第4章根軌跡法

教學(xué)目的：掌握利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能教學(xué)重點(diǎn)：根軌跡的繪制和利用根軌跡分析系統(tǒng)性能教學(xué)難點(diǎn)：根軌跡的繪制本章授課學(xué)時(shí)：8第4章根軌跡法4.1根軌跡法的基本概念4.2根軌跡的繪制法則4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性仿真實(shí)現(xiàn)????本章研究?jī)?nèi)容第4章根軌跡法返回本章小節(jié)?第4章根軌跡法根軌跡概念:系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從零變到無(wú)窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上變化的軌跡。穩(wěn)態(tài)性能暫態(tài)性能閉環(huán)特征根(極點(diǎn))的位置穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)的位置輸入信號(hào)根軌跡法：利用根軌跡分析系統(tǒng)性能的方法。（圖解法）

已知:一單位反饋二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：閉環(huán)系統(tǒng)特征根（即閉環(huán)極點(diǎn)）為：，研究開環(huán)放大系數(shù)K與閉環(huán)特征根s1、s2之間的關(guān)系Xr(s)Xc(s)

第4章根軌跡法Ks1s200-20.5-1-1-1+j1-1-j12∞-1+j∞-1-j∞▼▼▼▼▼K=1K=1K=2K=2K=0K=0K=0.5-1j-20j1-j1第4章根軌跡法開環(huán)放大系數(shù)K改變改變閉環(huán)特征根的位置改變系統(tǒng)性能閉環(huán)反饋系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)：開環(huán)傳遞函數(shù):閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：Xr(s)Xc(s)-zi——開環(huán)有限零點(diǎn)-pj——開環(huán)極點(diǎn)Kg——根軌跡放大系數(shù)考察閉環(huán)特征方程與開環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系根軌跡的作用：

1、根據(jù)Kg確定閉環(huán)特征根的位置，判定系統(tǒng)穩(wěn)定性；

2、再考慮系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)，確定系統(tǒng)的暫態(tài)性能；

3、根據(jù)對(duì)系統(tǒng)規(guī)定的性能指標(biāo)的要求，合理安排零、極點(diǎn)的位置，設(shè)計(jì)或校正控制系統(tǒng)。繪制根軌跡時(shí)，實(shí)質(zhì)上就是當(dāng)某一參數(shù)（如Kg）變化時(shí)，尋求閉環(huán)特征方程式解s的變化軌跡。第4章根軌跡法幅角條件幅值條件本章返回4.1根軌跡法的基本概念閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：令s=+j復(fù)數(shù)本節(jié)返回本章返回4.1根軌跡法的基本概念（=0，1，2，…）式中i——開環(huán)有限零點(diǎn)-zi到s的矢量輻角

j

——開環(huán)極點(diǎn)-pj到s的矢量輻角本節(jié)返回本章返回注意：測(cè)量幅角時(shí)，規(guī)定以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?/p>

幅值：幅值條件：幅角：幅角條件：j1232sL1

L3

L2

l2

-p3-p2-p1-z1l1

1▼滿足幅值條件和幅角條件的s值，就是閉環(huán)特征方程的根，這些根所描述的曲線就是根軌跡幅值條件求Kg例4-1已知：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：求：閉環(huán)特征根s=s0時(shí)的放大系數(shù)Kk0。本節(jié)返回本章返回4.1根軌跡法的基本概念Kk——開環(huán)放大系數(shù)；-z1=-1/1——開環(huán)有限零點(diǎn)；-p0=0，-p1=-1/T1

-p2=-1/T2

其中——根軌跡放大系數(shù)；兩者區(qū)別兩者區(qū)別解：

開環(huán)極點(diǎn)本節(jié)返回本章返回4.1根軌跡法的基本概念1132L3

L1

L2

l1

-p2-p1-p0-z1j▼s0幅角條件：1-(1+2+3)=180(1+2)幅值條件：由于，所以開環(huán)放大系數(shù)為：同時(shí)滿足本節(jié)返回本章返回s點(diǎn)必滿足幅值條件和幅角條件：4.1根軌跡法的基本概念自動(dòng)控制系統(tǒng)的根軌跡繪制根軌跡的一般法則4.2根軌跡的繪制方法零度根軌跡廣義根軌跡本章返回4.2.1繪制根軌跡的一般法則繪制根軌跡應(yīng)確定以下幾個(gè)方面的內(nèi)容：(9項(xiàng))

