第3章-2定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)

3.2.3定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)

計(jì)算機(jī)中的兩種表示方式數(shù)值范圍：一種數(shù)據(jù)類型所能表示的最大值和最小值數(shù)據(jù)精度：實(shí)數(shù)所能表示的有效數(shù)字位數(shù)。數(shù)值范圍和數(shù)據(jù)精度均與使用多少位二進(jìn)制位數(shù)以及編碼方式有關(guān)。計(jì)算機(jī)用數(shù)字表示正負(fù)，隱含規(guī)定小數(shù)點(diǎn)。采用“定點(diǎn)”、“浮點(diǎn)”兩種表示形式。11.數(shù)的定點(diǎn)表示方法(1).定點(diǎn)整數(shù)——小數(shù)點(diǎn)位置固定在數(shù)的最低位之后

如：Dn-1Dn-2??????D1D0

.范圍：

2n-1-1

~

-2n-1(采用字長(zhǎng)n=16位補(bǔ)碼時(shí)其值為32767~-32768)(2).定點(diǎn)小數(shù)——小數(shù)點(diǎn)位置固定在數(shù)的符號(hào)位之后、數(shù)值最高位之前。如：D0.

D-1??????D-(n-2)D-(n-1)范圍：1-2-(n-1)~-1

(采用字長(zhǎng)n=16位時(shí)其值為32767/32768~-1)其中n表示字長(zhǎng)多少位2（1）浮點(diǎn)數(shù)的表示：是把字長(zhǎng)分成階碼和尾數(shù)兩部分。其根據(jù)就是：①JEm-2…….E0S

D-1……D-(n-1)

階符階碼值數(shù)符.尾數(shù)值

②SJEm-2…….E0D-1……D-(n-1)數(shù)符階符階碼值.尾數(shù)值

通常，階碼為補(bǔ)碼或移碼定點(diǎn)整數(shù)，尾數(shù)為補(bǔ)碼或原碼定點(diǎn)小數(shù)。2.數(shù)的浮點(diǎn)表示方法3（2）浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化目的：字長(zhǎng)固定的情況下提高表示精度的措施：1

增加尾數(shù)位數(shù)（但數(shù)值范圍減?。?

采用浮點(diǎn)規(guī)格化形式4規(guī)格化方法：調(diào)整階碼使尾數(shù)滿足下列關(guān)系：尾數(shù)為原碼表示時(shí)，無(wú)論正負(fù)應(yīng)滿足1/2<|d|<1即：小數(shù)點(diǎn)后的第一位數(shù)一定要為1。 正數(shù)的尾數(shù)應(yīng)為0.1x….x 負(fù)數(shù)的尾數(shù)應(yīng)為1.1x….x尾數(shù)用補(bǔ)碼表示時(shí)，小數(shù)最高位應(yīng)與數(shù)符符號(hào)位相反。 正數(shù)應(yīng)滿足1/2≦d<1，即0.1x….x 負(fù)數(shù)應(yīng)滿足-1/2>d≥-1，即1.0x….x5例題：設(shè)某機(jī)器用32位表示一個(gè)實(shí)數(shù)，階碼部分8位（含1位階符），用定點(diǎn)整數(shù)補(bǔ)碼表示；尾數(shù)部分24位（含數(shù)符1位），用規(guī)格化定點(diǎn)小數(shù)補(bǔ)碼表示，基數(shù)為2。則：1.求X=256.5的第一種浮點(diǎn)表示格式X=(256.5)10=+(100000000.1)2=+(0.1000000001x2+9)28位階碼為：（+9）補(bǔ)=0000100124位尾數(shù)為：(+0.1000000001)補(bǔ)

=0.10000000010000000000000所求256.5的浮點(diǎn)表示格式為：00001001

010000000010000000000000用16進(jìn)制表示此結(jié)果則為：(09402000)166

Y=-(256.5)10=-(100000000.1)2

=-0.1000000001x2+98位階碼為：(+9)補(bǔ)=0000100124位尾數(shù)為：(-0.1000000001)補(bǔ)=1.01111111110000000000000所求-256.5的浮點(diǎn)表示格式為：00001001

