高等數學A-第1章-8-1(函數及其性質)

中南大學開放式精品示范課堂高等數學建設組第1章函數與極限高等數學A1.1函數及其性質

1.1.1映射1.1.2函數的概念1.1.3函數的特性1.1.4函數的運算1.1.5函數的四則運算1.1.6初等函數

1.1函數及其性質1.1.2函數的概念1.1.1映射定義單射、滿射、一一映射、可數集，算子、泛函、變換、函數逆映射與復合映射函數定義函數定義域和函數圖形表示函數關系式的方法及分段函數1.1.6初等函數1.1.5函數的四則運算復合函數1.1.3函數的特性函數的單調性函數的有界性函數的奇偶性函數的周期性1.1.4函數的運算反函數基本初等函數初等函數函數及其性質習例1-7函數及其性質1.函數的定義一、函數的概念設D是實數集，稱映射為定義在D上的函數,

通常簡記為因變量自變量數集D叫做函數f的定義域,記作，即可見,函數是從實數集到實數集的映射,其值域總在內，因此構成函數的要素是：定義域與對應法則單值函數與多值函數如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數；否則叫做多值函數．只有一個自變量的函數，稱為一元函數.故若兩個函數的定義域相同,對應法則也相同,則這兩個函數就是相同的,否則就是不同的.

表示函數的記號是可以任意選取的,除了常用的外,還可以用其他的英文字母或希臘字母,比如“、

、”等，相應的函數可記為f判斷函數f與g是否是同一函數？(2)自然定義域.理論研究中,對應法則是用數學公式表示的函數,這種函數的定義域是使數學公式有意義的自變量的所有值構成的實數集.即當函數由公式（表達式）給出時，使公式有意義的自變量的取值范圍就是函數的定義域.如：分式的分母不為0；(3)定義域的表示法：不等式法，集合法，區(qū)間法，敘述法與圖示法.2.函數定義域的確定(1)由實際問題決定.區(qū)間:是指介于某兩個實數之間的全體實數.這兩個實數叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.鄰域:例

求函數的定義域解：所以函數的定義域為(1,2].3.函數的圖形4.分段函數對于自變量的不同值（或在不同區(qū)間上），函數的表達式不同，這種函數稱為分段函數.(1)絕對值函數(2)符號函數11xyo(3)取整函數y=[x][x]表示不超過x的最大整數

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo(4)Dirichlet(狄利克雷)函數有理數點無理數點?1xyo(5)取最值函數yxoyxo(6)整標函數以自然數為自變量的函數:圖形為一些離散的點構成.二、函數的特性1.函數的單調性則稱f(x)在I上嚴格單調上升或嚴格單調遞增（嚴格單調下降或嚴格單調遞減）.則稱f(x)在I上單調上升或單調遞增(單調下降或單調遞減).單增和單減的函數統(tǒng)稱為單調函數，I稱為單調區(qū)間.由有限個單調函數組成的函數，稱為分段單調函數.如2.函數的有界性通常函數的有界性與區(qū)間有關，3.函數的奇偶性偶函數圖形關于y軸對稱yxox-x奇函數圖形關于原點對稱yxox-x注意：(1)若f(x)的定義域關于原點不對稱，則f(x)一定不是奇函數或偶函數.即f(x)可表示為一個偶函數與一個奇函數之和.

(3)奇偶函數的性質偶函數的和與差仍是偶函數，奇函數的和與差仍是奇函數；兩個奇（或偶）函數的商是偶函數；奇函數與偶函數的積（或商）是奇函數；有限個偶函數的積仍是偶函數；偶數個奇函數的積是偶函數.4.函數的周期性任一周期函數都有無窮多個周期.若在無窮多個周期中，存在一個最小的正數，則這個正數稱為最小正周期，簡稱周期.并非所有周期函數都有最小正周期,如Dirichlet函數容易驗證這是一個周期函數,任何正有理數都是它的周期,因為不存在最小的正有理數,所以Dirichlet函數沒有最小正周期.三、函數的運算1.反函數

定義：注意：(1)反函數的定義域和值域恰好是原來函數的值域和定義域.DWWD設函數是單射，則它存在逆映射,稱此映射為函數的反函數.亦即(2)直接函數與反函數的圖形關于y=x對稱.反函數的求法：(1)一般先從方程y=f(x)中解出x,然后再將所得結果中的

x與y互換位置即可;(2)對分段函數,只要分段求出反函數便得.(3)反函數的對應法則是完全由原函數的對應法則所確定.2.復合函數

定義：注意：(2)復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成.即不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的.

復合函數的求法：(1)對于非分段函數常用直接代入的方法；(2)對于分段函數常用討論的方法.

四、函數的四則運算

函數的四則運算

這四種運算稱為函數的四則運算.設函數的定義域分別為，則可以定義這兩個函數的下列運算:和差積商五、初等函數1.基本初等函數(1)常數函數(2)冪函數(3)指數函數(4)對數函數(5)三角函數正弦函數余弦函數正切函數余切函數正割函數余割函數(6)反三角函數冪函數,指數函數,對數函數,三角函數和反三角函數統(tǒng)稱為基本初等函數.基本初等函數2.初等函數由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.并非所有的函數都是初等函數,分段函數一般不是初等函數.但也有例外!3.雙曲函數與反雙曲函數------都是初等函數.六、函數及其性質——舉例

解：解：由此可求得x的取值范圍，即為定義域.解：易知該函數的定義域為：解：解：因為所以證明：兩式聯(lián)立可求得，證明：