計算方法1-緒論與誤差等

計算方法

NumericalAnalysis能源與動力工程學院

劉火星liuhuoxing@82316418課程介紹

緒論

誤差分析(2)

線性方程組的解法(6)

常微分方程的初值問題(6)矩陣的特征值和特征向量(2)

插值和擬合

數(shù)值微分和數(shù)值積分

非線性方程解法CourseOutline數(shù)值分析，顏慶津，北京航空航天大學出版社，2006徐翠薇、孫繩武，計算方法引論（第二版），高等教育出版社，2002RichardL.Burden&J.DouglasFaires,NumericalAnalysis(SeventhEdition),高等教育出版社，2001主要參考書成績評定方法平時成績：20%期末考試:80%先修課程高等數(shù)學線性代數(shù)程序設計語言C,C++,Fortran,Matlab,Mathematica1緒論Introduction1.1關于計算方法1.2計算方法的過去和未來1.3誤差分析1.4

在近似計算中需要注意的問題目次現(xiàn)實中，具體的科學、工程問題的解決：實際問題物理模型數(shù)學模型數(shù)值方法計算機求解計算方法是一種研究并解決數(shù)學問題的數(shù)值近似解方法隨著計算機的飛速發(fā)展，數(shù)值分析方法已深入到計算物理、計算力學、計算化學、計算生物學、計算經濟學等各個領域。本課僅限介紹最常用的數(shù)學模型的最基本的數(shù)值分析方法。1.1關于計算方法

在計算機上是否根據數(shù)學公式編程就能得到正確結果?研究例子:求解線性方程組如把方程組的系數(shù)舍入成兩位有效數(shù)字它的解為

x1=-6.222…

x2

=38.25…

x3

=-33.65...準確解為x1=x2=x3=1Numericalanalysisisthestudyofalgorithmsfortheproblemsofcontinuousmathematics----LloydN.Trefethen“計算方法”就是研究在計算機上解決數(shù)學問題的理論和數(shù)值方法計算方法研究的對象:研究數(shù)值方法的設計、分析和有關理論基礎與軟件實現(xiàn)。

計算方法又稱：計算數(shù)學、數(shù)值方法、數(shù)值分析等計算方法的分枝有最優(yōu)化方法、計算幾何、計算概率統(tǒng)計等計算方法的內容

連續(xù)系統(tǒng)的離散化

離散性方程的數(shù)值求解

計算數(shù)學的發(fā)展與科學工程計算是緊密相聯(lián)的，計算數(shù)學的發(fā)展歷史也就是與其他學科結合，利用計算機不斷形成新的理論及數(shù)值方法并不斷形成新的學科的歷史，例如：“計算物理”“計算流體力學”1.2計算方法的過去和未來H.Aiken(1900-1973)哈佛大學博士，因做博士論文涉及到空間電荷傳導問題的計算，1937年提出方案，1939年得到IBM資助，1944年建成投入使用。這是繼電式計算機－MarkI三位計算機設計大師的貢獻J.W.Mauchly(1907-1980)賓夕法尼亞物理博士，因從事天氣預報需要想設計計算機，1942年提出計算機方案，1945年底竣工，這就是世界上第一臺電子計算機－ENIAC機三位計算機設計大師的貢獻J.VonNeumann(1903-1957)普林斯頓高級研究所，1945年在普林斯頓研制成MANIAC機，有力地支持美國氫彈研制，稱為計算機之父三位計算機設計大師的貢獻在研制原子彈和氫彈過程中，許多物

理規(guī)律必須通過計算機上的計算摸清

楚。計算物理、理論物理與實驗物理

相輔相成相互促進共同發(fā)展，形成現(xiàn)

