第一節(jié)線性系統(tǒng)的輸入輸出時(shí)間函數(shù)表示

概述數(shù)學(xué)模型描述系統(tǒng)或元件的動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式：深入了解元件及系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，準(zhǔn)確建立它們的數(shù)學(xué)模型。

建模為了便于分析，人們常將描述系統(tǒng)工作的各物理量隨時(shí)間變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形表示出來(lái)，這種描述系統(tǒng)各個(gè)物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形稱為數(shù)學(xué)模型。研究一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，除了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定性分析外，還必須進(jìn)行定量分析，進(jìn)而探討改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能的具體方法。建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法通過(guò)理論推倒得出，根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律（力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)等）來(lái)編寫(xiě)。分析法根據(jù)系統(tǒng)對(duì)某些典型輸入信號(hào)的響應(yīng)或其它實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型。即人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄基本輸出響應(yīng)。（由實(shí)驗(yàn)求取，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)整理編寫(xiě)出來(lái)。

）實(shí)驗(yàn)法第一節(jié)線性系統(tǒng)的輸入—輸出時(shí)間函數(shù)描述(建立系統(tǒng)微分方程)建立微分方程的步驟是：1）分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量；2）從輸入端入手（閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手），依據(jù)各元件所遵循的物理，化學(xué)，生物等規(guī)律，列寫(xiě)各自方程式，但要注意負(fù)載效應(yīng)。所謂負(fù)載效應(yīng)，就是考慮后一級(jí)對(duì)前一級(jí)的影響。3）將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標(biāo)準(zhǔn)方程。所謂標(biāo)準(zhǔn)方程包含三方面的內(nèi)容：①將與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左邊；②各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列；機(jī)械系統(tǒng)微分方程的列寫(xiě)

機(jī)械系統(tǒng)中部件的運(yùn)動(dòng)有直線和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種。機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡(jiǎn)化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個(gè)要素。列寫(xiě)其微分方程通常用達(dá)朗貝爾原理。即：作用于每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的合力，同質(zhì)點(diǎn)慣性力形成平衡力系。電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)微分方程的列寫(xiě)

電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)分析主要根據(jù)基爾霍夫電流定律和電壓定律寫(xiě)出微分方程式，進(jìn)而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。1）基爾霍夫電流定律：匯聚到某節(jié)點(diǎn)的所有電流之代數(shù)和應(yīng)等于0（即流出節(jié)點(diǎn)的電流之和等于所有流進(jìn)節(jié)點(diǎn)的電流之和）。2）基爾霍夫電壓定律電網(wǎng)絡(luò)的閉合回路中電勢(shì)的代數(shù)和等于沿回路的電壓降的代數(shù)和。例2－1編寫(xiě)如右圖所示RC電路的微分方程1確定輸入量和輸出量：電路的為輸入量，為輸出量。2列出原始微分方程根據(jù)電路理論得：3消去中間變量聯(lián)立上述兩個(gè)方程，消去中間變量可得電路微分方程：RC電路1確定系統(tǒng)的輸入輸出量：系統(tǒng)外力F為輸入量，位移y為輸出量。2根據(jù)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)列出原理方程。根據(jù)牛頓定律可得3消去中間變量，可得例2－2：下圖所示為一彈簧阻尼系統(tǒng)，圖中質(zhì)量為m的物體受外力F的作用，產(chǎn)生位移y，試求該系統(tǒng)以外力F為輸入，y為輸出的微分方程。例2－3：下圖所示為一電阻、電感、電容串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，其中，u為輸入電壓，求以電容兩端電壓為輸出的微分方程。根據(jù)基爾霍夫回路定律，可列出電壓平衡方程式：根據(jù)電容兩端電壓與流過(guò)電容的電流之間的關(guān)系可得消去中間變量i，可得例2－4、如圖為兩個(gè)形式相同的RC電路串聯(lián)組成的濾波電路，建立輸入電壓為u,求電容C2兩端電壓uc為輸出的微分方程。解：（1）分析電路的工作原理，假設(shè)電阻是理想電阻器，電容也是理想的電容器；（2）輸入量為u，輸出量為uc;（3）根據(jù)基爾霍夫定理列寫(xiě)方程節(jié)點(diǎn)方程：回路方程：（4）消去中間變量求出描述系統(tǒng)輸入—輸出關(guān)系的微分方程。三種不同的物理系統(tǒng)，他們的數(shù)學(xué)模型的形式是相同的。我們把具有相同數(shù)學(xué)模型的不同物理模型稱為相似系統(tǒng)。物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，從而可以拋開(kāi)系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進(jìn)行具有普遍意義的分析研究。描述線性定常系統(tǒng)輸入—輸出關(guān)系的微分方程一般形式：——系統(tǒng)的輸出——系統(tǒng)的輸入——系統(tǒng)的參數(shù)建立微分方程的步驟是：1）分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量；2）從輸入端入手（閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手），依據(jù)各元件所遵循的物理，化學(xué)，生物等規(guī)律，列寫(xiě)各自方程式，但要注意負(fù)載效應(yīng)。所謂負(fù)載效應(yīng)，就是考慮后一級(jí)對(duì)前一級(jí)的影響。3）將所