101111111110000000000000用16進(jìn)制表示此結(jié)果則為：(09BFE000)162.求Y=-256.5的第一種浮點(diǎn)表示格式7（3）溢出問(wèn)題定點(diǎn)數(shù)的溢出——根據(jù)數(shù)值本身判斷浮點(diǎn)數(shù)的溢出——根據(jù)規(guī)格化后的階碼判斷上溢——浮點(diǎn)數(shù)階碼大于機(jī)器最大階碼——中斷下溢——浮點(diǎn)數(shù)階碼小于機(jī)器最小階碼——零處理溢出的具體判斷方法將結(jié)合實(shí)例在后續(xù)課程中介紹8微機(jī)中所能表示的數(shù)值類型（1）無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)（字節(jié)、字和雙字）（2）帶符號(hào)的二進(jìn)制定點(diǎn)整數(shù)形式（16、32、64位補(bǔ)碼表示)和18位BCD碼整數(shù)形式(80bit)。（3）浮點(diǎn)數(shù)（IEEE754標(biāo)準(zhǔn)）包括數(shù)符S、階碼E和尾數(shù)D三個(gè)字段。9微機(jī)中的四種整數(shù)類型整數(shù)類型數(shù)值范圍精度格式16位整數(shù)-32768~32767二進(jìn)制16位補(bǔ)碼表示短整數(shù)-231~231-1二進(jìn)制32位補(bǔ)碼表示長(zhǎng)整數(shù)-263~263-1二進(jìn)制64位補(bǔ)碼表示BCD整數(shù)-1018+1~1018-1十進(jìn)制18位80個(gè)二進(jìn)制其中最左面1字節(jié)的最高位是符號(hào)位，余7位無(wú)效；另外72位是18位BCD碼，原碼表示。10IEEE754標(biāo)準(zhǔn)格式如下(-1)S2E(D0.D-1……D-(P-1))最高是數(shù)符S占1位，0表示正、1表示負(fù)；指數(shù)項(xiàng)E，基數(shù)是2，E是一個(gè)帶有一定偏移量的無(wú)符號(hào)整數(shù)；尾數(shù)部分D，它是一個(gè)帶有一位整數(shù)位的二進(jìn)制小數(shù)真值形式。其規(guī)格化形式應(yīng)調(diào)整階碼使其尾數(shù)整數(shù)位D0為1且與小數(shù)點(diǎn)一起隱含掉。1112微機(jī)中浮點(diǎn)數(shù)表示成規(guī)格化形式，如下圖所示：

單精度313023220符號(hào)位階碼尾數(shù)有效位

1·雙精度636252510符號(hào)位階碼尾數(shù)有效位

1·擴(kuò)展精度797864630符號(hào)位階碼尾數(shù)有效位

微機(jī)中浮點(diǎn)數(shù)的三種表示形式

13例如將十進(jìn)制數(shù)178.125表示成微機(jī)中的單精度浮點(diǎn)數(shù)解:178.125=10110010.001B=1.0110010001x27

指數(shù)E=7+127=134=10000110B127是單精度浮點(diǎn)數(shù)應(yīng)加的指數(shù)偏移量，其完整的浮點(diǎn)數(shù)形式為：01000011001100100010000000000000=43322000H