代物理學的三大分支由于核武器研制需要，1950年全球只有15臺，到了1962年9月僅美國就有16187臺計算機計算數(shù)學發(fā)展的歷史回顧1983年一個由美國著名數(shù)學家拉克斯(P.Lax)為首的不同學科的專家委員會向美國政府提出的報告之中，強調“科學計算是關系到國家安全、經濟發(fā)展和科技進步的關鍵性環(huán)節(jié)，是事關國家命脈的大事?！?984年美國政府大幅度地增加對科學計算經費的支持,新建成五個國家級超級計算中心（分別在普林斯頓大學、圣地亞哥、伊里諾大學、康奈爾大學、匹茲堡），配備當時最高性能的計算機，建立NSF-net新網絡80年代中期我國將“大規(guī)?？茖W與工程計算”列入國家資助重大項目1987年起美國NSF把“科學與工程計算”、“生物工程”“全局性科學”作為三大優(yōu)先資助的領域由于大存儲的高速計算機的使用已導致了科學和技術方面的兩大突出進展：大量用于設計工作的實驗被數(shù)學模型的研究逐步取代，如航天飛機設計、反應堆設計、人工心瓣膜設計等能獲取和存儲大量的數(shù)據，并能提取隱秘的信息，如計算機層析X射線攝影，核磁共振等1991年以美國總統(tǒng)倡議的形式提出了“高性能計算與通信計劃”。這是為了保持和提高美國在計算和網絡的所有先進領域中的領導地位而制定的。計劃為期五年（1992－1996），投資的重點是發(fā)展先進的軟件技術與并行算法，關鍵技術是可擴展的大規(guī)模并行計算要求到1996年高性能計算能力提高14倍，達到每秒萬億次浮點運算速度（1012

Teraops/S）。計算機網絡通迅能力提高1百倍，達到每秒109位（Gigabits/S）該計劃中列舉的“挑戰(zhàn)”項目有：磁記錄技術、藥物設計、催化、燃燒、海洋模擬、臭氧洞、空氣污染、高速民用運輸機、數(shù)字解剖、蛋白質結構設計、金星成像等1993年初美國總統(tǒng)發(fā)布“發(fā)展信息高速公路”（NII）的總統(tǒng)令1994年4月美國總統(tǒng)發(fā)布“建立國家（地球）空間數(shù)據基礎實施”（NSDI）的總統(tǒng)令數(shù)值方法和數(shù)值軟件過去50年的主要進展Before1940Newton’smethod;Gaussianelimination;Gaussquadrature;leastsquaresfitting;AdamsandRunge-Kuttaformulas;Richardsonextrapolation1940-1970floatingpointarithmetic;Fortran;finitedifferences;finiteelements;FFT;simplexalgorithm;MonteCarlo;orthogonallinearalgebra;splinefunction1970-2000quasi-Newtoniterations;adaptivity;stiffODEsolvers;softwarelibraries;Matlab;multigrid;sparseanditerativelinearalgebra;spectralmethods;interiorpointmethods計算數(shù)學未來50年的展望將更多的通過聲音，而不是鍵盤向計算機傳遞信息，而計算機將更多地以圖象而不是數(shù)字反映結果數(shù)值計算將更具有適應性、迭代性、靈活性。計算能力大得驚人數(shù)值計算中更具智能性數(shù)學軟件MATLABMATLAB是建立在向量、數(shù)組和矩陣基礎上的一種分析和仿真工具軟件包，包含各種能夠進行常規(guī)運算的“工具箱”，如常用的矩陣代數(shù)運算、數(shù)組運算、方程求根、優(yōu)化計算及函數(shù)求導積分符號運算等；同時還提供了編程計算的編程特性，通過編程可以解決一些復雜的工程問題；也可繪制二維、三維圖形，輸出結果可視化。目前，已成為工程領域中較常用的軟件工具包之一。

MATLABMAPLEMATLABMAPLEMATHEMATICMaple是加拿大滑鐵盧大學(UniversityofWaterloo)和WaterlooMapleSoftware公司注冊的一套為微積分、線性代數(shù)和微分方程等高等數(shù)學使用的軟件包。它是當今世界上最優(yōu)秀的幾個數(shù)學軟件之一，它以良好的使用環(huán)境、強有力的符號計算、高精度的數(shù)值計算、靈活的圖形顯示和高效的編程功能，為越來越多的教師、學生和科研人員所喜愛，并成為他們進行數(shù)學處理的工具。Maple軟件適用于解決微積分、解析幾何、線性代數(shù)、微分方程、計算方法、概率統(tǒng)計等數(shù)學分支中的常見計算問題。

