第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

根式的概念符號(hào)表示備注如果①

,那么x叫做a的n次方根

n>1且n∈N*當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)②

,負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)③

零的n次方根是零當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根有④

,它們互為⑤

±

負(fù)數(shù)沒有偶次方根1.指數(shù)冪的概念(1)根式的概念xn=a正數(shù)負(fù)數(shù)兩個(gè)相反數(shù)教材研讀(2)兩個(gè)重要公式

=

(

)n=⑨

(注意a必須使

有意義).2.有理數(shù)指數(shù)冪(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的表示(i)正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:

=⑩

(a>0,m,n∈N*,n>1).(ii)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:a

=

=

(a>0,m,n∈N*,n>1).(iii)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是

,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義.(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(i)aras=

(a>0,r,s∈Q).(ii)(ar)s=

(a>0,r,s∈Q).(iii)(ab)r=

(a>0,b>0,r∈Q).0ar+sarsarbr

a>10<a<1圖象

定義域

值域

性質(zhì)過定點(diǎn)

當(dāng)x>0時(shí),

;當(dāng)x<0時(shí),

當(dāng)x>0時(shí),

;當(dāng)x<0時(shí),

在(-∞,+∞)上是

.

在(-∞,+∞)上是

3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)R(0,+∞)(0,1)y>10<y<10<y<1y>1單調(diào)增函數(shù)單調(diào)減函數(shù)

1.計(jì)算[(-2)6

-(-1)0的結(jié)果為

(

)A.-9

B.7

C.-10

D.9答案

B原式=

-1=23-1=7.故選B.2.化簡

(x<0,y<0)得

(

)A.2x2y

B.2xy

C.4x2y

D.-2x2y

答案

D∵x<0,y<0,∴4

=(16x8·y4

=1

·(x8

·(y4

=2x2|y|=-2x2y.3.函數(shù)f(x)=3x+1的值域?yàn)?/p>

(

)A.(-1,+∞)

B.(1,+∞)

C.(0,1)

D.[1,+∞)

答案

B∵3x>0,∴3x+1>1,即函數(shù)f(x)=3x+1的值域?yàn)?1,+∞).4.(2015北京豐臺(tái)一模,7)已知奇函數(shù)y=

如果f(x)=ax(a>0,且a≠1)對(duì)應(yīng)的圖象如圖所示,那么g(x)=

(

)

A.

B.-

C.2-x

D.-2x

答案

D由題圖知f(1)=

,∴a=

,f(x)=

,由題意得g(x)=-f(-x)=-

=-2x,選D.5.(2015北京,10,5分)2-3,

,log25三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是

.

答案

log25

解析∵2-3=

<1,1<

<2,log25>2,∴這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為log25.6.若指數(shù)函數(shù)f(x)=(a-2)x為減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.答案

(2,3)

解析∵f(x)=(a-2)x為減函數(shù),∴0<a-2<1,即2<a<3.

指數(shù)冪的化簡與求值典例1化簡下列各式:(1)[(0.06

)-2.5

-

-π0;(2)

÷

×

.

解析

(1)原式=

-

-1=

-

-1=

-

-1=0.考點(diǎn)突破(2)原式=

÷

×

=

(

-2

)×

×

=

×a×

=a2.(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、小數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,以便利用法

則計(jì)算,但應(yīng)注意:①必須同底數(shù)冪相乘,指數(shù)才能相加;②運(yùn)算的先后順序.

(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí),先確定符號(hào),再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)

含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).1-1化簡:

.

解析原式=

=

=

.1-2計(jì)算:4

÷

.

解析原式=(-6)

=-6a.

指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用典例2

(1)函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是

(

)

A.a>1,b<0

B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0

D.0<a<1,b<0(2)若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點(diǎn),則b的取值范圍是

.

答案

(1)D

(2)-1≤b≤1

解析

(1)由f(x)=ax-b的圖象可以觀察出,函數(shù)f(x)=ax-b在定義域上單調(diào)遞減,所以0<a<1.函數(shù)f(x)=ax-b的圖象是在f(x)=ax圖象的基礎(chǔ)上向左平移得到的,所以b<0,故

選D.(2)作出曲線|y|=2x+1(如圖),要使該曲線與直線y=b沒有公共點(diǎn),只需-1≤b≤

1.

(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn),判斷選項(xiàng)中的圖象是否過

這些點(diǎn),若不滿足則排除.(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題,一般是從最

基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到的.特別

地,當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論.(3)有關(guān)指數(shù)方程、不

等式問題的求解,往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合求解.

2-1

若將本例(2)改為:若直線y=|2x-1|與直線y=b有兩個(gè)公共點(diǎn),求b的取值范圍.

解析曲線y=|2x-1|與直線y=b如圖所示.由圖象可得,若曲線y=|2x-1|與直線y=b有兩個(gè)公共點(diǎn),則b的取值范圍是(0,1).

2-2若將本例(2)改為:函數(shù)y=|2x-1|在(-∞,k]上單調(diào)遞減,則k的取值范圍是什么?

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=|2x-1|的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0],所以k≤0,即k的取值范圍為(-∞,0].

2-3若將本例(2)改為:直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|(a>0且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則a的取值范圍是什么?

解析

y=|ax-1|的圖象是由y=ax的圖象先向下平移1個(gè)單位,再將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的.當(dāng)a>1時(shí),兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn),不合題意,如圖1;當(dāng)0<a<1時(shí),要使兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),則0<2a<1,得到0<a<

,如圖2.

綜上可知,a的取值范圍是

.

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用典例3

(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2|x-m|-1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù).記a=f(log0.

53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為

(

)A.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b

D.c<b<a(2)已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+b=

.

答案

(1)C

(2)-

解析

(1)∵f(x)=2|x-m|-1為偶函數(shù),∴m=0.∵a=f(lo

3)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),log25>log23>0,而函數(shù)f(x)=2|x|-1在(0,+∞)上為增函數(shù),∴f(log25)>f(log2

3)>f(0),即b>a>c,故選C.(2)①當(dāng)a>1時(shí),f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞增,則

無解.②當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減,則

解得

∴a+b=-

.指數(shù)式值的大小比較的常見類型:同底不同指數(shù);同指數(shù)不同底;底和指數(shù)

均不相同.指數(shù)式值的大小比較的常用方法:(1)化為相同指數(shù)或相同底數(shù)后利用相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性;(2)作差或作商法;(3)利用中間量(0或1等)分段.3-1設(shè)a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關(guān)系是

(

)A.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.b<c<a

答案

C因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=0.6x在(-∞,+∞)上為減函數(shù),所以0.60.6>0.61.5,即a>b,又0<0.60.6<1,1.50.6>1,所以a<c,故選C.3-2

(2015北京朝陽一模,14)記x2-x1為區(qū)間[x1,x2]的長度,已知函數(shù)y=2|x|,x∈

[-2,a](a≥0),其值域?yàn)閇m,n],則區(qū)間[m,n]的長度的最小值是

.

答案

3

解析令y=f(x)=2|x|,x