四升五年級奧數(shù)教案

第一講探尋規(guī)律解決問題知識引領?探尋給定事物中隱含的規(guī)律，在分析、猜想、歸納中尋求最佳的解決問題的策略.經(jīng)典題例?例1如下表，表格中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，按此規(guī)律在空格處填上相應的數(shù).解析觀察規(guī)律5X2—3=7,7X211解析觀察規(guī)律5X2—3=7,7X2111935行—3=11,11X2—3=19,19X2—3=35,…，得出規(guī)律為an+1=2an—3,這樣空格處的數(shù)應為35X2—3=67,67X2—3=131.例2如圖，填在圖中三個正方形內(nèi)的數(shù)有相同的規(guī)律，請你找出它們的規(guī)律，填出BC,然后確定A,那么A是幾？解析觀察前面兩個任方形內(nèi)有3<2?續(xù)2自然數(shù)，那的三3解析觀察前面兩個任方形內(nèi)有3<2?續(xù)2自然數(shù)，那的三3正方形也有這樣的規(guī)律，所以，B=4,又發(fā)現(xiàn)前面兩+4)=35.例3計算：+4+3—2—1C=5.3不正方形內(nèi)左是右下角的數(shù)乘以另兩數(shù)和的積，則A=5X(32000十1999—1998—1997+1996+1995—1994—19934?+8+7—6—5解析算式中共有2000個數(shù)相加減，規(guī)律是兩加兩減，根據(jù)算式和數(shù)的特征，正好把這2000年數(shù)按照每4個數(shù)(兩加兩減)分為一組，共可分為2000+4=500(組),每組的得數(shù)都是4,所以，原式的結果為500個4之和.例4自然數(shù)1,2,3,4,…排成下面的數(shù)陣：第一行第二行

第三行

第四行135第一行第二行

第三行

第四行13572468357946810那么48排在數(shù)陣的第幾行？左起第幾個位置？解析觀察這個數(shù)陣中的排列規(guī)律知：①每行的第2列數(shù)都是偶數(shù)，并且是每行序數(shù)的2倍；②每行的4個數(shù)是4個連續(xù)自然數(shù)從小到大排列的；③除2以外，其他偶數(shù)出現(xiàn)2次.那么48會在2個位置出現(xiàn)，由48+2=24,即48可能在24行左起第2個位置，也可能在第23行左起第4個位置.例5如圖，按照圖中排列的規(guī)律，問：第11行最左邊的數(shù)是幾？解析觀察圖中排列的規(guī)律，彳多出R4一行最右邊的是為“分數(shù)，恰好是行數(shù)X行數(shù).第10行最右邊數(shù)是10X1引飛2038g9匕，第11行最第3是100+1=101.應用與探究? 10111213141516第4行1.24,21,18,15,(12),(9).2.2,17,4,14,6,11,(8),(8).

3.下面方格內(nèi)都有一個數(shù)字，并且相鄰兩格內(nèi)的數(shù)相加，和都是14,這八個數(shù)的和是多少？第四個方格內(nèi)應該填的數(shù)字是幾？ (8X4+6X4=56)4.細菌第一個小時繁殖2個細菌，第二個小時繁殖3個細菌，第三個小時繁殖6個細菌,第四個小時繁殖7個細菌，第五個小時繁殖14個細菌，則第六個小時繁殖多少個細菌?第四個小時繁殖(15個)5.觀察下列數(shù)，找出規(guī)律，在括號里填上合適的數(shù)：2,6,18,54,(162)6.觀察下列數(shù)，找出規(guī)律，在括號里填上合適的數(shù)：4,6,10,18,(34).觀察下列數(shù)，找出規(guī)律，在括號里填上合適的數(shù)：1,6,5,10,9,14,(13),(18). ……第99個圖案是什么？(★).觀察下面圖中數(shù)的變化規(guī)律，在空白處填上合適的數(shù)：1o.觀察下面圖中外修牝規(guī)律26ft空白處20上合適的34組按林頰桃排列13攵到:1,1,2,1,1,2,由左至右第1o.觀察下面圖中外修牝規(guī)律26ft空白處20上合適的34組按林頰桃排列13攵到:1,1,2,1,1,2,由左至右第100個數(shù)是幾？(1)45r17^30丁27-^7

741824,3,2,1,……42812.如圖，一次智力測驗，主持人亮出四塊長方銀牌子;解：1+3+……+17+19=150?在牌子④中，空白處表示的數(shù)半破了，經(jīng)過兩分鐘還有5個沒有破，經(jīng)過兩分半鐘肥皂泡全部破了，小華在第 20次吹出100個新的肥皂泡的時候，沒有破的肥皂泡有多少個？解:100+50+5=155(個)第二講速算與巧算?知識引領?在平時的計算過程中，我們可以通過尋求運用定律和性質，進行簡算或巧算.而速算與巧算需掌握的常用方法有：分解或合并，利用特殊數(shù)，添括號或去括號等等.?經(jīng)典題例?例1計算：25X96X125解析在計算乘、除法時，我們通?？梢赃\用2X5、4X25、8X125來進行巧妙的計原式二25X4X3X8X125=(25X4)X3X(8X125)

=100X3X1000=300000例2計算：1234+3142+4321+2413解析數(shù)字1,2,3,4在個位、十位、百位、千位上均各出現(xiàn)一次.原式=1111+2222+3333+4444=1111X(1+2+3+4)=1111X10=11110例3計算：214X670+7860X67解析本題可以運用“積不變的規(guī)律”，即“一個因數(shù)擴大幾倍，另一個因數(shù)縮小相同倍數(shù)，積不變”的規(guī)律求解.原式=214X670+786X=(214+786)X670=10000X67原式=214X670+786X=(214+786)X670=10000X67=670000670=(2140+7860)X67=1000X670=670000例4用簡便方法計算：99999X77778+33333X66666解析33333X66666=33333X3X22222=99999X22222原式=99999X77778+33333X3義22222=99999X(77778+22222)=99999X100000例5計算：3+(5+7)+(7+11)+(11+15)解析觀察發(fā)現(xiàn)，算式中每個括號里的除數(shù)都是下一個括號里的被除數(shù)， 根據(jù)運算性質a+(b+c)=a+bxc,計算時可以消去括號.原式=3+5X7+7X11+11X15=3+5X15=3X15+5=9例6從1起，把奇數(shù)依次加起來，1+3+5+7+9+…一直加到第100個奇數(shù)，和是多少？解析你能從下圖中找到巧妙的計算方法嗎？+3+5+7+9=5X5=25因為33=2X2^4±3+5=3^3,J+3+5+7=4X4,…所以400個連續(xù)奇數(shù)傾口得100X業(yè)0-10000解法一第100個奇數(shù)是2X100—1=1991+3+5+7+---+199=100X100=10000解法二原式=(1+199)X100+2=10000?應用與探究?.(2002+2002)X5 (20020).4500+(25X90) (2).1+(11X111)—1111 (111).2-4+6-8+10-12+???+1998—2000+2002 (1002).2+22+222+2222+22222 (24690).33333X666.1440X572+288 (2860).327X280+6730X28 (280000)TOC\o"1-5"\h\z.8+7+9+7+11+7 (4)0.2999+999X9999 (9992000).1—2+3—4+5—6+-+99—100+101 (51)12.