高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程2．4拋物線第2章242

2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)1.了解拋物線的簡單幾何性質(zhì).(重點)2.會用拋物線的幾何性質(zhì)處理簡單的實際問題.(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理拋物線的幾何性質(zhì)閱讀教材P49例1以上部分，完成下列問題.1.判斷正誤：(1)拋物線是中心對稱圖形.()(2)拋物線的范圍是x∈R.()(3)拋物線是軸對稱圖形.()【解析】(1)×.在拋物線方程中，以－x代x，－y代y，方程發(fā)生了變化，故拋物線不是中心對稱圖形.(2)×.拋物線的方程不同，其范圍就不同，如y2＝2px(p＞0)的范圍是x≥0，y∈R.(3)√.拋物線y2＝±2py(p＞0)的對稱軸是x軸，拋物線x2＝±2py(p＞0)的對稱軸是y軸.【答案】(1)×(2)×(3)√2.拋物線y2＝2px(p＞0)上一點M到焦點的距離是aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＞\f(p,2)))，則點M的橫坐標(biāo)是________.【解析】由拋物線的定義知：點M到焦點的距離a等于點M到拋物線的準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)的距離，所以點M的橫坐標(biāo)即點M到y(tǒng)軸的距離為a－eq\f(p,2).【答案】a－eq\f(p,2)[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小組合作型]拋物線的方程及其幾何性質(zhì)(1)設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4eq\r(2)x的焦點，P為C上一點，若PF＝4eq\r(2)，則△POF的面積為________.(2)已知拋物線的焦點F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，若△OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【精彩點撥】(1)利用拋物線的對稱性及等邊三角形的性質(zhì)求解；(2)設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)拋物線的對稱性表示出三角形的面積，解方程可得拋物線方程中的參數(shù)，即得拋物線的方程.【自主解答】(1)如圖，設(shè)P(x0，y0)，由PF＝x0＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，得x0＝3eq\r(2)，代入拋物線方程得yeq\o\al(2,0)＝4eq\r(2)×3eq\r(2)＝24.所以y0＝2eq\r(6).所以S△POF＝eq\f(1,2)OF·y0＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(6)＝2eq\r(3).【答案】2eq\r(3)(2)由題意，設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0).焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，直線l：x＝eq\f(a,4)，∴A、B兩點的坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，\f(a,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，－\f(a,2)))，∴AB＝a，∵△OAB的面積為4，∴eq\f(1,2)·eq\f(a,4)·a＝4，∴a＝±4eq\r(2)，∴拋物線的方程為y2＝±4eq\r(2)x.1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，目標(biāo)就是求解p，只要列出一個關(guān)于p的方程即可求解.2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程要明確四個步驟：(1)定位置(根據(jù)條件確定拋物線的焦點位置及開口)；(2)設(shè)方程(根據(jù)焦點和開口設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程)；(3)找關(guān)系(根據(jù)條件列出關(guān)于p的方程)；(4)得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.[再練一題]1.已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸重合于橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1短軸所在的直線，拋物線的焦點到頂點的距離為5，求拋物線的方程.【導(dǎo)學(xué)號：24830048】【解】∵橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1的焦點在y軸上，∴橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1短軸所在的直線為x軸.∴拋物線的對稱軸為x軸.∴設(shè)拋物線的方程為y2＝mx(m≠0).∴|eq\f(m,4)|＝5，∴m＝±20.∴所求拋物線的方程為y2＝20x或y2＝－20x.拋物線中的應(yīng)用題河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時，水面寬為8米，一小船寬4米，高2米，載貨后船露出水面上的部分高eq\f(3,4)米，問水面上漲到與拋物線拱頂相距多少米時，小船開始不能通航？【精彩點撥】建系→設(shè)方程→求方程→求出相關(guān)量→解決問題【自主解答】如圖，建立坐標(biāo)系，設(shè)拱橋拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，由題意，將B(4，－5)代入方程得p＝eq\f(8,5)，∴拋物線方程為x2＝－eq\f(16,5)y.∵當(dāng)船的兩側(cè)和拱橋接觸時船不能通航.設(shè)此時船面寬為AA′，則A(2，yA)，由22＝－eq\f(16,5)yA，得yA＝－eq\f(5,4).又知船露出水面上部分為eq\f(3,4)米，設(shè)水面與拋物線拱頂相距為h，則h＝|yA|＋eq\f(3,4)＝2(米)，即水面上漲到距拋物線拱頂2米時，小船不能通航.1.本題的解題關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)語言(文字、符號、圖形、字母等)表達(dá)、分析、解決問題.2.以拋物線為數(shù)學(xué)模型的實例很多，如拱橋、隧道、噴泉等，應(yīng)用拋物線主要體現(xiàn)在：(1)建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的方程.(2)利用已求方程求點的坐標(biāo).[再練一題]2.某隧道橫斷面由拋物線及矩形的三邊組成，尺寸如2-4-1圖所示，某卡車空車時能通過此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3米，車與箱共高4.5米，問此車能否通過此隧道？說明理由.圖2-4-1【解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(－3，－3)，A(3，－3).設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，將B點的坐標(biāo)代入，得9＝－2p·(－3)，∴p＝eq\f(3,2)，∴拋物線方程為x2＝－3y(－3≤y≤0).∵車與箱共高m，∴集裝箱上表面距拋物線形隧道拱頂0.5m.設(shè)拋物線上點D的坐標(biāo)為(x0，－，D′的坐標(biāo)為(－x0，－，則xeq\o\al(2,0)＝－3×(－，解得x0＝±eq\r(\f(3,2))＝±eq\f(\r(6),2).