量子力學(xué)：02-波函數(shù)

1平面波與傅里葉變換（一）一、一維情況下的平面波《大學(xué)物理》振動(dòng)與波一維平面波

ψ

=Acos(xk-ωt)A－振幅，k－波矢，ω－頻率平面波用指數(shù)形式表示ψ=Aexp[i(xk-ωt)]=Aexp(ixk)exp(-iωt)只考慮空間：ψ=Aexp(ixk)只考慮時(shí)間：ψ=Aexp(-iωt)2平面波與傅里葉變換（二）二、平面波的速度V平面波

ψ

=Acos(xk-ωt)，(xk-ωt)－相位平面波的速度V,指的是相速，即相位為常數(shù)時(shí)對(duì)應(yīng)的速度(xk-ωt)=c,V=dx/dt=ω/k因ω=2πv,k=2π/λ,所以，V=vλ對(duì)于平面波，頻率v和波長(zhǎng)λ為常數(shù)結(jié)論：平面波的速度為常數(shù)3平面波與傅里葉變換（三）三、三維情況下的平面波一維情況下，平面波

ψ

=Acos(xk-ωt)三維情況下，x－k－平面波因

代表波傳播的方向，故平面波的必須為常量。反過(guò)來(lái)，速度v和波矢為常量的波必為平面波4平面波與傅里葉變換（四）四、傅里葉變換exp(ixk)是周期函數(shù)，函數(shù)f(x)可表示為（1）其中，F(xiàn)(k)稱為f(x)的傅里葉變換。因?yàn)棣?exp(ixk)代表平面波，故(1)式可看作將f(x)用平面波展開(kāi)，F(xiàn)(k)為其展開(kāi)系數(shù)5量子力學(xué)第二講不確定度關(guān)系波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)詮釋6第2講目錄一、不確定度關(guān)系（Theuncertaintyprinciple）二、量子力學(xué)討論的對(duì)象：波函數(shù)

三、自由粒子的波函數(shù)四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義五、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋及其性質(zhì)六、動(dòng)量分布概率七、再論不確定度關(guān)系7一、不確定度關(guān)系（1）

在經(jīng)典力學(xué)中，宏觀粒子在任何時(shí)刻都有完全確定的位置、動(dòng)量、能量等。然而，對(duì)于微觀粒子，其波動(dòng)性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于宏觀粒子，以致于它的某些成對(duì)的物理量（如位置坐標(biāo)和動(dòng)量、時(shí)間和能量等）不可能同時(shí)具有確定的量值。這就叫不確定度關(guān)系或測(cè)不準(zhǔn)原理。下面以電子單縫衍射為例討論這個(gè)問(wèn)題湯姆遜（1927）：電子圓孔衍射實(shí)驗(yàn)多晶鋁箔8一、不確定度關(guān)系（2）

電子可在縫寬范圍的任意一點(diǎn)通過(guò)狹縫，電子坐標(biāo)不確定量就是縫寬，電子在x方向的動(dòng)量不確定量:x入射電子束狹縫照相底版PPx9嚴(yán)格的理論給出的不確定性關(guān)系為：首先由海森堡給出(1927)海森堡不確定性關(guān)系(海森堡測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系)它的物理意義是，微觀粒子不可能同時(shí)具有確定的位置和動(dòng)量。粒子位置的不確定量越小，動(dòng)量的不確定量就越大，反之亦然。因此在某一時(shí)刻微觀粒子的位置和動(dòng)量不可能同時(shí)完全確定。軌道的概念已失去意義，經(jīng)典力學(xué)規(guī)律也不再適用。----------微觀粒子的“波粒二象性”的具體體現(xiàn)一、不確定度關(guān)系（3）Heinsenberg（1901-1976）10二、量子力學(xué)討論的對(duì)象：波函數(shù)（1）牛頓力學(xué)：質(zhì)點(diǎn)（經(jīng)典粒子）1、經(jīng)典物理討論對(duì)象：討論對(duì)象：質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)、動(dòng)量、能量等11二、量子力學(xué)討論的對(duì)象：波函數(shù)（2）電動(dòng)力學(xué)：電磁場(chǎng)（經(jīng)典波動(dòng)）討論對(duì)象：電磁場(chǎng)的波幅、波矢、能量等Maxwell方程組12二、量子力學(xué)討論的對(duì)象：波函數(shù)（3）

根據(jù)deBroglie的“波粒二象性”假設(shè)：一切實(shí)物粒子具有波粒二象性，即具有確定動(dòng)量和確定能量E

的實(shí)物粒子相當(dāng)于頻率為和波長(zhǎng)為的波。滿足deBroglie關(guān)系：量子力學(xué)：引入一個(gè)物理量——波函數(shù)：

