高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)模型及其應(yīng)用 高質(zhì)作品_第1頁
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文檔簡介

3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例第一課時教學(xué)目標(biāo)知識與技能:(1)通過實例“汽車的行駛規(guī)律”,理解一次函數(shù)、分段函數(shù)的應(yīng)用,提高學(xué)生的讀圖能力.(2)通過“馬爾薩斯的人口增長模型”,使學(xué)生學(xué)會指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用,了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用.過程與方法:在實際問題的解決中,發(fā)展學(xué)生科學(xué)地提出問題、分析問題的能力,體會數(shù)學(xué)與物理、人類社會的關(guān)系.情感、態(tài)度與價值觀:通過學(xué)習(xí),體會數(shù)學(xué)在社會生活中的應(yīng)用價值,培養(yǎng)學(xué)生的興趣和探究素養(yǎng).重點、難點教學(xué)重點:分段函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用.教學(xué)難點:函數(shù)模型的體驗與建立.教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入)在課本第三章的章頭圖中,有一大群喝水、嬉戲的兔子,但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋.1859年,有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且沒有兔子的天敵,兔子數(shù)量不斷增加,不到100年,兔子們幾乎占領(lǐng)了整個澳大利亞,數(shù)量達(dá)到75億只.可愛的兔子變得可惡起來,75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草,草原的載畜率大大降低,而牛、羊是澳大利亞的主要牲口.這使澳大利亞人頭痛不已,他們采用各種方法消滅這些兔子,直至二十世紀(jì)五十年代,科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔,澳大利亞人才算松了一口氣.與之相應(yīng),圖中話道出了其中的意蘊:對于一個種群的數(shù)量,如果在理想狀態(tài)(如沒有天敵、食物充足等)下,那么它將呈指數(shù)增長;但在有限制的環(huán)境中,種群數(shù)量一般符合對數(shù)增長模型.上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了不同的函數(shù)模型的增長差異,這一節(jié)我們將進(jìn)一步討論不同函數(shù)模型的應(yīng)用.思路2.(直接導(dǎo)入)上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了不同的函數(shù)模型的增長差異,這一節(jié)我們將進(jìn)一步討論不同函數(shù)模型的應(yīng)用.推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))提出問題(1)我市有甲、乙兩家乒乓球俱樂部,兩家設(shè)備和服務(wù)都很好,但收費方式不同.甲家每張球臺每小時5元;乙家按月計費,一個月中30小時以內(nèi)(含30小時)每張球臺90元,超過30小時的部分每張球臺每小時2元.小張準(zhǔn)備下個月從這兩家中的一家租一張球臺開展活動,其活動時間不少于15小時,也不超過40小時.設(shè)在甲家租一張球臺開展活動x小時的收費為f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一張球臺開展活動x小時的收費為g(x)元(15≤x≤40),試求f(x)和g(x).(2)A,B兩城相距100km,在兩地之間距A城xkm處的D地建一核電站,給A,B兩城供電,為保證城市安全.核電站距城市的距離不得少于10km.已知供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比,比例系數(shù)λ=.若A城供電量為20億度/月,B城為10億度/月.把月供電總費用y表示成x的函數(shù),并求定義域.(3)分析以上實例屬于那種函數(shù)模型.討論結(jié)果:(1)f(x)=5x(15≤x≤40);g(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(90,15≤x≤30,,2(x-30)+90,30<x≤40.))(2)y=5x2+eq\f(5,2)(100—x)2(10≤x≤90).(3)分別屬于一次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型、二次函數(shù)模型.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))例1一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時間的關(guān)系如圖1所示.圖1(1)求圖1中陰影部分的面積,并說明所求面積的實際含義;(2)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km,試建立行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s(km)與時間t(h)的函數(shù)解析式,并作出相應(yīng)的圖象.活動:學(xué)生先思考討論,再回答.教師可根據(jù)實際情況,提示引導(dǎo).圖中橫軸表示時間,縱軸表示速度,面積為路程;由于每個時間段速度不同,汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s(km)與時間t(h)的函數(shù)為分段函數(shù).解:(1)陰影部分的面積為50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.陰影部分的面積表示汽車在這5小時內(nèi)行駛的路程為360km.(2)根據(jù)圖1,有s=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50t+2004,0≤t<1,,80(t-1)+2054,1≤t<2,,90(t-2)+2134,2≤t<3,,75(t-3)+2224,3≤t<4,,65(t-4)+2299,4≤t≤5.))