∴|DD′|＝2|x0|＝eq\r(6)＜3，故此車不能通過隧道.[探究共研型]直線與拋物線的綜合應(yīng)用探究1直線l過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F，與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB的長是多少？【提示】由拋物線的定義可知AF＝x1＋eq\f(p,2)，BF＝x2＋eq\f(p,2)，所以AB＝AF＋BF＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p.探究2斜率為k的直線l與拋物線y2＝2px(p＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB的長是多少？【提示】設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，則AB＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(x1－x22＋kx1＋m－kx2－m2)＝eq\r(1＋k2x1－x22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|.這個公式稱為弦長公式.(1)已知過拋物線y2＝6x焦點的弦長為12，則該弦所在直線的傾斜角是________.(2)求頂點在原點，焦點在x軸上且截直線2x－y＋1＝0所得弦長為eq\r(15)的拋物線方程.【導(dǎo)學(xué)號：24830049】【精彩點撥】(1)應(yīng)用焦半徑公式求解；(2)應(yīng)用弦長公式求解.【自主解答】(1)拋物線的焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0)).設(shè)直線方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，與方程y2＝6x聯(lián)立得：4k2x2－(12k2＋24)x＋9k2＝0.設(shè)直線與拋物線交點為A(x1，y1)，B(x2，y2).∴x1＋x2＝eq\f(3k2＋6,k2)，∴x1＋x2＋3＝eq\f(3k2＋6,k2)＋3＝12.∴k2＝1，∴k＝±1.故弦所在直線的傾斜角是eq\f(π,4)或eq\f(3,4)π.【答案】eq\f(π,4)或eq\f(3,4)π(2)設(shè)所求拋物線方程為y2＝ax(a≠0)①直線方程變形為y＝2x＋1②設(shè)拋物線截直線得弦長為AB，將②代入①整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，則AB＝eq\r(1＋22\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－4,4)))2－4×\f(1,4))))＝eq\r(15).解得a＝12或a＝－4.故所求拋物線方程為y2＝12x或y2＝－4x.直線與拋物線相交的弦長問題直線和拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，直線的斜率為k.(1)一般的弦長公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|.(2)焦點弦長公式：當(dāng)直線經(jīng)過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點時，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.(3)求弦長時，為簡化計算常常借助根與系數(shù)的關(guān)系，這樣可以避免分別求x1，x2的麻煩，如果是利用弦長求參數(shù)的問題，只需要列出參數(shù)的方程或不等式即可求解，而(x1，y2)或(y1，x2)一般是求不出來的.[再練一題]3.已知直線l與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，且l經(jīng)過拋物線的焦點F，A點的坐標(biāo)為(8,8)，則線段AB的中點到準(zhǔn)線的距離是________.【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)為(2,0)，直線l的方程為y＝eq\f(4,3)(x－2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)x－2，,y2＝8x，))得B點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2)).∴AB＝AF＋BF＝2＋8＋2＋eq\f(1,2)＝eq\f(25,2).∴AB的中點到準(zhǔn)線的距離為eq\f(25,4).【答案】eq\f(25,4)[構(gòu)建·體系]1.過拋物線y2＝4x的焦點作直線與拋物線相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝8，則PQ的值為________.【解析】PQ＝x1＋x2＋2＝10.【答案】102.如圖2-4-2，已知等邊三角形AOB的頂點A，B在拋物線y2＝6x上，O是坐標(biāo)原點，則△AOB的邊長為________.圖2-4-2【解析】設(shè)△AOB邊長為a，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(a,2)))，∴eq\f(a2,4)＝6×eq\f(\r(3),2)a.∴a＝12eq\r(3).【答案】12eq\r(3)3.如圖2-4-3所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在1時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬________米.【導(dǎo)學(xué)號：24830050】圖2-4-3【解析】設(shè)水面與拱橋的一個交點為A，如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A的坐標(biāo)為(2，－2).設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則22＝－2p×(－2)，得p＝1.設(shè)水位下降1米后水面與拱橋的交點坐標(biāo)為(x0，－3)，則xeq\o\al(2,0)＝6，解得x0＝±eq\r(6)，所以水面寬為2eq\r(6)米.【答案】2eq\r(6)4.設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個動點，若B(3,2)，則PB＋PF的最小值為________.【解析】將x＝3代入y2＝4x得y＝±2eq\r(3)，∵2eq\r(3)＞2，故點(3,2)在拋物線內(nèi)部.如圖，過點B作BQ垂直于準(zhǔn)線于Q，交拋物線于點P1，連P1F，由拋物線定義知P1F＝P1Q，則PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝3＋1＝4.即PB＋PF的最小值為4.【答案】45.若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準(zhǔn)線與y軸的交點，A為拋物線上一點，且AM＝eq\r(17)，AF＝3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解】設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p＞0)，設(shè)A(x0，y0)，由題知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))).∵AF＝3，∴y0＋eq\f(p,2)＝3，∵AM＝eq\r(17)，∴xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(p,2)))2＝17，∴xeq\o\al(2,0)＝8，代入方程xeq\o\al(2,0)＝2py0得，8＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.∴所求拋物線的