波函數(shù)表征了粒子所具有的波粒二象性，完全描述了微觀體系的狀態(tài)。（量子力學(xué)基本假設(shè)之一）量子力學(xué)討論的對(duì)象是什么？13三、自由粒子的波函數(shù)（1）平面波與傅里葉變換的回顧只考慮一維空間情況下，平面波為：任意函數(shù)均可用展開(kāi)：為的Fourier變換特別地，若，有14三、自由粒子的波函數(shù)（2）自由粒子：指的是不受外力作用，靜止或勻速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)。因此，其能量

和動(dòng)量都是常量。根據(jù)deBroglie關(guān)系：可得與自由粒子對(duì)應(yīng)的物質(zhì)波的頻率和波長(zhǎng)為：和波矢定義為：所以看出自由粒子的頻率和波矢均為常量。改寫(xiě)deBroglie關(guān)系為15三、自由粒子的波函數(shù)（3）和

都為常量的波應(yīng)該是平面波，可用以下函數(shù)描述或代入deBroglie關(guān)系得到：即：自由粒子的波函數(shù)，它將粒子的波動(dòng)同其能量和動(dòng)量聯(lián)系了起來(lái)。它是時(shí)間和空間的函數(shù)。16三、自由粒子的波函數(shù)（4）

總結(jié)：由于自由粒子的能量和動(dòng)量為常量，根據(jù)deBroglie關(guān)系，其對(duì)應(yīng)物質(zhì)波的角頻率和波矢也為常量，根據(jù)經(jīng)典波動(dòng)理論，角頻率和波矢為常量的波為平面波，即：自由粒子的波函數(shù)為平面波：我和他怎么會(huì)是雙胞胎呢！17四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（1）

當(dāng)粒子受到外力的作用時(shí)，其能量和動(dòng)量不再是常量，因此波函數(shù)無(wú)法用平面波表示。用一般函數(shù)來(lái)表示問(wèn)題是：該如何理解波函數(shù)所代表的物理意義呢？經(jīng)典物理：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的物理意義：

電場(chǎng)強(qiáng)度的物理意義：18四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（2）波粒二象性一切實(shí)物粒子都具有波粒二象性！如何理解一個(gè)實(shí)物粒子具有波動(dòng)性？歷史上對(duì)粒子波動(dòng)性的認(rèn)識(shí)有兩種誤解：(1)波包說(shuō)：認(rèn)為粒子波就是粒子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，即將粒子看成是三維空間中連續(xù)分布的一種物質(zhì)波包。波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的運(yùn)動(dòng)速度。粒子的干涉和衍射等波動(dòng)性都源于這種波包結(jié)構(gòu)。(2)群體說(shuō)：認(rèn)為體現(xiàn)粒子波動(dòng)性的衍射行為是大量粒子相互作用或疏密分布而產(chǎn)生的結(jié)果。19四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（3）1、波包說(shuō)：波動(dòng)的強(qiáng)度空間分布只在有限區(qū)域內(nèi)不為零波包說(shuō)：認(rèn)為粒子波就是粒子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，即將粒子看成是三維空間中連續(xù)分布的一種物質(zhì)波包。波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的運(yùn)動(dòng)速度。20四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（4）一維自由粒子的波函數(shù)為：：自由粒子尺寸難道無(wú)限大？?jī)煞N選擇：1、自由粒子波函數(shù)是錯(cuò)的？！2、波包說(shuō)是錯(cuò)的？！21四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（5）一般粒子的波函數(shù)為：根據(jù)Fourier變換物理意義：波包可以看做各種波長(zhǎng)的平面波的疊加。定義群速，表示波包中心的移動(dòng)速度；

即，整個(gè)波包的移動(dòng)速度。若，即：則整個(gè)波包在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)發(fā)生擴(kuò)散。22四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（6）對(duì)于deBroglie波，有關(guān)系：根據(jù)波包說(shuō)：粒子為三維空間中連續(xù)分布的一種物質(zhì)波包，波包的大小即粒子的大小。由于，則波包會(huì)隨著運(yùn)動(dòng)發(fā)生擴(kuò)散，即：粒子的大小隨時(shí)間會(huì)變大。