這個函數(shù)的圖象如圖2所示.圖2變式訓(xùn)練電信局為了滿足客戶不同需要,設(shè)有A,B兩種優(yōu)惠方案,這兩種方案應(yīng)付話費(元)與通話時間(分鐘)之間關(guān)系如圖3所示(其中MN∥CD).(1)分別求出方案A,B應(yīng)付話費(元)與通話時間x(分鐘)的函數(shù)表達(dá)式f(x)和g(x);(2)假如你是一位電信局推銷人員,你是如何幫助客戶選擇A,B兩種優(yōu)惠方案的?并說明理由.圖3解:(1)兩種優(yōu)惠方案所對應(yīng)的函數(shù)解析式:g(x)=(2)當(dāng)f(x)=g(x)時,eq\f(3,10)x-10=50,∴x=200.∴當(dāng)客戶通話時間為200分鐘時,兩種方案均可;當(dāng)客戶通話時間為0≤x<200分鐘,g(x)>f(x),故選擇方案A;當(dāng)客戶通話時間為x>200分鐘時,g(x)<f(x),故選方案B.點評:在解決實際問題過程中,函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用,因此,我們應(yīng)當(dāng)注意提高讀圖的能力.另外,本題用到了分段函數(shù),分段函數(shù)是刻畫實際問題的重要模型.例2人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律,可以為有效控制人口增長提供依據(jù).早在1798年,英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯,1766—1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型:y=y(tǒng)0ert,其中t表示經(jīng)過的時間,y0表示t=0時的人口數(shù),r表示人口的年平均增長率.下表是1950~1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料:年份1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)/萬人55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率(精確到1),用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型,并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符;(2)如果按表的增長趨勢,大約在哪一年我國的人口達(dá)到13億?解:(1)設(shè)1951~1959年的人口增長率分別為r1,r2,r3,…,r9.由55196(1+r1)=56300,可得1951年的人口增長率為r1≈0.同理可得,r2≈0,r3≈9,r4≈0,r5≈7,r6≈3,r7≈6,r8≈2,r9≈4.于是,1951~1959年期間,我國人口的年平均增長率為r=(r1+r2+…+r9)÷9≈1.令y0=55196,則我國在1950~1959年期間的人口增長模型為y=551t,t∈N.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出散點圖,并作出函數(shù)y=551t(t∈N)的圖象(圖4).圖4由圖可以看出,所得模型與1950~1959年的實際人口數(shù)據(jù)基本吻合.(2)將y=130000代入y=551t,由計算器可得t≈.所以,如果按表的增長趨勢,那么大約在1950年后的第39年(即1989年)我國的人口就已達(dá)到13億.由此可以看到,如果不實行計劃生育,而是讓人口自然增長,今天我國將面臨難以承受的人口壓力.變式訓(xùn)練一種放射性元素,最初的質(zhì)量為500g,按每年10%衰減.(1)求t年后,這種放射性元素質(zhì)量ω的表達(dá)式;(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式,求這種放射性元素的半衰期(剩留量為原來的一半所需的時間叫做半衰期).(精確到.已知lg2=0,lg3=1)解:(1)最初的質(zhì)量為500g.經(jīng)過1年后,ω=500(1-10%)=500×;經(jīng)過2年后,ω=500×(1-10%)=500×;由此推知,t年后,ω=500×.(2)解方程500×=250,則=,所以t=eq\f(lg,lg=eq\f(-lg2,2lg3-1)≈(年),即這種放射性元素的半衰期約為年.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié))):本節(jié)重點學(xué)習(xí)了函數(shù)模型的實例應(yīng)用,包括一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等;另外還應(yīng)關(guān)注函數(shù)、方程、不等式之間的相互關(guān)系.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè))):課本習(xí)題3.2A組5,6.課后思考題:某家電企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析,決定調(diào)整產(chǎn)品的生產(chǎn)方案:準(zhǔn)備每周(按120個工時計算)生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱共360臺,且冰箱至少生產(chǎn)60臺.已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺所需工時和每臺產(chǎn)值如下表:家電名稱空調(diào)彩電冰箱每臺所需工時eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,4)每臺產(chǎn)值(千元)432問每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱各多少臺,才能使周產(chǎn)值最高?最高產(chǎn)值是多少?(以千元為單位)解:設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱分別為x臺、y臺、z臺,每周產(chǎn)值為f千元,則f=4x+3y+2z,其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y+z=360,,\f(1,2)x+\f(1,3)y+\f(1,4)z=120,,x≥0,y≥0,z≥60,))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②,③))由①②可得y=360-3x

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