(48X75X81)+(24X25X27) (18)1+(2+3)+(3+4)+(4+5)+(5+6) (3)第三講應用題解法探索（假設法）?知識引領?利用題目已知條件與所求目標，分析、收集、整理題目中已有信息，探索假設某種數(shù)量關系的存在，尋求解決問題的突破口．?經(jīng)典題例?例1有四袋糖塊，其中任意三袋的總和都超過 60塊，那么這四袋糖塊的總和至少有多少塊？解析假設任意三袋糖塊的數(shù)量分別為20塊、20塊、21塊，那么另一袋至少也有 21塊．因為另一袋若小于21塊，那么任意三袋的和就不能超過 60塊．因此，這四袋糖塊的總和至少有20+20+21+21=82（塊）.答：這四袋糖塊的總和至少有 82塊．例2小宇去游山，他從東坡上山，每小時行 2千米，到山頂玩 1小時，又從西坡下山，每小時行 3千米，全程共行 19千米，共用9小時．求上山、下山的路各幾千米？解析由于小宇在山頂上玩 1小時，所以他上、下山的時間共 8小時．假設 8小時都是上山，走了2X8=16（千米），比實際少（19—16）=3（千米）.因此，下山走3+（3—2）=3（小時），下山路有3X3=9（千米），上山路有19—9=10（千米）.答：上山路有9千米，下山路有 10千米．例3某次數(shù)學競賽共 20道題，評分標準是：每做對一題得 5分，每做錯或不做一題扣1分．小剛參加了這次競賽，得了82分．問：小剛做對了幾道題？解析做錯或不做一題應少得5+1=6（分）.假設20道題全做對了，應得5X20=100（分），比實際多了（100—82）=18（分），做錯了18+6=3（道），做對了（20—3）=17（道）．答：小剛做對了17道題．例4箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的3倍多2只．每次從箱子里取出7只白球、15只紅球，如果經(jīng)過若干次以后，箱子里還剩下 3只白球、53只紅球，那么，箱子里原有紅球比白球多多少只？解析假如每次取的紅球是白球的 3倍：3X7=21（只），那么剩下的紅球應是剩下白球的3倍多2,即3X3+2=11（只）,比現(xiàn)在少53—11=42（只）,這是由于每次多取21—15=6（只）紅球，所以共取了 42+6=7（次），紅球比白球多（15-7）X7+53—3=106（只）答：箱子里原有紅球比白球多106只．例5抗日戰(zhàn)爭期間，一支敵后武工隊為了更靈活有效地打擊敵人，把 68人分成了14個戰(zhàn)斗小組，這些小組有的3人，有的5人，有的7人，而3人和5人小組的組數(shù)相同．問：三種戰(zhàn)斗小組各有幾組？解析由于3人組和5人組的組數(shù)相同，我們可以看成這些組里平均每組 4人．這樣我們就可以把分組情況分成兩類：4人組和7人組．4人組的組數(shù)為：（7X14—68）+（7—4）=10（組）于是，3人組與5人組各有10+2=5（組），7人組有14—10=4（組）.答：3人組和5人組各有5組，7人組有4組．?應用與探究?.從0~9這10個數(shù)字中選擇合適的數(shù)字填入以下方框，使等式成立，被選取的數(shù)字不能重復使用．□□□+□□□=666（127+539=666,不止一個答案）.實驗小學四年級某次數(shù)學競賽共有 20道題，規(guī)定：答對1題彳43分，答錯1題扣1分，未答的題不計分．考試結束后，東東得了41分，他想知道自己做錯了幾道題，但只記得未答的題的數(shù)目是奇數(shù)個．請你幫助東東計算一下，他答錯了幾道題？（4道）未答有幾題？（1道）.有一堆糖果，把它們5等分后還剩5顆，取其中的3份再4等分后還剩3顆，再取其中的2份5等分后還剩2顆．問：這堆糖果至少有多少顆？（50顆）.四（1）班有象棋、飛行棋共14副，恰好可供全班40名同學同時進行活動.象棋要2人下一副，飛行棋要 4人下一副，則飛行棋和象棋各有幾副？解：飛行棋：（40—28）+（4—2）=6（副），象棋：14—6=8（副）..暑期到了，四（1）班同學可以從本班圖書角借圖書，如果每個小組借5本，則最后少4本；如果前2個小組每個小組借 15本，余下每個小組借 2本，這些圖書恰好借完．則共有圖書多少本？解：［（15—2）X2+4］+（5—2）=10（組），5X10—4=46（本）..100名學生參加社會實踐，高年級學生兩人一組，低年級學生三人一組，共有41組.問：高、低年級學生各有多少人？解：高年級：［（41X3—100）+（3—2）］X2=46（人），低年級：100—46=54（人）..甲、乙兩人中有一個人來自真話村，另一個人來自謊話村，謊話村里的人從來不說真話，真話村里的人從來不說謊話．甲說：“我們兩人中至少有一個人在說謊．”誰來自真話村？（甲）誰來自謊話村？（乙）.四（1）班的同學集體去公園劃船，如果每條船坐 10人，那么多出5個座位；如果每條船少坐1人，那么正好坐滿．共需幾條船？解：5+（10—9）=5（條）.甲、乙、丙三人摘蘋果，共摘121千克.甲比乙多摘12千克，丙比乙少摘8千克.甲、乙、丙三人各摘蘋果多少千克？解：乙：（121—12+8）+3=39（千克），甲：39+12=51（千克），丙：39—8=31（千克）．0.小明和小英共有圖書45本，小英比小明少3本.兩人各有圖書多少本？解：小英：（45—3）+2=21（本），小明：45—21=24（本）..實驗小學錄取一年級新生104人，分成甲、乙兩個班，如果從甲班轉2個學生到乙班，兩班學生人數(shù)就一樣．問：甲、乙兩班原有學生各多少人？解：乙：（104—2X2）+2=50（人），甲：104—50=54（人）.12.一個書架分上、下兩層，共放有圖書 34本.如果從上層取出8本圖書放入下層，那么下層就比上層多2本．問：原來上、下兩層各有圖書多少本？解：8X2—2=14（本），下層：（34—14）+2=10（本），上層：34—10=24（本）.13.實驗小學四年級學生共植樹108棵，一班比二班多植樹11棵，三班比二班少植樹5棵．這三個班各植樹多少棵？解：二班：（108—11+5）+3=34（棵），一班：34+11=45（棵），三班：34-5=29第四講應用題解法探索（平均法）?知識引領?在日常生活中，我們會經(jīng)常遇見關于解決平均數(shù)的問題．這類問題的解決，一定要掌握涉及這類問題中的總數(shù)、份數(shù)和平均數(shù)三者之間的關系．?經(jīng)典題例?例1實驗小學有 28位女教師，平均年齡 35歲，有4位男教師，平均年齡 27歲．這些教師平均年齡是多少歲？解析要求平均年齡，先要求出所有教師的年齡總和：女教師的年齡和＋男教師的年齡和，再用年齡總和除以所有教師的人數(shù)．（35X28+27X4）+（28+4）=34（歲）答：這些老師的平均年齡是 34歲．例2小云爬山，從山腳出發(fā)，上山路長 18千米，每小時行 3千米．到山頂后沿原路下山，每小時行 6千米．問小云上山、下山的平均速度是多少？解析注意不可以用（上山速度+下山速度）+2,正確的平均速度應該等于總路程+總時間．總路=18X2=36（千米），總時間=18+3+18+6=9（小時）平均速度=36+9=4（千米/小時）答：小云上山、下山的平均速度是 4千米/小時．例3某次考試，張、王、李、陳四人的成績統(tǒng)計如下：TOC\o"1-5"\h\z張、王、李平均 91分，王、李、陳平均 89分張、陳平均 95分．問：張得了多少分？解析先求出四個人的總分再減去其余三個人的總分，就是張的成績．四人的總成績?yōu)閇（91+89）X3+95X2]+2=365（分）所以張的成績?yōu)?65—89X3=98（分）答：張得了98分．例4暑假期間，小強每天都堅持游泳，并對所游的距離做了記錄．如果他在暑假最后一天游670米，則平均每天游 495米；如果最后一天游 778米，則平均每天游 498米．