起點(diǎn)、終點(diǎn)、根軌跡數(shù)、實(shí)軸上的根軌跡、分離點(diǎn)和匯合定、根軌跡的漸近線、根軌跡的出射角和入射角、根軌跡和虛軸的交點(diǎn)、根軌跡的走向。本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法注意：實(shí)際繪制根軌跡時(shí)應(yīng)根據(jù)具體情況有選擇性地考慮以上9項(xiàng)內(nèi)容。當(dāng)

Kg=0時(shí)，有根軌跡的始點(diǎn)——系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)特征方程：——開環(huán)極點(diǎn)本節(jié)返回本章返回1、起點(diǎn)4.2根軌跡的繪制方法（Kg=0）系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)——根軌跡數(shù)2、終點(diǎn)當(dāng)

Kg=∞時(shí)，有根軌跡的終點(diǎn)——系統(tǒng)的開環(huán)有限零點(diǎn)——開環(huán)零點(diǎn)4.2根軌跡的繪制方法（Kg=∞）有m條根軌跡終止于開環(huán)有限零點(diǎn)；另外(n-m)條根軌跡終止于無(wú)限遠(yuǎn)處(無(wú)限零點(diǎn))3、根軌跡數(shù)和它的對(duì)稱性4、實(shí)軸上的根軌跡設(shè)Nz——實(shí)軸上根軌跡右側(cè)開環(huán)有限零點(diǎn)的數(shù)目Np——實(shí)軸上根軌跡右側(cè)開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目

實(shí)軸上某段有根軌跡的條件：

右側(cè)，開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目的總和為奇數(shù)根軌跡數(shù)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法Nz+Np=1+2(=1,2,3…)ABCNz+Np=3Nz+Np=5Nz+Np=1本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法j5、分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)會(huì)合點(diǎn)

b

a

s2-z1-p1

s1-p2▼▼分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)的位置：注意：分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)一定在實(shí)軸上式中，Kg>0,z1>p1>p2>0，求分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。例4-2已知開環(huán)傳遞函數(shù)為本節(jié)返回本章返回解：N(s)=s+z1，D(s)=(s+p1)(s+p2)-z1-p1–p2j分離點(diǎn)會(huì)合點(diǎn)得：本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法▼s1

▼s26、根軌跡的漸近線漸近線的傾角漸近線的交點(diǎn)⑴漸近線的傾角設(shè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處有特征根sk，則s平面上所有開環(huán)有限零點(diǎn)-zi和極點(diǎn)-pj到sk的矢量輻角都相等，即：i=j=

代入幅角條件，得：漸近線的傾角為：(=0,1,2,…)漸近線包括兩方面內(nèi)容本節(jié)返回本章返回——有獨(dú)立的(n-m)條⑵漸近線的交點(diǎn)設(shè)無(wú)限遠(yuǎn)處有特征根sk，則s平面上所有開環(huán)有限零點(diǎn)-zi和極點(diǎn)-pj到sk的矢量長(zhǎng)度都相等?？烧J(rèn)為對(duì)于sk來(lái)說(shuō)，所有開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)都匯集在一起，設(shè)位置為-k此即為漸近線交點(diǎn)。求此交點(diǎn)坐標(biāo)-k：由幅值條件：本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法令上式中sn-m-1項(xiàng)的系數(shù)相等，即：漸近線交點(diǎn)為：當(dāng)s=sk=∞，則zi=pj=k，上式化簡(jiǎn)為：本節(jié)返回本章返回試計(jì)算漸近線傾角和交點(diǎn)，即確定漸近線的位置。解：漸近線交點(diǎn)為：180о

60о

-60о

j漸近線-k=-5/3

漸近線漸近線例4-3設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為：本節(jié)返回漸近線傾角為：本章返回m=0，n=3，故有3條漸近線入射角：i——除被測(cè)終點(diǎn)外，其他開環(huán)有限零點(diǎn)到該點(diǎn)的矢量輻角j——開環(huán)極點(diǎn)到被測(cè)終點(diǎn)的矢量輻角i——開環(huán)有限零點(diǎn)到被測(cè)起點(diǎn)的矢量輻角；j