14例:將下面Pentium機(jī)中的單精度浮點(diǎn)數(shù)表示成十進(jìn)制真值是多少？

0011,1111,0101,1000,0000,0000,0000,0000數(shù)符:S=(-1)0=1（正號(hào)）階碼:E=(01111110)2-127=126-127=-1尾數(shù):D=(1.1011)2X=1.1011x2-1=(0.11011)2=0.84375153.2.4數(shù)字化信息的編碼及表示計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算，就必須首先實(shí)現(xiàn)數(shù)字化表達(dá)。另外由于計(jì)算機(jī)除了數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算外，還要進(jìn)行各種文字(特別是中文)的處理與編輯。因此，所有由計(jì)算機(jī)處理的信息也要用數(shù)字進(jìn)行編碼。這樣在物理機(jī)制上可以以數(shù)字信號(hào)表示.16信息的數(shù)字化表示形式數(shù)字信號(hào):是一種在時(shí)間上或空間上離散的信號(hào),單個(gè)信號(hào)是常用的二值邏輯(0或1),依靠多位信號(hào)組合表示廣泛的信息.171.用一串脈沖信號(hào)表示數(shù)字代碼

（先發(fā)低位后發(fā)高位為例）10110tU182.用一組電平信號(hào)表示數(shù)字代碼0tU10tU10tU00tU119

3.用一組數(shù)字代碼表示字符（如ASCII碼）4.用若干點(diǎn)的組合表示圖像（如圖形點(diǎn)陣碼）5.用數(shù)字信號(hào)表示聲音（如VCDDVD光盤(pán)）6.用數(shù)字代碼表示命令與狀態(tài)20數(shù)字化方法表示信息的優(yōu)點(diǎn):抗干擾能力強(qiáng),可靠性高;位數(shù)增多則數(shù)的表示范圍可擴(kuò)大;物理上容易實(shí)現(xiàn),并可存儲(chǔ);表示信息的范圍與類型極其廣泛;能用邏輯代數(shù)等數(shù)字邏輯技術(shù)進(jìn)行處理.213.3二進(jìn)制乘法運(yùn)算1.軟件編程方法實(shí)現(xiàn)(時(shí)序控制乘法器）

由手算到機(jī)器實(shí)現(xiàn)，要解決三個(gè)問(wèn)題：符號(hào)問(wèn)題、部分積相加進(jìn)位問(wèn)題、移位問(wèn)題。原碼乘法是先取絕對(duì)值相乘，再根據(jù)同號(hào)相乘為正、異號(hào)相乘位負(fù)，單獨(dú)決定符號(hào)位。補(bǔ)碼乘法則讓符號(hào)位直接參加運(yùn)算，算法將會(huì)復(fù)雜一些。2.硬件快速乘法器實(shí)現(xiàn)

利用中大規(guī)模集成電路芯片，在一拍節(jié)中實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)部分積的相加，成為陣列乘法器。

223.3.1定點(diǎn)數(shù)一位乘法

1.定點(diǎn)原碼一位乘規(guī)則:在機(jī)器中采用A,B,C寄存器來(lái)分別存放部分積，被乘數(shù)和乘數(shù)

（1）在機(jī)器內(nèi)一次加法操作只能求出兩數(shù)之和，因此每求得一個(gè)相加數(shù)時(shí)，就得與上次部分積相加。（2）人工計(jì)算時(shí)，相加數(shù)逐次向左偏移一位，由于最后的乘積位數(shù)是乘數(shù)（或被乘數(shù)）的兩倍.由于在求本次部分積時(shí)，前一次部分積的最低位，不再參與運(yùn)算，因此可將其右移一位。相加數(shù)可直送而不必偏移，于是用N位加法器就可實(shí)現(xiàn)兩個(gè)N位數(shù)相乘。（3）部分積右移時(shí)乘數(shù)寄存器同時(shí)右移一位，這樣可以用乘數(shù)寄存器的最低位來(lái)控制相加數(shù)（取被乘數(shù)或零），同時(shí)乘數(shù)寄存器的最高位可接收部分積右移出來(lái)的一位，因此，完成乘法運(yùn)算后，A寄存器中保存乘積的高位部分，乘數(shù)寄存器C中保存乘積的低位部分。23例:設(shè)X=0.1101,Y=0.1011,求X?Y.其中寄存器B=X,Cd=4.流程圖3.6計(jì)算過(guò)程如下:00000010110011010011010001101101001101010011001001111000000000100100010011110011010100010010001111+x右移一位→+x右移一位→+0右移一位→+x右移一位→部分積A乘數(shù)C乘積高位乘積低位1(丟失)1(丟失)0(丟失)1(丟失)X?Y=0.1000111124