如果他想平均每天游 500米，那么最后一天應游多少米？解析 因為平均每天所游的距離提高 498—495=3（米），需要多游778—670=108（米）,所以暑假一共有108+3=36（天）.如果平均每天游500米，則要在最后一天游（500—498）X36+778=850（米）.答：最后一天應游 850米．例5有兩組數(shù)，第一組16個數(shù)的和是 98，第二組的平均數(shù)是 11，兩組中所有數(shù)的平均數(shù)是8，則第二組有多少個數(shù)？解析第二組有（16X8—98）+（11—8）=10（個）答：第二組有 10個數(shù)．例6每次考試滿分是 100分，小明4次考試的平均成績是 89分，為了使平均成績盡快達到94分（或更多），他至少要再考幾次？解析小明一共還差（94—89）X4=20（分）.為了盡快使平均分達到94分，每次考試應盡可能都是滿分，這樣每次考試可多余 100—94=6（分）.由于20+6=3……2,說明至少還要考3+1=4（次）.答：他至少要再考 4次．?應用與探究?.一個同學的語文成績是85分，數(shù)學成績是93分，體育成績是92分，則他三門學科的平均成績是多少分？解：（85+93+92）+3=90（分）.植樹節(jié)10個好朋友去植樹，種兩棵樹的有2人，種三棵樹的有3人，種四棵樹的有2人，種五棵樹的有 1人，種七棵樹的有 2人．那么平均每人種了幾棵樹？解：（2X2+3X3+4X2+5X1+7X2）+（2+3+2+1+2）=4（棵）.小明語文、數(shù)學、音樂、體育四科成績的平均分是 92.5分，若已知語文、音樂、體育的成績分別為 96、95、80，那么小明的數(shù)學成績是多少分？解：92.5X4-96-95—80=99（分）.三個數(shù)的平均數(shù)是120,加上一個數(shù)后，四個數(shù)的平均數(shù)是115,加上的數(shù)是多少？解：115X4-120X3=100.30人組成的老年學習班中，老爺爺?shù)钠骄挲g是70歲，老奶奶的平均年齡是75歲.若老爺爺與老奶奶的人數(shù)相同，則他們的平均年齡是多少歲？若老爺爺是 12位，則平均年齡是多少歲？解：（70+75）+2=72.5（歲） （70 X12+75X18）+30=73（歲）.一輛汽車越過一個土丘，上坡的距離是60千米，上坡的距離是下坡距離的一半，上坡速度為30千米/小時，下坡速度是 40千米/小時，那么上、下坡平均速度是多少？解：（60+120）+（60+30+120+40）=36（千米/小時）.已知甲、乙、丙、丁四個數(shù)的平均數(shù)是 10,甲、乙的平均數(shù)是8,求丙、丁兩數(shù)的平均數(shù)．解：（10X4—8X2）+2=12.有5個數(shù)的平均數(shù)是20,如果把其中一個數(shù)改成4,這時候5個數(shù)的平均數(shù)是18.問：改動的數(shù)原來是多少？解：20X5-18X5+4=14.有7個數(shù)，它們的平均數(shù)是18.去掉一個數(shù)后，剩下6個數(shù)的平均數(shù)是19;再去掉一個數(shù)后，剩下的5個數(shù)的平均數(shù)是 20．求：去掉的兩個數(shù)分別是多少？解：18X7-19X6=12,19X6—20X5=140.原來四人小組的平均分是70分，加入一人后，平均成績提高了2分，新加入的同學成績是多少分？解：2X5+70=80（分）.已知A、B、C、DE五個數(shù)，前三個數(shù)的平均數(shù)是12,后三個數(shù)的平均數(shù)是9,中間三個數(shù)的平均數(shù)是10,那么首、尾、中間三個數(shù)（即ACE）的平均數(shù)是多少？解：因為A+B+C=12X3=36,C+計E=9X3=27,B+C+D=10X3=30,所以A+2B+3C+2D+E=93,A+C+E=93-2（B+C+D）=93—2X30=33,即ACE平均數(shù)為33+3=11.12.有7個數(shù)排成一列，它們的平均數(shù)是32,前3個數(shù)的平均數(shù)是28,后5個數(shù)的平均數(shù)是 33．求第三個數(shù)是多少？解：33X5+28X3-32X7=25第五講年齡問題?知識引領?解年齡問題往往是和差問題、和倍問題、差倍問題的綜合應用，解題分析時，一定要抓住其年齡差在幾年前或幾年后是不變的這個關鍵．?經(jīng)典題例?例1小勇比媽媽小 24歲，媽媽現(xiàn)在的年齡正好是小勇的3倍，媽媽和小勇現(xiàn)在分別是多少歲？解析題目中第一個條件是年齡差且年齡差是不變的，那么只要找到倍數(shù)差，就可以求出兩人的年齡了．而“媽媽的年齡是小勇的3倍”這個條件告訴我們，把小勇的年齡看作1倍，媽媽的年齡則為3倍，他們年齡的倍數(shù)差為3—1=2倍，所以用年齡差一倍數(shù)差就可以求出兩人的年齡分別是幾歲了．小勇的年齡：24+（3—1）=24+2=12（歲）媽媽的年齡：12X3=36（歲）答：小勇現(xiàn)在12歲，媽媽現(xiàn)在 36歲．例2王剛今年9歲，李英今年 13歲，當兩人的年齡和是 40歲的時候，王剛和李英分別是多少歲？解析題目中分別告訴我們王剛和李英的年齡，那么我們就可知王剛和李英的年齡差為13—9=4（歲）.而當他們兩人年齡和為40歲時，兩人的年齡差還是4歲.這時我們可以用和差問題的方法，來求出兩人的年齡．李英：［40+（13-9）］+2=22（歲）王剛：40—22=18（歲）答：王剛18歲，李英22歲．例3盛爺爺有三個孫子，大孫子 22歲，二孫子 20歲，小孫子 15歲．25年以后，三個孫子的年齡之和比盛爺爺那時年齡的2倍還少60歲，問盛爺爺今年多少歲？解析25年后，三個孫子的年齡和應為：22+20+15+25X3=132而那時，盛爺爺?shù)哪挲g為：（132+60）+2=96（歲）所以盛爺爺現(xiàn)在的年齡為：96—25=71（歲）答：盛爺爺今年 71歲．例4小鯨魚對大鯨魚說：“媽媽，我到您這么大時，您就 31歲啦！”大鯨魚對小鯨魚說：“我像你這么大時，你才只有 1歲呢．”問：小鯨魚和大鯨魚現(xiàn)在各多少歲？解析從小鯨魚的話中可知，大鯨魚的年齡+ （大、小鯨魚的年齡差）=31;從大鯨魚的話可知，小鯨魚的年齡—（大、小鯨魚的年齡差）=1.因此小鯨魚從 1歲開始，再加上大、小鯨魚的年齡差就成為小鯨魚現(xiàn)在的年齡，再增加一個年齡差就成為大鯨魚現(xiàn)在的年齡， 再增加一個年齡差就成為31歲了，所以（31—1）就是3個年齡差．求出了年齡差，再求大、小鯨魚的年齡也就不難了．小鯨魚：（31—1）+3+1=11（歲）大鯨魚：11+（31—1）+3=21（歲）答：小鯨魚現(xiàn)在 11歲，大鯨魚現(xiàn)在 21歲．例5甲的年齡比乙的年齡的4倍少 3．甲 3年后的年齡等于乙9年后的年齡．問：甲、乙現(xiàn)在各多少歲？解析“甲3年后的年齡等于乙9年后的年齡”表明甲比乙大 6歲．甲如果再增加 3歲，那么就是乙的年齡的4倍．問題化為“差倍問題”．年齡差：9—3=6（歲）乙的年齡：（6+3）+（4—1）=3（歲）甲的年齡：6+3=9（歲）答：甲現(xiàn)在9歲，乙現(xiàn)在 3歲．?應用與探究?.爸爸和媽媽的年齡和是69歲，十年后，爸爸比媽媽大3歲，那么爸爸現(xiàn)在多少歲？解：（69+3）+2=36（歲）.哥哥今年15歲，弟弟今年11歲，當兄弟倆歲數(shù)的和是100歲時，哥哥和弟弟分別多少歲？解：哥哥：［100+（15—11）］+2=52（歲）；弟弟：52—4=48（歲）.兒子與媽媽今年的年齡之和是42歲，6年前媽媽的年齡是兒子年齡的9倍，媽媽今年多少歲？解：兒子：（42—6X2）+（1+9）=3（歲）； 媽媽：3X9+6=33（歲）.