——除被測(cè)起點(diǎn)外，其他所有開環(huán)極點(diǎn)到該點(diǎn)的矢量輻角出射角：7、根軌跡的出射角和入射角

復(fù)數(shù)極點(diǎn)——根軌跡的出射角復(fù)數(shù)零點(diǎn)——根軌跡的入射角p3=-1-j11231求極點(diǎn)p4處的出射角：本節(jié)返回例4-4已知開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定根軌跡的出射角。解：該系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)分別為：-z=-2，-p1=0，-p2=-3，-p3,4=-1j對(duì)于極點(diǎn)p3和p4有出射角。本章返回-p2=-3-z=-2-p1=0p4=-1+j1scp3處的出射角為：8、根軌跡和虛軸的交點(diǎn)

應(yīng)確定根軌跡與虛軸例4-5已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算臨界放大系數(shù)Kl。交點(diǎn)坐標(biāo)值臨界放大系數(shù)Kl

值。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：F(s)=1+Wk(s)=0F(s)=s3+3s2+2s+2Kk=0

方法一：當(dāng)根軌跡與虛軸相交時(shí)，令s=j，Kk=KlF(j)=2Kl-32+j(2-3)=0

即：2Kl-32=0

2-3=0根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：臨界放大系數(shù)為：Kl=3解得：=0，解：Kg方法二：利用勞斯判據(jù)計(jì)算交點(diǎn)和臨界放大系數(shù)臨界放大系數(shù)Kl：

令s1行為零，即2-2Kk/3=0，得：Kk=Kl=3根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：由s2行的輔助方程求得，即令3s2+2Kk=0，得：本節(jié)返回由特征方程：F(s)=s3+3s2+2s+2Kk=0

勞斯行列表：s31

2s232Kks1

2-2Kk/30s02Kk

本章返回9、根軌跡的走向若特征方程的階次n-m≥2j本節(jié)返回-2-10本章返回4.2根軌跡的繪制方法一些根軌跡右行時(shí)

另一些根軌跡必左行特征方程：改寫為：本節(jié)返回本章返回——各特征根之積4.2根軌跡的繪制方法閉環(huán)特征根與特征方程系數(shù)的關(guān)系：——各特征根之和線性系統(tǒng)特征根之和等于特征方程中sn-1項(xiàng)系數(shù)特征根之積等于特征方程中常數(shù)項(xiàng)繪制根軌跡的法則：1、起點(diǎn)(Kg=0)

開環(huán)傳遞函數(shù)Wk(s)的極點(diǎn)即為根軌跡的起點(diǎn)。2、終點(diǎn)(Kg=∞)開環(huán)傳遞函數(shù)Wk(s)的零點(diǎn)(包括無(wú)限零點(diǎn))即為根軌跡的終點(diǎn)。3、根軌跡數(shù)目及對(duì)稱性

根軌跡數(shù)目與開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n相同;根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸.4、實(shí)軸上的根軌跡

實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的零、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)本節(jié)返回本章返回5、分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)注意：求出s=-d后，應(yīng)把它代入特征方程計(jì)算Kd，只有Kd為正值，s=-d才是分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。漸近線的交點(diǎn)：6、根軌跡的漸近線(有n-m條漸近線)漸近線的傾角：本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法7、根軌跡的出射角和入射角。出射角：入射角：8、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。（按勞斯判據(jù)計(jì)算）9、根軌跡走向

一些根軌跡向右行時(shí)，另一些根軌跡必向左行復(fù)數(shù)極點(diǎn)復(fù)數(shù)零點(diǎn)本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法4.2.2自動(dòng)控制系統(tǒng)的根軌跡1、二階系統(tǒng)Xr(s)Xc(s)解：開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中本節(jié)返回本章返回試?yán)L制根軌跡。4.2根軌跡的繪制方法繪制根軌跡：⑴起點(diǎn)：-p0=0,-p1=-1/T⑵終點(diǎn)：兩個(gè)開環(huán)無(wú)限零點(diǎn)⑶根軌跡數(shù)：有兩條根軌跡⑷實(shí)軸上根軌跡：在0~-1/T之間必有根軌跡⑸分離點(diǎn):令本節(jié)返回本章返回則：4.2根軌跡的繪制方法漸近線的交點(diǎn)：漸近線j(=0)本節(jié)返回⑹漸近線：有n-m=2條獨(dú)立的漸近線。