Mathematica是目前比較流行的符號運算軟件之一，它不僅可以完成微積分、線性代數(shù)及數(shù)學各個分支公式推演中的符號演算，而且可以數(shù)值求解非線性方程、優(yōu)化等問題。它不僅是數(shù)學建模的得力助手，也是大學數(shù)學教育和科學研究不可或缺的工具。原始誤差－模型誤差（忽略次要因素，物理模型，數(shù)學模型）計算誤差－舍入誤差（計算機數(shù)據表示方法造成）方法誤差－截斷誤差（算法本身造成）1.3誤差分析

計算機字長有限導致實數(shù)不能精確存儲，于是產生舍入誤差。例如：在10位十進制數(shù)限制下：

1÷3＝0.3333333333

本應1÷3＝0.3333333333……

1.0000022-1.000004=0

本應1.0000022-1.000004

=1.000004000004-1.000004

=0.000000000004

舍入誤差(Round-offErrors)舍入誤差很小，本課程將研究它在運算過程中是否能有效控制。用近似的值去代替數(shù)學上的準確值帶來的誤差。例如：

泰勒級數(shù)?

零階近似:?

一階近似:?

二階近似:

截斷誤差(TruncationError)完全的泰勒級數(shù):余項(n階近似)::介于

xiand

xi+1

x

=

xi+1-

xi余項：Taylor級數(shù)表示為:截去的部分?

零階近似:

截斷誤差

:?

一階近似

Rn:零階近似Rn:斜率:誤差誤差限有效數(shù)字[Def]若用x*表示x準確值的一個近似值。則此近似值x*和準確值x的差稱為誤差，用e*來表示

e*＝x*－x[Def]若

|e*|＝|x*－x|≤ε*ε*稱為近似值x*的誤差限。[例1.2]已知x*=π=3.14159…，求近似值x1=3.14，x2=3.142，x3=3.1416的誤差限。[解]所以誤差限 ε1=0.002，ε2=0.0005，ε3=0.000008

有效數(shù)字[Def]若x的近似值x*的誤差限是某一位上的半個單位，該位到x*的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱x*有n位有效數(shù)字若用x*表示x的近似值，并將x*表示成 x*＝±0.a1a2…an×10m若

|x*－x|≤0.5×10m－n則近似值x*有n位有效數(shù)字(1.1)[例1.3]

設x*=0.0270是某數(shù)x經“四舍五入”所得，則誤差|e(x*)|不超過x*末位的半個單位，即：

|x*－x|≤0.5×10-4

又x*=0.27×10-1,故該不等式又可寫為

|x*－x|≤0.5×10-1-3由有效數(shù)字定義可知,x*有3位有效數(shù)字,分別是2,7，0。[例1.4]

設x＝32.93,x*＝32.89,則

|x*－x|＝0.04＜0.05＝0.5×10-1即

|x*－x|≤0.5×102-3由有效數(shù)字定義可知,x*有3位有效數(shù)字,分別是3,2,8。由于x*中的數(shù)字9不是有效數(shù)字，故x*不是有效數(shù)。1.3相對誤差和絕對誤差設x——準確值x*——近似值稱為近似值x*的相對誤差實用中，常用表示近似值x*的相對誤差，稱為相對誤差限相應的，e*稱為絕對誤差，ε稱為絕對誤差限有效數(shù)位與誤差的關系有效數(shù)位n越多，則絕對誤差|e*|越小形如(1.1)式的近似數(shù)x*具有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限可取為基本算術運算設x*和y*分別是x和y的近似值，把它們的誤差近似地看做是相應地微分，即 dx≈x*－x，dy≈y*－y則

d（x±y）＝dx±dy d（xy）＝xdy±ydx d（x/y）＝（－xdy＋ydx）/y2

誤差傳播(1.3)和(1.4)給出了由自變量的誤差引起的函數(shù)值的誤差的近似式（誤差傳播）。一元函數(shù)設y＝f(x)，若x的近似值是x*，用f(x*)去近似f(x)的誤差可用Taylor公式估計

(1.3)(1.4)多元函數(shù)情形由多元函數(shù)的Taylor展開公式類似可得

(1.5)(1.6)(1.8)(1.9)[例1.5]測得某桌面的長a的近似值a*=120cm,寬b的近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm,|e(b*)|≤0.1cm。試求近似面積s*=a*b*

的絕對誤差限與相對誤差限。

解:面積s=ab,在公式（1.5）中,將y=f(x1,x2)

換為s=ab,則相對誤差限為1.4

在近似計算中需要注意的問題（1）盡量