父親與弟弟的年齡和是58歲，父親比哥哥大23歲，哥哥比弟弟大5歲，那三人的平均年齡是多少歲？解：父親：（58+23+5）+2=43（歲）；弟弟：58—43=15（歲）； 哥哥：15+5=20（歲）平均年齡：（43+15+20）+3=26（歲）.爸爸今年35歲，兒子今年11歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？解：5倍時兒子：（35—11）+（5—1）=6（歲）；11—6=5（年）.哥哥5年前的年齡等于妹妹3年后的年齡，哥哥4年后與妹妹3年前年齡的和是35歲，求哥哥、妹妹今年分別多少歲？解：哥哥：（35—4+3+8）+2=21（歲）；妹妹：21—8=13（歲）.江叔叔對小明說：“我15年前的歲數(shù)和你6年后歲數(shù)相同，7年前，我的年齡是你的年齡的8倍．”那么江叔叔今年多少歲？解：7年前小明：（15+6）+（8—1）=3（歲）；今年江叔叔：3X8+7=31（歲）.小麗今年12歲，4年前媽媽的年齡是小麗的4倍，幾年后媽媽白年齡是小麗的2倍？解：4年前媽媽：（12—4）X4=32（歲）；2倍時小麗：（32—8）+（2—1）=24（歲）；24-12=12（年）9.小唐5年前的年齡等于小勇7年后的年齡，小唐4年后與小勇3年前的年齡和是35歲，小勇今年多少歲？解：小唐：（35—4+3+12）+2=23（歲）； 小勇：23—12=11（歲）0.哥哥對弟弟說：“我像你這么大時，你才只有3歲弟弟對哥哥說：“我像你這么大時，你就 36歲了．”哥哥今年多少歲？解：（36—3）+3=11（歲） 哥哥：36-11=25（歲）第六講追及與相遇問題?知識引領?追及問題是行程問題中的一個分類，它的特點是兩個運動物體行進的方向相同，基本數(shù)量關系式：追及路程=速度差x追及時間相遇問題是行程問題中的另一個分類，它的特點是兩個運動物體進行的方向相反，要注意的是路程和兩個運動物體在同時走、同時停這段時間內(nèi)所走的路程總和．在相遇問題中，兩個物體有時做相向運動，有時做相背運動，但都是運用相同的數(shù)量關系式．路程和=速度和X相遇時間?經(jīng)典題例?例1慢車以每小時 45千米的速度從甲地開往乙地，3小時后快車以每小時 60千米的速度也從甲地開往乙地，問多少小時后快車追上慢車？解析經(jīng)過3小時，慢車已經(jīng)走了45X3=135（千米），又知道快車每小時比慢車多行60—45=15（千米）,就可以求出用多少時間可以追上 135千米.（45X3）+（60-45）=9（小時）答：9小時后快車追上慢車．例2兩輛汽車運送貨物，大卡車以每小時 36千米的速度從甲地開往乙地，2小時后小卡車以每小時 48千米的速度也從甲地開往乙地，當小卡車追上大卡車時離甲地多遠？解析要求小卡車追上大卡車時離甲地多遠，必須先求出追及時間，再用小卡車的速度乘以追及時間就可以了．追及時間為（36X2）+（48—36）=6（小時）距離為48X6=288（千米）答：當小卡車追上大卡車時離甲地 288千米．例3小雯從甲地騎自行車到乙地辦事，每小時的速度是 20千米；回來時改騎摩托車，每小時的速度是 40千米，比騎自行車少用2小時．求甲、乙兩地的距離是多少千米？解析可以把這個問題看成是一個追及問題．假設 A、B分別是騎摩托車和騎自行車去乙地，B先出發(fā)2小時，A在乙地追上B,先求出A行完全程所需要的時間，再求出兩地的距離．A從甲地到乙地所需時間為20X2+（40—20）=2（小時）兩地的距離為40X2=80（千米）答：甲、乙兩地的距離為80千米．例4甲、乙兩車分別從相距 800千米的兩地同時出發(fā)相向而行，甲車每小時行 52千米，乙車每小時行 48千米，問：（1）幾小時后兩車還相距 200千米？（ 2）幾小時后兩車相遇？（ 3）幾小時后兩車相遇又相距 400千米？解析（1）這一組題目要注意的是總路程的變化．相距 200千米，說明還有 200千米沒有行，在 800千米中必須減掉 200千米．（800—200）+（52+48）=6（小時）（2）兩車相遇，說明總路程就是 800千米．800+（52+48）=8（小時）（3）兩車相遇又相距 400千米，說明總路程除了800千米外，還必須加上又行的400千米．（800+400）+（52+48）=12（小時）答：（1）6小時后兩車還相距 200千米；（2）8小時后兩車相遇； （3）12小時后兩車又相距400千米．例5甲、乙兩人分別從 A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲每小時行 6千米，乙每小時行4千米，在離 A、B兩地中點3千米的地方相遇，求 A、B兩地的距離是多少千米？解析甲每小時的速度比乙快，因此相遇時甲一定走過中點，乙還沒有到終點，那么從出發(fā)到相遇，甲多行了 3X2=6（千米），甲比乙每小時多行6—4=2（千米），那么從出發(fā)到相遇所用的時間是6+2=3（小時），最后就可以求出A、B兩地的距離.相遇時間為（3X2）+（6—4）=3（小時）距離為（6+4）X3=30（千米）答：A、B兩地的距離為30千米．例6某小隊外出野營活動，隊伍長 800米，行進的平均速度是每分鐘60米．隊伍最前面的聯(lián)絡員用5分鐘時間跑到隊伍末尾傳達命令，聯(lián)絡員每分鐘行多少米？解析隊伍全長800米，說明聯(lián)絡員與隊尾的距離是 800米．他向隊尾傳達命令，就是聯(lián)絡員和隊尾做相向運動，即相遇問題．只要求出聯(lián)絡員與隊伍前進的速度和，再減去隊伍的前進速度就是聯(lián)絡員的速度．800+5—60=100（米/分鐘）答：聯(lián)絡員每分鐘行 100米．?應用與探究?.A、B兩地相距80米，甲在A地，乙在B地，他們同時同向出發(fā)，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，甲追上乙要用多少秒？解：80+（5—3）=40（秒）.小王和小李都在甲地，準備去乙地，小王每分鐘行 120米，小李每分鐘行150米.小王先行5分鐘后，小李才出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘后小李追上小王？解：120X5+（150—120）=20（分鐘）.兔子和烏龜在一個200米的環(huán)形跑道上賽跑，它們從同一地點同時出發(fā).烏龜每爬行5米，兔子超過它1圈．當烏龜爬完1圈時，兔子跑了多少圈？解：200+5+1=41（圈）.甲、乙兩車同時從A、B兩地相向而行，5小時相遇.甲車每小時行50千米，乙車每小時行60千米.求A、B兩地相距多少千米？解：（50+60）X5=550（千米）.甲、乙兩車從相距480千米的兩地相對開出，甲車每小時行60千米，乙車每小時行40千米．現(xiàn)要使兩車在兩地間的中點處相遇，則乙車必須先行多少小時？解：240+60=4（小時）；240+40=6（小時）；6—4=2（小時）.小健和小壯同時從A地出發(fā)到B地去，小健騎自行車每分鐘行200米，小壯騎摩托車每分鐘行700米.行車途中，小壯因修車耽擱了50分鐘，這樣兩人同時到達目的地.求A、B兩地相距多少千米？解：追及時間：200X5+（700—200）=20（分鐘）；A、B距離：700X20=14000（米）=14（千米）.甲、乙兩地相距918千米，A、B兩車同時從兩地相向而行，6小時相遇.已知A車的速度是B車的2倍，則A車每小時行多少千米？B車每小時行多少千米？解：B:918+6+（1+2）=51（千米/小時）；A:51X2=102（千米/小時）.甲、乙兩車同時從A、B兩地相對開出.第一次在離A地75千米處相遇，相遇后繼續(xù)前進到達目的地后立即返回；第二次相遇在離 B地55千米處． 求A、B兩地相距多少千米？解：75X3—55=170（千米）10.