-1/T-1/2T0

漸近線的傾角：本章返回Kg=K⑴起點(diǎn)：起始于兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)-p0=0,-p1=-0.2。⑵終點(diǎn)：終止于一個(gè)開環(huán)有限零點(diǎn)-z1=-a和一個(gè)無(wú)限零點(diǎn)⑶實(shí)軸上根軌跡：在0~-0.2之間和-a~-∞之間有根軌跡2、開環(huán)具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)

Xr(s)Xc(s)a>0.24.2根軌跡的繪制方法分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：⑷根軌跡上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：⑸復(fù)平面上根軌跡本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法設(shè)s=+j，代入上式:復(fù)平面上各點(diǎn)均滿足幅角條件：利用反正切公式:兩邊取正切整理得:圓:圓心為（-a,0)，半徑為本節(jié)返回本章返回

s1-a-0.20

s2會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)開環(huán)系統(tǒng)中加入一個(gè)零點(diǎn)隨著Kg的增大，根軌跡向左偏移遠(yuǎn)離虛軸，使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能改善本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法其中Kg=4Kk

⑴起點(diǎn)：三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)-p0=0,-p1=-1，-p2=-4⑵終點(diǎn)：終止于三個(gè)開環(huán)無(wú)限零點(diǎn)，無(wú)限遠(yuǎn)⑶根軌跡數(shù)：三條本節(jié)返回3、三階系統(tǒng)Xr(s)Xc(s)本章返回⑷實(shí)軸上根軌跡：在0-1和-4

-∞之間有根軌跡。⑸分離點(diǎn)：s=-0.467，s=-2.87（省略）⑹漸近線：有n-m=3條漸近線。漸近線傾角：4.2根軌跡的繪制方法漸近線交點(diǎn)：⑹根軌跡與虛軸交點(diǎn)：特征方程：勞斯行列表：s314s2

5Kgs1(20-Kg)/50s0

Kg=0Kg=20，Kk=Kg/4=55s2+Kg=5s2+20=0得：s=2j二階系統(tǒng)中加入一個(gè)極點(diǎn)，隨著Kg的增大，根軌跡向右偏移并穿過(guò)虛軸，使系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定j2-j260

-60

-5/3-0.467-180

漸近線漸近線漸近線4、開環(huán)具有零點(diǎn)的三階系統(tǒng)Xr(s)Xc(s)其中Kg=K/TiT，-z1=-1/d，-p1=-1/T。(d=4T)本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法⑴起點(diǎn)：有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)-p0=-p1=0，-p2=-1/T；三條⑵終點(diǎn)：有一個(gè)有限零點(diǎn)-z1=-1/d，兩個(gè)無(wú)限零點(diǎn)。⑶實(shí)軸上根軌跡：在實(shí)軸上-1/T~-1/d之間有根軌跡。⑷漸近線：有2條漸近線繪制根軌跡做=1/2的阻尼線，求此時(shí)特征根(3個(gè))設(shè)d=4T漸近線

-1/T-1/4T0j60

-R1

▼▼-R2

▼-R3L1=L2L3l1求第3個(gè)特征根R3：由閉環(huán)特征方程：線性系統(tǒng)特征根之和等于特征方程中sn-1項(xiàng)系數(shù)特征根之積等于特征方程中常數(shù)項(xiàng)第二節(jié)根軌跡的繪制方法本節(jié)返回本章返回此時(shí)根軌跡放大系數(shù)Kg

系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K：本節(jié)返回本章返回由幅值條件：4.2根軌跡的繪制方法5、具有復(fù)數(shù)極點(diǎn)的四階系統(tǒng)Xr(s)Xc(s)本節(jié)返回本章返回

Kg=3Kk

4.2根軌跡的繪制方法⑴起點(diǎn)：四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)0，-3，-1j1；有4條根軌跡⑵終點(diǎn)：一個(gè)開環(huán)有限零點(diǎn)-2，3個(gè)無(wú)限零點(diǎn)。⑶實(shí)軸上根軌跡：在0~-2和-3~-∞之間有根軌跡。⑷漸近線：有3條漸近線4.2根軌跡的繪制方法⑸出射角：sc1=-26.6，sc2=26.6

本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法⑹根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程：s4+5s3+8s2+(6+Kg)s+2Kg=0s4182Kgs35（6+Kg）s28-(6+Kg)/52Kgs1(6+Kg)-10Kg/[8-(6+Kg)/5]0s02Kg