注意：兩操作數(shù)的絕對(duì)值相乘，符號(hào)位單獨(dú)處理。寄存器A.B均設(shè)置雙符號(hào)位，第1符號(hào)位始終是部分積符號(hào)，決定在右移時(shí)第1符號(hào)位補(bǔ)0操作步數(shù)由乘數(shù)的尾數(shù)位數(shù)決定，用計(jì)數(shù)器Cd來(lái)計(jì)數(shù)。即作n次累加和移位。最后是加符號(hào)位，根據(jù)Sx⊕Sy決定。252.定點(diǎn)補(bǔ)碼一位乘法

實(shí)現(xiàn)補(bǔ)碼乘法有兩種方法，現(xiàn)在廣泛使用的是Booth算法，也稱為比較法。這種方法在機(jī)器實(shí)現(xiàn)中要在乘數(shù)末位Yi之后再增加一個(gè)附加位Yi+1,并令其初始值為0。然后根據(jù)比較Yi、Yi+1的值決定下一步操作，規(guī)則如下：(部分積初始為0)YiYi+1操作00原部分積右移一位01原部分積加X(jué)補(bǔ)后再右移一位10原部分積加[-X補(bǔ)]后再右移一位11原部分積右移一位26例3.35:設(shè)X=-0.1101,Y=0.1011,即[X]補(bǔ)=11.0011,[Y]補(bǔ)=0.1011,[-X]=00.1101求[X?Y]補(bǔ).計(jì)算過(guò)程如下:0000000.10110初始值,最后一位補(bǔ)0001101Y5Y4=01+[-X]補(bǔ)001101000110101011右移一位000000Y4Y3=11+0000110000011010101右移一位110011Y3Y2=10+[X]補(bǔ)110110111011001010右移一位001101Y2Y1=01+[-X]補(bǔ)001000000100000101右移一位110011Y1Y0=10+[X]補(bǔ)1101110001+→+→+→+→+部分積乘數(shù)YYiYi+1說(shuō)明乘積高位乘積低位[X?Y]補(bǔ)=1.01110001,X?Y=-0.1000111127

初始值與符號(hào)位：A寄存器存放部分累加和，初始為0，采用雙符號(hào)位。第1符號(hào)位指示累加和的正負(fù)，以控制右移時(shí)補(bǔ)0或補(bǔ)1。B中存放被乘數(shù)的補(bǔ)碼，雙符號(hào)位?；静僮鳎河肅寄存器最末兩位作判斷位，決定下一步的操作。移位:在右移時(shí)，第2符號(hào)位值移入位數(shù)的最高位，第1符號(hào)位值不變且移入第2符號(hào)位，而A寄存器末位移入C寄存器。步數(shù)與最后一步操作:乘數(shù)有效位是4位，共作5步。注意，最后一步不移位因?yàn)檫@一步是用來(lái)處理符號(hào)位的。

283.4.1定點(diǎn)除法運(yùn)算

1.定點(diǎn)原碼一位除法

有恢復(fù)余數(shù)法和不恢復(fù)余數(shù)法（加減交替法），計(jì)算機(jī)中常用后者。因?yàn)樗牟僮鞑襟E少，而且也不復(fù)雜。其處理思想是：先減后判，如減后發(fā)現(xiàn)不夠減，則在下一步改作加除數(shù)操作。這樣操作步驟固定易于編程。其要點(diǎn)如下：(1)要求被除數(shù)|X|<除數(shù)|Y|,并取原碼尾數(shù)的絕對(duì)值相除；符號(hào)位單獨(dú)處理，商的符號(hào)為相除兩數(shù)符號(hào)的半加和。（2）被除數(shù)的位數(shù)可以是除數(shù)的兩倍，其低位的數(shù)值部分開(kāi)始時(shí)放在商寄存器中。運(yùn)算中，放被除數(shù)和商的A、C寄存器同時(shí)移位，并將商寄存器C中最高位移到被除數(shù)寄存器A的最低位中。（3）每步操作后，可根據(jù)余數(shù)Ri符號(hào)來(lái)判斷是否夠減：Ri位正表明夠減，上商Q為1。Ri為負(fù)表明不夠減，上商Q為0。（4）基本操作可用通式描述為：Ri=2Ri+(1-2Qi)Y