甲、乙兩列火車從相距770千米的兩地相距相向而行，甲車每小時行41千米，乙車每小時行 45千米，甲車先出發(fā)2小時后，乙車才出發(fā)．乙車行幾小時后與甲車相遇？解：770—41X2=688（千米）；688+（41+45）=8（小時）11.甲、乙兩人騎車同時從環(huán)形公路的某點出發(fā)，背向而行.已知甲騎一圈要 48分鐘,出發(fā)后32分鐘兩人相遇．問乙騎一圈要多少分鐘？解：48—32=16（分鐘）；48-16X32=96（分鐘）12.甲、乙、丙三人，甲每分鐘走100米，乙每分鐘走80米，內(nèi)每分鐘走75米.甲從東村，乙、丙從西村同時出發(fā)相向而行．途中甲與乙相遇后3分鐘又與丙相遇．問東、西村的距離是多少米？解：甲、乙相遇時，丙與他們之間的距離： （100+75）X3=525（米）甲、乙相遇時間為：525+（80—75）=105（分鐘）東、西村距離為：（100+80）X105=18900（米）第七講植樹問題?知識引領?植樹問題是關于全長、株距間隔距離和棵數(shù)之間關系的應用題．在解題時，只要知道其中兩個量就可以求出第三個量．解決植樹問題首先要考慮植樹的路線，其次要弄清植樹的具體要求．?經(jīng)典題例?例1圓形溜冰場周長是 400米，每隔20米裝一盞燈，再在相鄰兩盞燈之間放 3盤花，問共需要裝幾盞燈、放幾盆花？解析圓形溜冰場周長400米，按每20米為一段，可以分成 20段，分成的段數(shù)就是需要裝燈的盞數(shù)．同時，因為每段內(nèi)放 3盆花，所以花的盆數(shù)就是段數(shù)的3倍．裝燈400+20=20（盞）放花3X（400+20）=3X20=60（盆）答：共需要裝20盞燈、放60盆花．例2兩幢教學大樓相距 100米，現(xiàn)在要在兩幢樓房之間每隔10米種一棵樹，需要種多少棵？解析兩幢教學樓之間相距 100米，按10米為一段，可以分為10段．由于是在兩幢房子之間，等于是兩端都不需要種樹，所以種的棵數(shù)比段數(shù)少1.需要種樹100+10—1=9（棵）.答：需要種9棵樹．例3實驗小學進行春季運動會入場式，四年級有運動員124人，排成4路縱隊，前后每行間隔為2米，主席臺長 20米．他們以每分鐘40米的速度通過主席臺，需要多少分鐘？解析這道題目其實是植樹問題的變式題，可以用植樹問題的思考方式來解決．124名運動員排成 4路縱隊（每 4人為一行），可以求出這列隊伍共有多少行（相當于種的棵樹）．前后間隔2米（相當于每 2棵樹之間的距離），這樣就可以求出入場式隊伍的全長，再用入場隊伍的全長加主席臺的長度，就是每個運動員通過主席臺所走的路程，然后用路程除以運動員行進的速度，可以求出所用的時間．2X（124+4—1）=60（米）（60+20）+40=2（分鐘）答：需要2分鐘．例4盛爺爺飯后有散步的習慣，一天他以均勻的速度在馬路旁散步．從第1棵樹走到第13棵樹用了12分鐘（每棵樹之間的距離相等），盛爺爺又向前走了幾棵樹后就往回走了．當他走到第5棵樹時，共用了50分鐘，問盛爺爺是走到第幾棵樹時往回走的？解析盛爺爺從第 1棵樹走到第13棵樹，就等于走了12個間隔，共用了12分鐘，也就是盛爺爺走一個間隔用了1分鐘．由于回到第 5棵樹時，盛爺爺一共用了50分鐘，那么如果盛爺爺回到起點的話，就要再多走4個間隔，多用4分鐘．那么盛爺爺走一個來回一共要用54分鐘，即一個全程就是27分鐘，走了27個間隔．說明一個全程里有 28棵樹，也就是盛爺爺走到第28棵樹時往回走的．12+03—1）X（50+4）=54（分鐘）54+2=27（個）27+1=28（棵）答：盛爺爺是走到第28棵樹時往回走的．例5在一根長100厘米的木棍上，由左至右每隔6厘米染一個紅點．同時，由右至左每隔5厘米染上一個紅點，然后沿紅點處將木棍逐級鋸開，那么長度是 4厘米的木棍有幾根？解析由于5能整除 100，所以每隔 5厘米的紅點從右往左染和從左往右染都相同．又由于5與6的最小公倍數(shù)是 30，而每30厘米中有2根4厘米的小木棍，那么由100+30=3……10,可知從左至右30X3=90（厘米）的木棍可鋸出2X3=6（根）4厘米長的小木棍，余下10厘米還可鋸出1根4厘米長的小木棍，所以共有6+1=7（根）.答：長度是4厘米的木棍有 7根．?應用與探究?.在一條路的一邊插彩旗，從頭到尾一共插了 45面旗，每相鄰兩面旗之間相距5米，那么這條路長多少米？解：5X（45—1）=220（米）.在一條長42米的街道兩邊，每隔6米種一棵樹（兩端各種一棵），一共需要種多少棵樹？解：42+6+1=8（棵）；8X2=16（棵）.在一條長100米的小道一邊擺花盆，起點和終點都擺，一共擺了 26盆，相鄰兩盆花之間的距離相等，那么相鄰兩盆花之間相距多少米？解：100+（26—1）=4（米）.在A、B兩城安排一班長途車，每隔5千米設一個站，AB兩城間共設了9個站，那么A、B兩城多少千米？解：5X（9+1）=50（千米）.在一條路的一邊每隔8米放一盆花，連兩端在內(nèi)共放了16盆.現(xiàn)在拿走花盆，種植松樹，連兩端在內(nèi)共種了 7棵，問相鄰兩棵松樹相距多遠？解：8X（16—1）=120（米）；120+（7—1）=20（米）.同學們種樹，每6棵樹間的總長是10米.照這樣計算，種200棵樹的距離是多少米？解：10+（6—1）=2（米）；2X（200—1）=398（米）；.一個車隊以5米/秒的速度緩緩地通過一座210米長的大橋，共用100秒.已知每輛車長5米，兩車之間相隔10米，那么這個車隊共有多少輛車？解：100X5—210=290（米）；（290+10）+（10+5）=20（輛）.有一根180厘米長的繩子，從一端開始每隔3厘米作一記號，每隔4厘米也作一記號，然后將標有記號的地方剪斷，繩子共被剪成幾段？解：180+3=60（段）；180+4=45（段）；180+12=15（段）；60+45—15=90（段）.某班同學在軍訓隊列表演中恰站成一個雙層空心方陣，外層的每邊站了 9個同學.若讓這個班同學在一條 250米長的筆直馬路上站崗，從一端開始每隔5米站一人，則站滿后還剩下多少人？解：（9X4—4）+（7X4—4）=56（人）；250+5+1=51（人）；56—51=5（人）10.48棵樹排成一個正六邊形，每條邊上的棵數(shù)都相等，每條邊上有多少棵樹？解：（48+6）+6=9（棵）第八講雞兔同籠問題?知識引領?解答雞兔同籠的問題通常是用假設法，首先要對題目中的條件進行分析，找出題目中哪一個量相當于兔，哪一個量相當于雞，雞兔的總只數(shù)和總腳數(shù)各是多少，再根據(jù)基本數(shù)量關系進行推算，使問題得以解決．它的基本數(shù)量關系式是：雞的只數(shù)=（每只兔的腳數(shù)x雞兔總數(shù)一實際腳數(shù) ）+（每只兔的腳數(shù)一每只雞的腳數(shù)）兔的只數(shù)=（實際腳數(shù)一每只雞的腳數(shù)X雞兔總數(shù) ）+（每只兔的腳數(shù)一每只雞的腳當然，這只是一個最基本的模型，真正在解題時還要依據(jù)實際的情況去具體分析．?經(jīng)典題例?例1籠子里雞和兔共 8只，共有22條腿，雞、兔各有幾只？解析假設8只全是兔，那么共有腳4X8=32（只），這樣就比實際多出32—22=10（只）腳.這是因為把雞當作兔子來算每只多算了4-2=2（只）腳,那么10只腳應該是10+2=5（只）雞多算的，因此雞有5只，兔有8—5=3（只）.答：雞有5只，兔有3只．例2特長學校舉行數(shù)學競賽，試題共有 10道，每做對一題得8分，每做錯一題倒扣5分．小強得了41分，他做對了多少道題？解析假設小強做對10題，則最終得分為10X8=80（分），比實際得分41分多得39分，這多得的39分是把其中做錯的題換成做對的題而得到的．每把一道做錯的題換成做對的題，得分就從倒扣5分變成得8分，所以總得分增加了8+5=13（分），所以做錯的題為39+13=3（道）.小強做對了10—（10X8—41）+（5+8）=7（道）.