=0Kg=7，Kk=Kg/3=2.33[8-(6+Kg)/5]s2+2Kg=0得：s=j1.61

-3-2-10

▼▼-R4

-R3▼▼-R1-R260

-60

sc1=-26.6sc2=26.6-1.58-3.42=j1.61=-j1.61本節(jié)返回本章返回Kg=74.2根軌跡的繪制方法求根軌跡與虛軸相交時(shí)，另外兩個(gè)根R3、R4。即：R3=1.58，R4=3.42本節(jié)返回s4+5s3+8s2+(6+Kg)s+2Kg=0特征方程：本章返回R1+R2+R3+R4=(+j1.61)+(-j1.61)+R3+R4=5R1R2R3R4=(+j1.61)(-j1.61)R3R4=2Kg4.2.3零度根軌跡零度根軌跡：根軌跡的幅角條件滿足：

（=0，1，2，…）本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法常見于非最小相位系統(tǒng)正反饋系統(tǒng)參數(shù)根軌跡的根軌跡Xr(s)Xc(s)其中：閉環(huán)特征方程：D(s)-KgN(s)=s(s+p1)-Kg(s-z1)=0即：本節(jié)返回本章返回非最小相位系統(tǒng)幅值條件：同前述相同幅角條件：（=0，1，2，…）本節(jié)返回本章返回一般情況：4.2根軌跡的繪制方法零度根軌跡繪制方法：⑴起點(diǎn)和終點(diǎn)（相同）：起點(diǎn)p0=0,-p1=-1/T1，終點(diǎn)z1=1/Ta和無(wú)限零點(diǎn)。⑵根軌跡數(shù)（相同）：有兩條。⑶實(shí)軸上根軌跡（不同）：存在的條件：它右側(cè)的零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)即在0~-1/T1和1/Ta~∞之間存在根軌跡4.2根軌跡的繪制方法⑷分離點(diǎn)與匯合點(diǎn)（相同）——分離點(diǎn)——會(huì)合點(diǎn)復(fù)平面上的根軌跡是一個(gè)圓，圓心(1/Ta,0)，半徑4.2根軌跡的繪制方法⑸根軌跡與虛軸的交點(diǎn)（相同）特征方程：s(s+p1)-Kg(s-z1)=0s2+(p1-Kg)s+Kgz1=0勞斯表：s21Kgz1s1p1-Kg0s0Kgz1Kg=p1=1/T1

=0s2+Kgz1=0s2+p1z1=0本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法

-p1s1p0z1s2

j本節(jié)返回本章返回結(jié)論：Kg<1/T1，系統(tǒng)穩(wěn)定Kg=1/T1，臨界穩(wěn)定Kg>1/T1，不穩(wěn)定4.2根軌跡的繪制方法Kg=1/T1

Xr(s)Xc(s)s系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)=內(nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)本節(jié)返回本章返回4.2.4參數(shù)根軌跡（廣義根軌跡）

常義根軌跡：以Kg作為變量的根軌跡。

廣義根軌跡：以Kg以外的參數(shù)作為變量的根軌跡。例4-7已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，試以為變量繪制根軌跡。Xr(s)Xc(s)s系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)特征方程：等效開環(huán)傳遞函數(shù)：本節(jié)返回本章返回繪制以k為等效開環(huán)放大系數(shù)的根軌跡4.2根軌跡的繪制方法⑴起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡始于開環(huán)極點(diǎn):，本節(jié)返回本章返回根軌跡終止于有限零點(diǎn)s=0和一個(gè)無(wú)限零點(diǎn)。有兩條根軌跡。⑵實(shí)軸上根軌跡：在-∞~0之間有根軌跡。⑶匯合點(diǎn)4.2根軌跡的繪制方法（省略）根軌跡是一段圓弧，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為-p1-p2本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法問(wèn)題：取何值時(shí)，系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)？求根軌跡會(huì)合時(shí)的值若使系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)，的取值為：繪制廣義根軌跡，只要整理出系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)Weq，找到含有所研究參數(shù)的等效開環(huán)放大系數(shù)，即可把其轉(zhuǎn)換為常規(guī)根軌跡的繪制問(wèn)題得：本節(jié)返回本章返回例4-9已知試：繪制以為參數(shù)的根軌跡，并利用根軌跡分析取何值時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