難道電子會(huì)隨著時(shí)間“變胖”？23四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（7）波包說(shuō)的錯(cuò)誤之處在于：物質(zhì)波包的觀點(diǎn)夸大了波動(dòng)性的一面，抹殺了粒子性的一面，與實(shí)際不符。24四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（8）2、群體說(shuō)：認(rèn)為體現(xiàn)粒子波動(dòng)性的衍射行為是大量粒子相互作用或疏密分布而產(chǎn)生的結(jié)果。然而，電子衍射實(shí)驗(yàn)表明，就衍射效果而言：弱電子密度＋長(zhǎng)時(shí)間＝強(qiáng)電子密度＋短時(shí)間群體說(shuō)夸大了粒子性的一面，抹殺了波動(dòng)性的一面，與電子衍射實(shí)驗(yàn)不符。多晶鋁箔25四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（9）3、再論波粒二象性經(jīng)典粒子：哲學(xué)上是一個(gè)客體，強(qiáng)調(diào)了顆粒性或者是原子性！其運(yùn)動(dòng)時(shí)總是有一個(gè)確切的軌道。經(jīng)典波動(dòng)：強(qiáng)調(diào)了某種實(shí)在物理量的空間分布做周期性變化。26四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（10）

對(duì)于deBroglie物質(zhì)波（波函數(shù)），絕不能用經(jīng)典的概念生搬硬套來(lái)解釋。要想解釋deBroglie物質(zhì)波，我們必須重新認(rèn)識(shí)什么是“粒子性”和“波動(dòng)性”！deBroglie物質(zhì)波“粒子性”一個(gè)客體，強(qiáng)調(diào)得是顆粒性或者是原子性，但運(yùn)動(dòng)時(shí)確切的軌道必須拋棄?！安▌?dòng)性”強(qiáng)調(diào)得是波的相干疊加性，而不是某種實(shí)在物理量的空間分布做周期性變化27四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（11）28四、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義（12）4、統(tǒng)計(jì)詮釋：粒子的波粒二象性可以用波函數(shù)來(lái)表示：1926年，M.Born提出：波函數(shù)為刻畫(huà)粒子在空間的概率分布的概率波，表征了粒子出現(xiàn)在點(diǎn)附近的概率大小的一個(gè)量。M.Born（1882-1970）NobelPrizeinPhysics(1954)29五、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋及其性質(zhì)（1）1、統(tǒng)計(jì)詮釋的詳細(xì)表述：表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)附近的概率。

表示點(diǎn)處的體積元中找到粒子的概率。

表示在體積微元中找到粒子的概率。多晶鋁箔30五、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋及其性質(zhì)（2）2、統(tǒng)計(jì)詮釋下波函數(shù)的性質(zhì)：（1）歸一性：在全空間中找到粒子的概率為1（2）相對(duì)概率：對(duì)于概率分布，重要的是相對(duì)概率分布。和所描述的相對(duì)概率分布是完全相同的。例：在空間任意兩點(diǎn)和處，描述的相對(duì)概率為：31五、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋及其性質(zhì)（3）和（4）相位不定性:若，則：

對(duì)粒子在點(diǎn)附近出現(xiàn)概率的描述是相同的。這是因?yàn)?（3）波函數(shù)的常數(shù)因子不定性：設(shè)是一個(gè)常數(shù)，則：和對(duì)粒子在點(diǎn)附近出現(xiàn)概率的描述是相同的。32五、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋及其性質(zhì)（4）2、統(tǒng)計(jì)詮釋下對(duì)波函數(shù)的要求(1)、可積性(2)、歸一化(3)、單值性，要求

(4)、連續(xù)性33量子力學(xué)的基本假定之一基本假定Ⅰ：波函數(shù)假定微觀粒子的狀態(tài)可以被一個(gè)波函數(shù)完全描述，從這個(gè)波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個(gè)條件。說(shuō)明：波函數(shù)一般是粒子坐標(biāo)和時(shí)間的復(fù)函數(shù)，波函數(shù)的模方代表粒子空間分布的概率密度。34六、動(dòng)量分布概率（1）設(shè)，則表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)附近的概率。設(shè)，那么粒子具有動(dòng)量的概率如何表示？平面波的波函數(shù)為：任意粒子的波函數(shù)可以按此平面波做Fourier展開(kāi)：35六、動(dòng)量分布概率（2）可見(jiàn)，代表中含有平面波的成分，因此，應(yīng)該代表粒子具有動(dòng)量的概率。36七、再論不確定度關(guān)系（1）經(jīng)典粒子：可以同時(shí)具有確定的動(dòng)量和空間位置，即和可以同時(shí)成立。微觀粒子：和不能同時(shí)成立。例1：設(shè)一維自由粒子具有確定的動(dòng)量，即，其相應(yīng)的波函數(shù)為平面波已證明平面波故且37七、再論不確定度關(guān)系（2）例2：設(shè)一維粒子具有確定的位置，即，則其波函數(shù)為相應(yīng)的傅立葉變換為:38七、再論不確定度關(guān)系（3）例3：有限長(zhǎng)波列3