答：他做對了7道題．例3老師和學生 100人共種了100棵樹，已知老師一個人種4棵，學生4個人種1棵，那么老師和學生各有多少人？分別種了多少棵樹？解析假設100人都是老師，那么共種樹4X100=400（棵），比實際多種了400-100=300（棵）.為什么多出了300棵呢？這是因為把其中的學生當成老師了， 現(xiàn)在調(diào)整回去，每次把4個學生換成4個老師，所種樹的棵數(shù)就多了4X4—1=15（棵），所以，這多出的300棵樹，需要換300+15=20（次），所以換成老師的學生數(shù)為4X20=80（人），80名學生共種樹80+4=20（棵），老師人數(shù)是100—80=20（人）,20名老師共種樹20X4=80（棵） ．答：老師有20人，種了80棵樹；學生有 80人，種了20棵樹．例4買來5元、1元和8角的郵票共 15枚，總價是 30.2元，其中5元和8角的郵票枚數(shù)相等，三種郵票各有多少枚？解析假設15枚全部是1元（即10角）的郵票，那么總價應該是10X15=150（角），比實際302角少了302—150=152（角）.由于5元與8角的郵票枚數(shù)相等，因此每次可以用1枚5元和1枚8角來換2枚10角的郵票，這樣每換一次可以補上50+8-10X2=38（角），可見替換152+38=4（次）就可補足少掉的152角，所以5元和8角的郵票各有4枚．答：5元的郵票有 4枚，1元的郵票有 7枚，8角的郵票有 4枚．例5老師發(fā)給甲班每人 4張白紙，乙班每人 3張白紙，共發(fā)白紙 716張；若發(fā)給甲班每人3張白紙，乙班每人 4張白紙，則共發(fā)白紙 705張．問甲、乙兩班各有多少人？解析甲班與乙班人數(shù)之差是716—705=11（人）甲班的人數(shù)是（3X11+716）+（3+4）=107（人）乙班的人數(shù)是107—11=96（人）答：甲班有107人，乙班有 96人．?應用與探究?.今有雞兔同籠，共有35個頭，94只腳，則雞和兔各多少只？解：兔：（94-35X2）+（4—2）=12（只）；雞：35—12=23（只）.松鼠媽媽采松子，晴天每天可采20個，雨天每天可采12個，它一連幾天采了112個松子，平均每天采 14個，這幾天當中的雨天有多少天？解：20X（112+14）—112=48（個）；48+（20—12）=6（天）

.一張桌子4條腿，一個洗臉盆架3條腿，現(xiàn)在有桌子和洗臉盆架共100個，合計有340條腿，桌子和洗臉盆架各有多少個？解：桌子：（340—100X3）+（4—3）=40（張）；盆架：100—40=60（個）.把155米長的電線剪成25根，一部分電線每根長5米，另一部分電線每根長8米，則8米和5米長的電線各有多少根？解：8米：（155—25X5）+（8—5）=10（根）；5米：25—10=15（根）.停車場共有汽車和摩托車24輛，其中每輛汽車有4個輪子，每輛摩托車有2個輪子，所有車車B共有68個輪子，那么汽車和摩托車各有多少輛？解：汽車：（68-24X2）+（4—2）=10（輛）； 摩托車：24—10=14（輛）.2分硬幣和5分硬幣共23枚，合計85分，那么2分、5分硬幣各幾枚？解：5分：（85—23X2）+（5—2）=13（枚）；2分：23—13=10（枚）.雞、兔共有66只腳，若將雞數(shù)與兔數(shù)互換，則共有60只腳，則原來有雞和兔各多少只？解：（66+60）+（2+4）=21（只）；雞：（21X4—66）+（4—2）=9（只）；兔：21—9=12（只）.五年級進行數(shù)學比賽，規(guī)定答對一題得 5分，錯一題扣2分，共20道題，小江得了86分，他答對了多少道題？解：答錯：（20X5—86）+（5+2）=2（道）；答對：20—2=18（道）.特長學校100個學生參加數(shù)學競賽，平均得分63分，其中男生平均分為60分，女生平均分為70分，男生比女生多多少人？解：63X100-60X100=300（分）；女：300+（70—60）=30（人）；男：100—30=70（人）多：70—30=40（人）10.英語競賽有20道題，做對一道得7分，做錯一道倒扣去4分，不答0分，小宇得了100分，他有幾道題沒答，幾道題答錯？解：20X7—100=40（分）；40—7=33=11X3;（有1道題沒答，3道題答錯）第九講長方形的面積?知識引領?長方形和正方形是我們所認識的基本幾何圖形，計算它們的面積也是數(shù)學學習中幾何方面的重要內(nèi)容.掌握好這部分知識，也為我們將來學習其他幾何圖形做好必要的準備.在解這類題目時，要注意以下幾點：1、能熟練運用長方形和正方形的面積公式進行解題；2、能夠將長方形、正方形的面積與周長相逆運算；3、能夠利用長方形的特性來幫助解題，會運用簡單的分割方法.?經(jīng)典題例?例1一個長方形的長增加3米，長方形的面積就增加了12平方米.如果寬減少2米,長方形的面積就減少14平方米.問原來長方形面積是多少平方米？解析根據(jù)題意，將原來的長方形的長和寬分別變化，畫圖來幫助分析:從圖A中反映了長方形的長增加3米，面積就增加了12平方米，可用12+3求出原來長方形的寬是4米；從圖Ba裝映了長方形的寬減少2米，面積就減少了14平方米，可用可+2可用可+2求出原來長方形的長7H7米.知道了長方形的長和寬，就可以求出原來長方形的面積:（12+3）X04+2）=28（平方米）例2如圖，用四個相同的小長方形拼成一個面積為 100平方厘米的大正方形，每個,大正方形的邊長為x.,大正方形的邊長為x.由題意知x12=解析假設每個小長方形的長、寬分［外為100,則x=10.由圖可知a+b=x,要求小長方形周長，就是求2（a+b）,所以每個小長方形的周長是2X10=20（厘米）.個力、長方形,這些小長方形的周長的總和是96厘例3個力、長方形,這些小長方形的周長的總和是96厘解析所有小長方形周長和是由外面的4條正方形邊長再加上中間4條正方形的邊長（分別算了2次）組成的.正方形邊長是96+（4+4X2）=8（厘米）面積是8X8=64（平方厘米）例4如圖C所示，有兩個正方形，大小兩個正方形對應邊的距離均為 1厘米.如果兩個正方形之間部分的面積是20平方厘米，那么小正方形的面積是多少平方厘米？C D解析本題關鍵是要求出圖中小正方形的邊長.因為已知兩個正方形之間部分的面積是20平方厘米，所以就要把兩個正方形之間部分進行分割，如圖 D.把兩個正方形之間部分分割成相等的4塊，每塊的長是小正方形邊長加上1厘米，寬是1厘米，所以小正方形的邊長是20+4+1—1=4（厘米），小正方形的面積是4X4=16（平方厘米）.例5有9個小長方形，它們的長和寬分別相等.用9個這樣的小長方形拼成的大長方形（如圖）的周長是58厘米，問這個大長方形的面積是多少平方厘米？解析要求得大長方形的面積，首先要知道小長方形的長和寬，才能求出小長方形的面積，最后求出大長方形的面積.通過對圖形的觀察，可以發(fā)現(xiàn)大長方形的兩條長，分別相當于4條小長方形的長之和、5條小長方形的寬之和，得到一個等式：4長=5寬.又因為大長方形的周長是58厘米，通過圖形觀察，可以得到大長方形的周長是由 6條小長方形的長和7條小長方形的寬組成，得到一個等式：6長+7寬=58.現(xiàn)在將這兩個等式分別擴大3倍和2倍，得12長=15寬，12長+14寬=116.通過代換法可以得到：15寬+14寬=116,寬=4,則長=5X4+4=5.由于大長方形的面積是由9個小長方形的面積組成，所以具體列式是5X4X9=180（平方厘米）.例6如圖，正方形ABCD4長是10厘米，長方形EFGH勺長為8厘米、寬為5厘米.問陰影部分甲與陰影部分乙的面積差是多少平方厘米？方?應用與探究?方?應用與探究?A解析設正方形ABCD勺面積為c,則陰影部分的面積差是（a—c）面積大小無關，應等于正方形ABC10XBD|EMGHgB^H為b,重疊部分EFNM勺面積為羽影部分的面積差與重疊部分的 勺面積之差.