(5原碼除的思想是先當(dāng)成正數(shù)相除，若最后一步所得余數(shù)為負(fù)，則應(yīng)恢復(fù)余數(shù)，但不移位，以保持Ri為正。舉例如下：29例3.39:設(shè)被乘數(shù)X=0.1011,Y=0.1101,用加減交替法求X/Y.

[-Y]補(bǔ)=11.0011,計(jì)算過(guò)程如下:00101100000開(kāi)始情形110011+[-Y]補(bǔ)11111000000不夠減,商上011110000000左移001101+Y00100100001夠減,商上101001000010左移110011+[-Y]補(bǔ)00010100011夠減,商上100101000110左移110011+[-Y]補(bǔ)11110100110不夠減,商上011101001100左移001101+Y00011101101夠減,商上1+)+)+)+)+)被除數(shù)(余數(shù)R)（被除數(shù))(商）操作說(shuō)明余數(shù)商X/Y=0.1101,余數(shù)=0.011130

A寄存器中開(kāi)始時(shí)存放被除數(shù)的絕對(duì)值，以后將存放各次余數(shù)，取雙符號(hào)位。B寄存器存放除數(shù)的絕對(duì)值，取雙符號(hào)位。C寄存器同來(lái)存放商，取單符號(hào)位。第一步操作：將被除數(shù)X視為初始余數(shù)R0,根據(jù)R0符號(hào)位正（絕對(duì)值），令商符為0，正是的商符以后再置入。第一步為-Y。商值則根據(jù)余數(shù)R0的符號(hào)來(lái)決定，正則商上1，求下一位商的辦法是余數(shù)左移一位再減去除數(shù)；當(dāng)余數(shù)為負(fù)則商上0，求下一位商的辦法是余數(shù)左移一位再加上除數(shù)。左移位時(shí)末位補(bǔ)0。操作步數(shù)與最后一步操作：如果要求得n位商（不含符號(hào)位），則需作n步“左移-加減”循環(huán)；若第n步余數(shù)為負(fù)，則需增加一步恢復(fù)余數(shù)，這增加的一步不移位。312.定點(diǎn)補(bǔ)碼一位除法（加減交替法）補(bǔ)碼除法規(guī)則表：X補(bǔ)、Y補(bǔ)、r補(bǔ)分別為被除數(shù)、除數(shù)和余數(shù)