解：閉環(huán)特征方程等效開環(huán)傳遞函數(shù)：零度根軌跡4.2根軌跡的繪制方法本節(jié)返回本章返回⑴起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡始于開環(huán)極點(diǎn)：s=0，s=-1/2根軌跡終止于有限零點(diǎn)s=1，無(wú)限遠(yuǎn)⑵實(shí)軸上根軌跡：在[-1/2，0]，[1~∞]⑶會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)分離點(diǎn)：會(huì)合點(diǎn)：4.2根軌跡的繪制方法本節(jié)返回本章返回閉環(huán)特征方程：(4)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)>>><系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)4.2根軌跡的繪制方法本節(jié)返回本章返回利用根軌跡分析系統(tǒng)穩(wěn)定性在根軌跡上確定特征根4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能本章返回利用根軌跡分析系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響開環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響開環(huán)傳遞函數(shù)繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡4.3.1在根軌跡上確定特征根已知Kg在根軌跡上確定特征根的位置分析系統(tǒng)的性能——穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能、暫態(tài)性能本節(jié)返回本章返回考慮閉環(huán)零點(diǎn)的作用4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能⑴在根軌跡上取一試點(diǎn)s0。⑵畫出s0與系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)的連線，量出各連線的長(zhǎng)度li,Lj。⑶把li,Lj代入幅值條件，求得Kg值。本節(jié)返回本章返回1、試探法（n-m>3）4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能有兩種方法試探法先確定實(shí)軸上的特征根，再確定復(fù)數(shù)根——幅值條件▼L2s0L4L3l1L1-p4–p3-z1-p2-p12、先確定實(shí)軸上的特征根（即選擇試點(diǎn)）再確定復(fù)數(shù)根（n-m≤3）若滿足——找到不滿足——重試（根據(jù)代數(shù)方程中根與系數(shù)的關(guān)系）Xr(s)

Xc(s)解：⑴確定根軌跡起點(diǎn)、終點(diǎn)和根軌跡數(shù)：

起始于開環(huán)極點(diǎn)0、-1、-4終止于開環(huán)無(wú)限零點(diǎn)，有三條實(shí)軸上根軌跡：在0~-1和-4~-∞之間有根軌跡試確定Kg=10的特征根。本節(jié)返回例4-8系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為：本章返回

與虛軸的交點(diǎn)：

閉環(huán)特征方程為：

s3+5s2+4s

+Kg=0

勞斯行列表：

s314

s2

5Kgs1

(20-Kg)/50s0

Kg本節(jié)返回分離點(diǎn)：

s1=-0.467，s2=-2.869(忽略)本章返回令5s2+Kg=5s2+20=0得：s=2jKg=20jKg=f(-)Kg10-1=-4.6=-0.2+j1.46=-0.2-j1.46-2+j-2-j▼▼-4-102j-2j▼本節(jié)返回本章返回4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能（Kg=20）（Kg=20）⑵確定Kg=10時(shí)實(shí)軸上特征根-1由作圖法確定Kg=10時(shí)，實(shí)軸上特征根-1

s=-=-4，Kg=0s=-=-4.5，Kg=7.875s=-=-4.7，Kg

=12.173s=-

=-5，Kg

=20

s=-

=-5.5，Kg

=37.125本節(jié)返回特征方程：s3+5s2+4s+Kg=0本章返回近似繪出Kg=f(-)曲線：

在-4~-∞之間取不同的試點(diǎn)s=-，代入特征方程中，求出對(duì)應(yīng)的Kg值。⑶確定復(fù)根根據(jù)代數(shù)方程中根與系數(shù)的關(guān)系：得：1+(2+j)+(2-j)=5,

1(2+j)(2-j)=10得：2

=0.2，

=1.46兩個(gè)復(fù)根分別為：-0.2+j1.46,-0.2-j1.46本節(jié)返回本章返回s3+5s2+4s+Kg=04.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能本章返回本節(jié)返回K*<48——穩(wěn)定K*=48——臨界穩(wěn)定K*>48——不穩(wěn)定條件穩(wěn)定系統(tǒng)

（

用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性）穩(wěn)定條件：本節(jié)返回本章返回典型二階系統(tǒng)：