（平方SG）C解：長：100+2—15=35（厘米）；S=35X15=525（平方厘米）.如果一個正方形的一組對邊的長各增加3厘米成為長方形，面積就增加24平方厘米,則原來的正方形面積是多少平方厘米？解：24+3=8（厘米）；S=8X8=64（平方厘米）.兩個大小相同的正方形拼成一個長方形后，周長比原來的兩個正方形周長的和減少了6厘米，那么長方形的面積是多少平方厘米？解：S=6X3=18（平方厘米）.一個正方形與一個長方形的周長相等，長方形長與寬的和是 14分米，則正方形的面積是多少平方分米？解：邊長：14X2+4=7（厘米）； S=7X7=49（平方厘米）.兩個正方形的邊長相差8厘米，面積相差96平方厘米，這兩個正方形邊長分別是多少厘米？解：96—8X8=32（平方厘米）；小邊長：32+2+8=2（厘米）；大邊長：2+8=10（厘米）7.有兩張同樣大小的長方形紙片，長15厘米，寬4厘米.把它們按下圖所示的方法疊合貼在一起，形成“十”字圖形，它的面積是多少平方厘米?解：S=15X4—4X4=104（平方厘米;解：S=15X4—4X4=104（平方厘米;8.把長方形的長去掉5厘米，寬去掉p2■厘原長方形的面積少66平方厘米，求原長I方形的面ffiJ一個正方形，這個正方形的面積比積是少少平方厘米?解：設正方形邊長為a,解：設正方形邊長為a,則2a+5（a+2）=66（平方厘米） I—a=8(厘米)，S=(8+2)X(8+5)=1309.下圖是由6個相等的三角形拼成的圖形，求這個圖形的面積是多少?解：6X6+4=9（平方分米）；S解：6X6+4=9（平方分米）；S=9X2+36=54（平方分冰10.有一大一小兩個正方形，它們的周正方形的面積是多少平方分米？解：32—2X2=28（平方厘米）；方厘米）8米，且面積相差32平方分米，小的6分米小邊長：32+2+2=7（厘米）；S=7X7=49（平第十講圖形的拼割與計算?知識引領?圖形的拼切就是把一個圖形分成若干塊，然后再拼成一個很規(guī)則的圖形.圖形在拼切的過程中，面積大小是不變的.利用面積大小的逐推是一種解題的良好方式，利用圖形的對稱性進行拼切也是一種常用的好方法.在拼切的過程中，除了要考慮圖形本身的特征外，還要學會采用旋轉分割的方法，而且要綜合考慮切割后的圖形形狀逐步思考.增強對圖形的直觀感覺與判斷能力，是圖形拼切的基礎.?經(jīng)典題例?例1把一個正方形切割成四個完全相同的部分，有幾種不同的切割方法？解析根據(jù)條件，首先可以考慮到一些比較常規(guī)的切割方法，如圖：但是，通過觀察，四個圖形分割的線段，總有一條線段或一條以上線段通過正方形的中心.那么這道題的切割過程，必定有切割線段經(jīng)過正方形中心，這樣還有以下的割法：因為正方形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，按照下圖中的切割手段，將兩條互相垂直的線段，圍繞正方形的中心進行旋轉，可以得到無數(shù)種的分割方法.

例2如圖A,這是一個4X4的正方形，共有16個小方格，分別寫有☆、△、。、?四種圖形各4個.現(xiàn)在要把它們分成形狀、大小都一樣的四塊，并且每一塊都要有☆、△、。、?各一個，應該怎樣劃分？A B解析根據(jù)題意，把這個正方形分割成形狀大小都一樣的四塊，由于所寫的圖形打亂分散在各個位置上，如果用直線分割（即4個一排或一列）的方法進行是不可能的，那么分割過程中必定要考慮旋轉分割（即橫、豎都有的圖形）的方法.如圖 B.例3用24塊面積都是1平方分米的木塊拼成的長方形（不含正方形）中，最小的周長是多少分米？解析面積一定，長方形的長與寬越接近，周長越小，因此拼成的長方形中，長為6分米，寬為4分米時，周長最小.最小的周長是（6+4）X2=20（分米）.例4有一塊長48分米、寬30分米的長方形地毯，現(xiàn)在把它鋪到長40分米、寬36分米的房間中，怎樣拼割使其正好鋪滿房間.解析首先考慮地毯的面積48X30=1440（平方分米），而房間面積是40X36=1440（平方分米），兩個面積相等，可以正好鋪滿房間.根據(jù)題意，地毯的長是48分米，而房間的寬是36分米，可以考慮將它們等分成長度一樣的一小塊，這一小塊的長是12分米，則地毯的長分成4份、房間的寬分成3份.同樣的道理，可以把地毯的寬分成3份、房間白寬分成4份.如圖C分割，如圖D拼接.C D例5將下圖分成兩塊，然后拼成一個正方形.解析圖中共有小正方形16個，把它分割后拼成的正方形，它的邊長是4個小正方形，所以根據(jù)這個特征進行分割，橫行4個小正方形可以滿足.因為橫行共有5個小正方形，而豎列也是4個小正方形，必須將分割的一塊往下移1個小正方形的位置.還有根據(jù)E,拼接如圖E,拼接如圖.在一個9X9的方格表中畫一條直線，最多可穿過多少個方格？ （9個）.把一個正方形分割成4個形狀相同、大小相等的圖形，共有幾種不同的分割方法？請你畫出其中的六種來..把下圖中的等邊三角形分割成9塊形狀、大小都相同的圖形..如圖，一塊長方形地被兩條直線截成四塊，其中三塊長方形的面積是 20平方米、24平方米、30平方米，問第四塊面積是多少平方米？ （25平方米）.把下圖中的等邊三角形分割成8塊.把下圖的兩個正方形分割成6個或.用四塊直角邊是3和.把下圖中的等邊三角形分割成8塊.把下圖的兩個正方形分割成6個或.用四塊直角邊是3和4,斜邊是5形狀、大艙B相同的圖形.圍成一個正方形，這個正方形的面積最大是多少？解：S=5X5=25 4.如圖，公園里有一個正方形的花壇，3_丁7…一一司有 1/米寬的走道.如果走道的總面積是平方米，那么中間花壇的面積是多少平方產(chǎn)解：12+4=3（平方米） 匚3+1=3（米）S=（3—1）X（3—1）=4（平方米〕129.將下圖所示長方形分割成形狀、大小都相等的六小塊，使每塊所含數(shù)字的和都相等.10.用1X1,2X2,3X3的少要用多少塊？(4塊)?知識引領?/J5E；亍3排:成一恬11*「曲大正方形，則最小的正方形至7X35755曾寸3族’5得性妒!5535573有些數(shù)學競賽題，給出的許多條件之間往往縱橫交錯，層次眾多，我們不能憑空想象，而是要學會有根有據(jù)地想問題，這就需要我們有良好的邏輯思維能力和邏輯推理能力.數(shù)學和邏輯推理之間有密切的關系，要通過邏輯推理的練習訓練思維的邏輯性、嚴密性和靈活性，提高智力水平.?經(jīng)典題例?例1如圖，前兩個天平平衡，要使第三個天平也平衡，左端要放幾張梅花？解析我們先估計一下.放4張梅花顯然不夠(第三個天平右邊的黑桃、方塊均多于第一個天平).放8張梅花又太多了：將前兩個天平的梅花合并，一共8張，相當于將方塊、黑桃也合并，即5張黑桃、6張方塊合在一起，才等于8張梅花，合并后，與第三個天平相比，黑桃多出5—3=2(張)，方塊多出6—5=1(張).從第二個天平看出，2張黑桃、1張方塊合起來，正好是2張梅花(左、右各取一半).于是從8張梅花中去掉2張，即在第三個天平的左邊放6張梅花，兩邊正好平衡.例21000個人中至少有1個人說假話，而這1000人中的任意兩個人，總有1個人不說假話，這1000人中不說假話的有多少人？有多少人說假話？解析要保證1000人中的任意兩個人中，總有1人不說假話，可以理解為以下兩種情況：任意兩個人中1人說假話，1人不說假話或者任意兩個人中兩人都不說假話，所以不能有兩人說假話.這1000人中，不說假話的有999人，說假話的只有1人.例3丁丁、光光和園園三位小朋友分別出生在成都、重慶、達州.已知：(1)丁丁從未到過成都；(2)成都出生的小朋友不叫光光；(3)光光不出生在達州.問：三個小朋友各出生在哪里？解析這是一道簡單的邏輯推理題.我們從題中給出的已知條件入手進行分析.條件(2)和(3)都是關于小朋友光光的，從中可以看出光光既不出生在成都也不出生在達州，所以光光出生在重慶.