第三章幾種常見的概率分布律

第三章幾種常見的概率分布律回顧一下，在上一章里講了變量及其概率分布的一般概念。

離散變量用概率函數(shù)來研究，概率函數(shù)定義了這個(gè)變量取每個(gè)值的概率；

連續(xù)變量用密度函數(shù)（一條曲線）來研究，通過這條曲線我們可以求得變量在某個(gè)特定區(qū)間取值的概率。在這一章里，我們將介紹一些在實(shí)際研究中應(yīng)用最廣的變量類型及其概率分布。離散變量連續(xù)變量二項(xiàng)分布泊松分布超幾何分布負(fù)二項(xiàng)分布指數(shù)分布正態(tài)分布第一節(jié)二項(xiàng)分布

（BinomialDistribution）1.貝努利試驗(yàn)和在什么情形下應(yīng)用二項(xiàng)分布貝努利試驗(yàn)（Bernoullitrial）：試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果，并且發(fā)生每種結(jié)果的概率是一定的。例如：拋一枚硬幣，看得到正面還是反面；擲一次骰子，看得到6還是沒有得到6；隨機(jī)抽查一名嬰兒的性別，看是男是女

在貝努利試驗(yàn)里，兩種結(jié)果可分別稱為“成功”和“失敗”，或者“事件A發(fā)生”和“事件A沒有發(fā)生”。什么情形時(shí)應(yīng)用二項(xiàng)分布：實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行了n次獨(dú)立的貝努利試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)在這n次試驗(yàn)中總共獲得了多少次“成功”?！俺晒Α钡拇螖?shù)，記為變量X；X稱為二項(xiàng)分布變量，X的概率分布稱為二項(xiàng)分布。（1）連續(xù)拋硬幣100次，統(tǒng)計(jì)總共出現(xiàn)正面的次數(shù)。次數(shù)X服從二項(xiàng)分布。X的可能取值為0，1，2，…，n。所以X是個(gè)離散型變量。二項(xiàng)分布變量的一些例子：（2）調(diào)查250名新生嬰兒的性別，記男嬰的總數(shù)為X，則X服從二項(xiàng)分布。（3）調(diào)查n枚種蛋的出雛數(shù)，出雛數(shù)X服從二項(xiàng)分布。（4）n頭病畜治療后的治愈數(shù)X，X服從二項(xiàng)分布。（5）n尾魚苗的成活數(shù)X，X服從二項(xiàng)分布。2.二項(xiàng)分布的常用記號3.二項(xiàng)分布的概率函數(shù)P(x)怎樣得到P(x)?以n＝4，x＝2為例，欲求P（x＝2）＝？。每種方式發(fā)生的概率為：其它5種方式發(fā)生的概率也是如此。例一，純種白豬與純種黑豬雜交，根據(jù)孟德爾遺傳理論，子二代中白豬與黑豬的比率為3：1。求窩產(chǎn)仔10頭，有7頭白豬的概率。所以，窩產(chǎn)仔10頭，有7頭白豬的概率是0.2503。例二，有一批玉米種子，出苗率為0.67?，F(xiàn)任取6粒種子種1穴中，問這穴至少有1粒種子出苗的概率是多少？這說明每穴種6粒種子，幾乎肯定出苗。4二項(xiàng)分布的概率分布表和概率分布圖除以P(x)表示，二項(xiàng)分布也可通過表或圖來直觀顯示。xP(x)00.06210.25020.37530.25040.062例如，拋硬幣4次，獲得的正面數(shù)記為X，則X服從二項(xiàng)分布。X的概率分布表為X的概率分布圖為注意：5二項(xiàng)分布變量的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差平均數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差例三，某樹種幼苗成材率為70％，現(xiàn)種植2000株，問成材幼苗數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差是多少？第二節(jié)泊松分布

（PoissonDistribution）1.在什么情形下應(yīng)用泊松分布泊松分布是一種用來描述一定的空間或時(shí)間里稀有事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。服從泊松分布的變量的一些例子：

一定畜群中某中患病率很低的非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)。畜群中遺傳的畸形怪胎數(shù)單位空間內(nèi)某些野生動物或昆蟲數(shù)每升飲水中的大腸桿菌數(shù)2.泊松分布的概率函數(shù)與特征數(shù)泊松分布變量X只取零和正整數(shù)：0,1,2…，其概率函數(shù)為泊松分布的平均數(shù)泊松分布的方差和標(biāo)準(zhǔn)差例一，顯微鏡下觀察一種懸浮液中的某種顆粒，據(jù)前人報(bào)告，平均每張樣片可以觀察到3個(gè)微粒，問在一次觀察中看到3個(gè)微粒的概率是多大？少于3個(gè)微粒的概率是多少？若觀察100張片子，大約有多少張片子看到的微粒數(shù)少于3個(gè)？第三節(jié)正態(tài)分布

（NormalDistribution）正態(tài)分布是一種最重要的連續(xù)型變量的概率分布。在生物科學(xué)研究里，有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的，如水稻產(chǎn)量、小麥株高、玉米百粒重等；許多統(tǒng)計(jì)分析方法是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。不少隨機(jī)變量的概率分布在樣本容量增大時(shí)趨于正態(tài)分布。因此，在統(tǒng)計(jì)學(xué)里，正態(tài)分布無論在理論研究上還是在實(shí)際應(yīng)用中均占有重要的地位。1正態(tài)分布的定義與主要特征定義：若變量X的概率分布的密度函數(shù)為f(x）的曲線為X的分布函數(shù)沒有更簡化的形式正態(tài)分布的主要特征：（1）曲線是單峰、對稱的“懸鐘”形曲線，對稱軸是x=μ（2）曲線是非負(fù)函數(shù)，以x軸為漸近線，分布從－∞到∞（3）曲線在x=μ±σ處各有一個(gè)拐點(diǎn)，即在[μ-σ,μ+σ]范圍內(nèi)是上凸，其余是下凸。（4）曲線有兩個(gè)參數(shù)：μ和σ。μ代表平均數(shù)，σ代表標(biāo)準(zhǔn)差，μ和σ一起決定曲線的位置和形狀。μ越大，則曲線沿x軸越向右移動；反之向左。σ是變異度參數(shù)，σ愈大則曲線愈“胖”；反之則愈瘦。（5）曲線下和x軸所夾的總面積為1σ=0.5σ=1σ=22標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布定義：μ=0，σ=1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量記為U，寫作U～N(0,1)。3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算查表法：表2（253頁）列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的累積分布函數(shù)值，即U小于某個(gè)值u的概率：P(U<u)關(guān)系式：定理：4一般正態(tài)分布的概率計(jì)算通過如下定理，將一般正態(tài)分布變量轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量來求。關(guān)于一般的正態(tài)分布，以下的一些概率經(jīng)常用到：變量X落在μ的不同倍數(shù)σ區(qū)間的概率。這些結(jié)論可以用一個(gè)實(shí)例來印證：以第一章里的120頭母羊的體重資料為例：由表可見，實(shí)際頻率與理論概率相當(dāng)接近，說明120頭基礎(chǔ)母羊體重資料的頻率分布接近正態(tài)分布，從而可推斷基礎(chǔ)母羊體重這一隨機(jī)變量很可能是服從正態(tài)分布的。5正態(tài)分布的單側(cè)、