特征方程繪制參數(shù)變化時(shí)的參數(shù)根軌跡：等效開環(huán)傳遞函數(shù)：起點(diǎn)（=0）：s1=+jn,s2=-jn，2條終點(diǎn)（）：s=0，負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)分離點(diǎn)：4.3.2用根軌跡法分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性本節(jié)返回本章返回<<▼▼-n

阻尼線阻尼角強(qiáng)強(qiáng)弱弱n無(wú)阻尼振蕩角頻率本節(jié)返回本章返回暫態(tài)過(guò)程主要取決于離虛軸近的極點(diǎn)當(dāng)R2≥6R1時(shí)，可忽略R2的影響-R2-R1▼▼單位階躍響應(yīng)為單指數(shù)上升1、閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn)2、閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)復(fù)極點(diǎn)單位階躍響應(yīng)為衰減振蕩特性離虛軸越近——震蕩越強(qiáng)-R1

-R2

▼▼本節(jié)返回本章返回討論：⑴n不變——系統(tǒng)的振蕩角頻率不變

↑→↓→特征根沿圓弧向虛軸靠近→振蕩加強(qiáng)

當(dāng)=90о，=0，特征根到達(dá)虛軸，等幅振蕩

↓→↑→特征根沿圓弧向?qū)嵼S靠近→振蕩減弱當(dāng)=0о，=1，特征根會(huì)合于實(shí)軸，單指數(shù)遞增

本節(jié)返回本章返回▼▼4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能強(qiáng)弱1

2

等阻尼比線等阻尼比線▼n▼n(慢)(快)-1n-1n本節(jié)返回本章返回同一條阻尼比線上的復(fù)極點(diǎn)具有相同的超調(diào)量，但響應(yīng)速度不同⑵不變——系統(tǒng)的振蕩強(qiáng)弱不變-2-1等衰減系數(shù)線等衰減系數(shù)線小——振蕩強(qiáng)大——振蕩弱本節(jié)返回▼▼本章返回4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能（3）n——衰減系數(shù)，有相同衰減系數(shù)的系統(tǒng)，將有相同的衰減速度和大致相同的調(diào)節(jié)時(shí)間3、閉環(huán)系統(tǒng)附加一個(gè)零點(diǎn)4、閉環(huán)系統(tǒng)附加一個(gè)實(shí)極點(diǎn)▼▼附加極點(diǎn)的作用：使系統(tǒng)相位滯后，相當(dāng)于增加阻尼比，超調(diào)量減小，但調(diào)節(jié)時(shí)間增長(zhǎng)-R-n-z-n▼▼附加零點(diǎn)的作用：使系統(tǒng)相位超前，相當(dāng)于減小阻尼比，超調(diào)量增加當(dāng)開環(huán)放大系數(shù)Kg≥Kl時(shí)，系統(tǒng)將變成不穩(wěn)定Kl

=6-2-1漸近線4.3.3開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響舉例說(shuō)明：系統(tǒng)增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)：s=-z⑴z>p2>p1

設(shè)z=3.6

-3.6-2-10漸近線-0.46Kl=10討論：0.3系統(tǒng)根軌跡向左偏移，臨界開環(huán)放大系數(shù)Kl有所增大，但性能改善不明顯，當(dāng)開環(huán)放大系數(shù)：Kg

≥

Kl時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。本節(jié)返回本章返回⑵p2>z>p1設(shè)z=1.6-0.8-0.54根軌跡繼續(xù)向左偏移，如果設(shè)計(jì)得當(dāng)，閉環(huán)系統(tǒng)有三個(gè)極點(diǎn)，一個(gè)實(shí)極點(diǎn)，兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，且共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)離虛軸較近，為主導(dǎo)極點(diǎn)，系統(tǒng)近似為二階欠阻尼系統(tǒng)性能

-2-1.6-10漸近線本節(jié)返回本章返回⑶p2>p1>z

設(shè)z=0.6-1.42-1.2根軌跡繼續(xù)向左偏離，當(dāng)設(shè)計(jì)得當(dāng)，系統(tǒng)可有一個(gè)實(shí)極點(diǎn)和兩個(gè)復(fù)數(shù)極點(diǎn)，而且實(shí)極點(diǎn)離虛軸較近，系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)的特性，表現(xiàn)為單調(diào)變化的趨勢(shì)。

-2-1-0.6