再由條件(1)“丁丁從未到過成都”得出丁丁不出生在成都，所以丁丁出生在達州.那么，只能是園園出生在成都了.例4甲、乙、丙三位老師分別教語文、數(shù)學、英語課.已知：(1)每位老師只教一門課；(2)甲上課全用漢語；(3)英語老師是一個學生的哥哥；(4)丙是一位女老師，她比數(shù)學老師活潑.問：三位老師各上什么課？解析題目中給出了四個條件，從哪里著手進行分析是解決問題的關鍵.一般來講，較為復雜的條件給出的信息較多，以此作為解決問題的突破口是比較好的選擇.題目中條件(4)“丙是一位女老師，她比數(shù)學老師活潑”可以得出丙不教數(shù)學，而且是位女老師.而條件（3）“英語老師是一個學生的哥哥”可以得出，教英語的是位男老師，所以內(nèi)也不教語文.條件（2）“甲上課全用漢語”可以得出甲不教英語，因為“每位老師只教一門課” ，所以甲只能是教數(shù)學.由此可以推出乙教英語.例5一只乒乓球裝在ABC三個盒子里，盒蓋上分別標有一句話：A盒：乒乓球在此盒；B盒：乒乓球不在此盒；C盒：乒乓球不在A盒.這三張標簽中，只有一張是正確的，問乒乓球在哪個盒子里？解析上面三張標簽中，A盒上的標簽與C盒上的標簽互相矛盾，不可能全正確，也不可能全錯誤，而必須是一個正確一個錯誤.由于三張標簽中只有一張是正確的，而AC盒中有一盒是正確的，那么可判斷B盒一定是錯誤的，所以球一定在B盒中.這題也可以用枚舉法分析解答，把題目分為球在A盒中，球在B盒中或球在C盒中三種不同情況進行列表分析：標簽內(nèi)容球在A盒|球在B盒球在C盒A盒：乒乓球在此盒VXXB盒：乒乓球不在此盒VXVC盒：乒乓球不在A盒XVV觀察“球在A盒”這一列有兩個，表示有兩張標簽正確；同樣“球在C盒”這一列有兩個，也表示有兩張標簽正確；只有“球在B盒”這一列只有一個，說明只有一張標簽正確，與題目中條件吻合.例64支球隊，每兩隊比賽1場.每場勝隊得3分，負隊得0分，平各得1分.已知賽完各隊的得分分別為2、3、4、5.問第4名負于哪個隊？解析第1名得分最高（得5分），似乎第4名應當負于第1名.但仔細分析，結論卻并非如此.每個隊賽了3場，所以得5分的隊，3場的分數(shù)是3,1,1（否則，和不會是5）;得4分的隊，3場的分數(shù)是3,1,0;得2分的隊，3場的分數(shù)是1,1,0.得3分的隊，則有兩種可能：3,0,0或者1,1,1.需要研究一下：這兩種可能都存在呢？還是只有一種可能，是哪一種可能？由于每個平局產(chǎn)生兩個1,所以在上面各隊各場的分數(shù)中，1的總個數(shù)是偶數(shù).因此，得3分的隊，3場的分數(shù)只能是1,1,1.得4分的隊勝了1場（有1個3分）.它勝在哪個隊呢？只能勝得2分的隊.因為只有兩個隊輸過，即得4分的隊與得2分的隊.得4分的隊當然不能勝自己，只能勝得2分的隊.換句話說，第4名負于第2名.?應用與探究?.有三個好朋友在談論這次考試的成績.小明說：“小紅的分數(shù)比小強高”；小紅說：“小明的分數(shù)比小強高”；小強說：“小明的分數(shù)比小紅低”.這三人中誰的分數(shù)最高？誰的分數(shù)最低？（小紅最高，小強最低）.有這樣的一個月份：星期六的天數(shù)比星期五的天數(shù)多，星期日的天數(shù)比星期一的天數(shù)多.這個月的6號是星期幾？（星期四）.某年的一月份，有五個星期二與五個星期四，那么這一年的 1月12日是星期幾？（星期六）.趙老師、孫老師、李老師三人各教語文、數(shù)學、英語中的一科.已知趙老師不教數(shù)學，孫老師既不教語文也不教數(shù)學，那么教數(shù)學的是哪位老師？ （李老師）.房、胡、唐三名老師分別來自重慶、達州、遂寧，分別教數(shù)學、歷史、生物.已知：唐老師不是達州人，胡老師不是遂寧人；遂寧的老師教生物；達州人不教數(shù)學；房老師教數(shù)學.那么唐老師教什么課？(生物).一大老師發(fā)現(xiàn)全班50個學生中有學生沒戴紅領巾，并且任何兩個學生之間必有一個帶了紅領巾，那么共有多少人沒戴紅領巾？ (1個).有4盆水，如果全部倒入小桶內(nèi)，需要3只小桶；有5大杯水，如果全部倒入盆內(nèi)，能裝滿2盆.現(xiàn)有20大杯水，如果改用小桶來裝，需準備幾只小桶？(6只).A、B、C、DE五組拔河比賽，每兩組都賽一場，規(guī)定勝者得2分，負者不得分.已知比賽結果如下：A與E并列第一名；B是第三名；C和D并列第四名.那么B的得分是多少分？(4分).全校要選一個代表去參加會議，候選人有甲、乙兩個人，共121人參加選舉，每人選一人.開票中途累計：甲已獲45票，乙已獲35票.最后得票多的當選，那么甲至少還要獲多少票能當選？(16票)10.傳說中有一個小國，這個國家的人有一半人說謊話，另一半人說真話.有一天，這個國家的一群人，來到一個酒店，圍坐在一個圓桌旁.已知，說謊話的與說真話的相間隔坐(即一個說謊話的人旁邊是說真話的人).這時，其中的一人對服務員說：“給我們每人來一杯水，總共13杯.”請問：說話的這個人是說真話還是喜歡說謊話的人？ (說假話)第十二講定義新運算?知識引領?我們已經(jīng)學習過加法、減法、乘法、除法運算，這些運算，即四則運算是數(shù)學中最基本的運算，其意義、符號和運算定律已被大家熟悉.很多時候，為了某種需要，常把許多含有加、減、乘、除的運算用一個代表符號表示.這樣的運算及符號在課本中沒有統(tǒng)一的規(guī)定，通過學習這些知識，對于同學們開闊視野、拓展思維都會大有好處.?經(jīng)典題例?例1設a,b者B表示數(shù)，規(guī)定az\b=3Ma—2Mb.(1)求：3A2=?2A3=?(2)如果已知4Ab=2,求b=?解析本題規(guī)定的運算的本質是用運算符號前面的數(shù)的 3倍減去符號后面的數(shù)的2倍.3A2=3X3-2X2=52A3=3X2-2X3=0(2)因為4△b=3x4-2^b=12-2b,那么12—2b=2,解出b=5.例2定義運算◎為A?B=AXB-(A+B),求：(1)7011=? (2)1205=? (3)120(304)=?解析新運算符號前后兩個數(shù)之積減去這兩個數(shù)之和，注意有括號的先計算.7011=7X11-(7+11)=5912?5=12X5—(12+5)=43120(304)=120[3X4—(3+4)]=1205=12X5—(12+5)=43例3已知2*3=2+22+222=246,3*4=3+33+333+3333=3702.求：(1)3*3=?(2)5*4=?(3)若1*x=123,求x=?解析觀察已知兩個等式可以發(fā)現(xiàn)，定義的是連加計算，第一個加數(shù)是“*”前面的數(shù)，且后一個加數(shù)都比前一個加數(shù)多一位，但數(shù)字相同，而“ *”后邊的數(shù)恰好是加數(shù)的個數(shù).3*3=3+33+333=3695*4=5+55+555+5555=61701*x=1+11+111+...+￡..1=123x個1倒著算，123—1=122122-11=111111-111=0即1+11+111=1*3=123所以x=3例4設a為大于1的整數(shù)，規(guī)定a*b=ab+a-b(如：3*5=3X5+3-5=13).計算：(4*6)*(6*4)=?解析a*b是這樣計算的：先求a與b的乘積，再求此乘積與a的和，最后再減去b.(4*6)*(6*4)=(4X6+4—6)*(6X4+6—4)=22*26=22X26+22-26=568這個例子說明4*6w6*4,計算時要嚴格按照運算順序，且先算括號內(nèi)的.例5對于正整數(shù)a與b,規(guī)定a*b=ax(a+1)x(a+2)M..x(a+b-1).如果(x*3)*2=3660,見B么