平行的方法(1)線面平行的定義；(2)判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α；(3)平面與平面平行的性質(zhì)：α∥β，a?α?a∥β.2．證明線面垂直的方法(1)線面垂直的定義；(2)線面垂直的判定定理：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m，n?α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))?l⊥α；(3)面面平行的性質(zhì)：α∥β，l⊥α?l⊥β；(4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.五、空間平面與平面的位置關(guān)系空間平面與平面的位置關(guān)系有且只有平行和相交兩種．1．證明面面平行的方法(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a?α，b?α，a∩b＝A?α∥β；(3)線面垂直的性質(zhì)：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．2．證明面面垂直的方法(1)面面垂直的定義：兩個(gè)平面相交所成的二面角是直二面角；(2)面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.3．證明空間線面平行或垂直需注意三點(diǎn)(1)由已知想性質(zhì)，由求證想判定；(2)適當(dāng)添加輔助線(面)；(3)用定理時(shí)先明確條件，再由定理得出相應(yīng)結(jié)論．六、空間幾何體的表面積和體積1．棱錐、棱臺(tái)、棱柱的側(cè)面積公式間的聯(lián)系eq\x(S正棱臺(tái)側(cè)＝\f(1,2)（c＋c′）h′)eq\a\vs4\al(\o(→,\s\up7(c′＝0),\s\do5()))eq\x(S正棱錐側(cè)＝\f(1,2)ch′)eq\a\vs4\al(\o(→,\s\up7(c＝c′),\s\do5(h＝h′)))eq\x(S正棱柱側(cè)＝ch)2．圓錐、圓臺(tái)、圓柱的側(cè)面積公式間的聯(lián)系eq\x(S圓臺(tái)側(cè)＝π（r′＋r）l)eq\a\vs4\al(\o(→,\s\up7(r′＝0),\s\do5()))eq\x(S圓錐側(cè)＝πrl)eq\a\vs4\al(\o(→,\s\up7(r′＝r),\s\do5()))eq\x(S圓柱側(cè)＝2πrl)3．錐、臺(tái)、柱的體積之間的聯(lián)系V臺(tái)體＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))heq\a\vs4\al(\o(→,\s\up7(S上＝0),\s\do5()))eq\x(V錐體＝\f(1,3)Sh)eq\a\vs4\al(\o(→,\s\up7(S上＝S下),\s\do5()))eq\x(V柱體＝Sh)4．球的表面積與體積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2，體積V＝eq\f(4,3)πR3.一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)1．下列幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是________．①圓柱；②六棱錐；③正方體；④球體；⑤四面體．答案：①④2．若兩個(gè)平面互相平行，則分別在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線________．解析：由于直線分別位于兩平行平面內(nèi)，因此它們無公共點(diǎn)，因此它們平行或異面．答案：平行或異面3．圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)l＝3，側(cè)面積為84π，則圓臺(tái)較小底面的半徑為________．解析：設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r，則S側(cè)面積＝π(r＋3r)l＝84π，r＝7.答案：74．已知一個(gè)表面積為24的正方體，設(shè)有一個(gè)與每條棱都相切的球，則此球的體積為________．解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則6a2＝24，解得a＝2.又球與正方體的每條棱都相切，則正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)2eq\r(2)等于球的直徑，則球的半徑是eq\r(2)，則此球的體積為eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3)π.答案：eq\f(8\r(2),3)π5．一個(gè)三角形用斜二測(cè)畫法畫出來是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，則此三角形的面積是________．解析：如圖所示，將△A′B′C′還原后為△ABC，由于O′C′＝eq\r(2)C′D′＝eq\r(2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(6),2)，所以CO＝2O′C′＝eq\r(6).∴S△ABC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(6)＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)6．如圖，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是________．解析：連結(jié)AC，由于四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又MC⊥平面ABCD，所以MC⊥BD，又MC∩AC＝C，所以BD⊥平面AMC，所以MA⊥BD.答案：垂直7．已知直線a∥平面α，平面α∥平面β，則直線a與平面β的位置關(guān)系為________．解析：∵a∥α，α∥β，∴a∥β或a?β.答案：a∥β或a?β8．圓錐側(cè)面展開圖的扇形周長(zhǎng)為2m，則全面積的最大值為________．解析：設(shè)圓錐底面半徑為r，母線為l，則有2l＋2πr＝2m.∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr(m－πr)＝(π－π2)r2＋πrm.∴當(dāng)r＝eq\f(πm,2（π2－π）)＝eq\f(m,2（π－1）)時(shí)，S全有最大值eq\f(πm2,4（π－1）).答案：eq\f(πm2,4（π－1）)9．已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長(zhǎng)等于球O的半徑，OK＝eq\f(3,2)，且圓O與圓K所在的平面所成的一個(gè)二面角為60°，則球O的表面積等于________．解析：如圖設(shè)點(diǎn)A為圓O和圓K公共弦的中點(diǎn)，則在Rt△OAK中，∠OAK為圓O和圓K所在的平面所成的二面角的一個(gè)平面角，即∠OAK＝60°.由OK＝eq\f(3,2)，可得OA＝eq\r(3)，設(shè)球的半徑為R，則(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(2)＝R2，解得R＝2，因此球的表面積為4π·R2＝16π.答案：16π如圖，二面角α-l-β的大小是60°，線段AB?α，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是________．解析：如圖，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，連結(jié)OB，OC，則OC⊥l.設(shè)AB與β所成角為θ，則∠ABO＝θ，由圖得sinθ＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(AC,AB)·eq\f(AO,AC)＝sin30°·sin60°＝eq\f(\r(3),4).答案：eq\f(\r(3),4)11．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個(gè)不同平面，下列命題中錯(cuò)誤的是________．①若m∥α，n∥α，則m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；③若m∥α，m∥β，則α∥β；④若m⊥α，n⊥α，則m∥n.解析：對(duì)于①，m，n均為直線，其中m，n平行于α，則m，n可以相交也可以異面，故①不正確；對(duì)于②，③，α，β還可能相交，故②，③錯(cuò)；對(duì)于④，m⊥α，n⊥α，則同垂直于一個(gè)平面的兩條直線平行，故④正確．答案：①②③12．若一個(gè)圓柱、一個(gè)圓錐的底面直徑和高都等于一個(gè)球的直徑，則圓柱、球、圓錐的體積之比是________．解析：設(shè)球的半徑為R，圓柱、圓錐的底面半徑為r，高為h，則r＝R，h＝2R，V圓柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，V圓錐＝eq\f(1,3)πR2×2R＝eq\f(2,3)πR3，所以V圓柱∶V球∶V圓錐＝2πR3∶eq\f(4,3)πR3∶eq\f(2,3)πR3＝3∶2∶1.答案：3∶2∶1如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF＝________時(shí)，CF⊥平面B1DF.解析：由題意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．令CF⊥DF，設(shè)AF＝x，則A1F＝3a－x，由Rt△CAF∽R(shí)t△FA1D，得eq\f(AC,A1F)＝eq\f(AF,A1D)，即eq\f(2a,3a－x)＝eq\f(x,a).整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.答案：a或2a14．球O的球面上有四點(diǎn)S，A，B，C，其中O，A，B，C四點(diǎn)共面，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，則三棱錐S-ABC的體積的最大值為________．解析：記球O的半徑為R，作SD⊥AB于D，連線OD、OS，易求R＝eq\f(2,\r(3))，又SD⊥平面ABC，注意到SD＝eq\r(SO2－OD2)＝eq\r(R2－OD2)，因此要使SD最大，則需OD最小，而OD的最小值為eq\f(1,2)×eq\f(2,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，因此高SD的最大值是eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝1，又三棱錐S-ABC的體積為eq\f(1,3)S△ABC·SD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×SD＝eq\f(\r(3),3)SD，因此三棱錐S-ABC的體積的最大值是eq\f(\r(3),3)×1＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)二、解答題(本大題共6小題，共90分)15．(14分)圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD，圓柱側(cè)面上從A到C的最短距離是多少？解：如圖，底面半徑為eq\f(5,2)cm，母線長(zhǎng)為5cm.沿AB展開，則C、D分別是BB′、AA′的中點(diǎn)．依題意AD＝π×eq\f(5,2)＝eq\f(5,2)π.∴AC＝eq\r(（\f(5,2)π）2＋52)＝eq\f(5\r(π2＋4),2).∴圓柱側(cè)面上從A到C的最短距離為eq\f(5\r(π2＋4),2)cm.(14分)如圖所示，已知ABCD是矩形，E是以DC為直徑的半圓周上一點(diǎn)，且平面CDE⊥平面ABCD.求證：CE⊥平面ADE.證明：∵E是以DC為直徑的半圓周上一點(diǎn)，∴CE⊥DE.又∵平面CDE⊥平面ABCD，且AD⊥DC，∴AD⊥平面CDE.又CE?面CDE，∴AD⊥CE.又DE∩AD＝D，∴CE⊥平面ADE.(14分)(新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)．(1)證明：BC1∥平面A1CD；(2)設(shè)AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求三棱錐C-A1DE的體積．解：(1)證明：連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中