X補(bǔ)Y補(bǔ)數(shù)符商符第一步操作r補(bǔ)Y補(bǔ)數(shù)符

上商下一步操作同號(hào)0減法同號(hào)（夠減）異號(hào)（不夠減）

102[ri]補(bǔ)--Y補(bǔ)2[ri]補(bǔ)+Y補(bǔ)異號(hào)1

加法同號(hào)（不夠減）異號(hào)（夠減）

102[ri]補(bǔ)--Y補(bǔ)2[ri]補(bǔ)+Y補(bǔ)32

以上是在|X|<|Y|即不溢出的前提下；（1）第一步如果被除數(shù)與除數(shù)同號(hào)，用被除數(shù)減去除數(shù)；若兩數(shù)異號(hào)，用被除數(shù)加上除數(shù)。如果所得余數(shù)與除數(shù)同號(hào)上商1，若余數(shù)與除數(shù)異號(hào)，上商0，該商即為結(jié)果的符號(hào)位。（2）求商的數(shù)值部分如果上次上商1，將余數(shù)左移一位后減去除數(shù)；如果上次上商0，將余數(shù)左移一位后加上除數(shù)。然后判斷本次操作后的余數(shù)，如果余數(shù)與除數(shù)同號(hào)上商1；若余數(shù)與除數(shù)異號(hào)上商0。如此重復(fù)執(zhí)行n-l次（設(shè)數(shù)值部分有n位）。（3）商的最后一位一般采用恒置1的辦法，井省略了最低位+1的操作，此時(shí)最大誤差為士2-n.如果對(duì)商的精度要求較高則可按規(guī)則（2）再進(jìn)行一次操作以求得商的第n位。當(dāng)除不盡時(shí)若商為負(fù)，要在商的最低一位加1，使商從反碼值轉(zhuǎn)變成補(bǔ)碼值;若商為正最低位不需要加1。33例3.40:設(shè)[X]補(bǔ)=1.0111,[Y]補(bǔ)=0.1101,求[X/Y]補(bǔ).

[-Y]補(bǔ)=11.0011,計(jì)算過(guò)程如下:[X/Y]補(bǔ)=1.010111011100000開(kāi)始情形001101兩數(shù)異號(hào)+[Y]補(bǔ)？書(shū)00010000001余數(shù)與除數(shù)同號(hào),商上100100000010左移110011上次商1,+[-Y]補(bǔ)11101100010余數(shù)與除數(shù)異號(hào),商上011011000100左移001101上次商0,+[-Y]補(bǔ)00001100101余數(shù)與除數(shù)同號(hào),商上100011001010左移110011上次商1,+[-Y]補(bǔ)11100101010余數(shù)與除數(shù)異號(hào),商上011001010101左移,商的最低位恒置1+)+)+)+)被除數(shù)(余數(shù))商操作說(shuō)明余數(shù)商34

例3.40最低位恒置1，余數(shù)不正確。A寄存器存放被除數(shù)（補(bǔ)碼），以后存放余數(shù)，取雙符號(hào)位。B寄存器存放除數(shù)（補(bǔ)碼），雙符號(hào)位。C寄存器存放商，初始值為0（未考慮商符之前），單符號(hào)位。如余數(shù)為0，則表示除盡。例3.41如采用商的最低位恒置1的方法，其誤差為2-n=2-4。補(bǔ)碼除法規(guī)則表補(bǔ)充說(shuō)明：1、表中i=0~n-1.2、上采用末位恒置1的方法，操作簡(jiǎn)便。如要提高精度，則要提高精度，則按上述規(guī)則多求一位，再采用以下方法對(duì)商進(jìn)行處理：兩數(shù)能除盡時(shí)，如除數(shù)為正，商不必加2-n,如除數(shù)為負(fù)，商加2-n；兩數(shù)除不盡時(shí)，如商為正，商不必加2-n,如商為負(fù)，商加2-n。35

例3.42[X]補(bǔ)=1.0111,[Y]補(bǔ)=1.0011,則[-Y]補(bǔ)=0.1101。求[X/Y]補(bǔ)=？被除數(shù)（余數(shù)）商操作說(shuō)明11。0111+00。1101兩數(shù)同號(hào)，+[-Y]補(bǔ)00。01000余數(shù)與除數(shù)異號(hào)，商0左移00。1000+11。0011+[Y]補(bǔ)11。101101同號(hào)，商1左移11。0110+00。1101+[-Y]補(bǔ)00。0011010異號(hào)，商0左移00。0110+11。0011+[Y]補(bǔ)11。10010101同號(hào)，商1左移11。0010+00。1101+[-Y]補(bǔ)11。111101011同號(hào)，商1[X/Y]補(bǔ)=0.1011[余數(shù)]補(bǔ)=1。1111x2-4

363.5浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算方法浮點(diǎn)數(shù)的表示形式（以2為底）：N=M·2E其中，M為浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)，一般為絕對(duì)值小于1的規(guī)格化二進(jìn)制小數(shù)用原碼或補(bǔ)碼形式表示；E為浮點(diǎn)數(shù)的階碼，一般是用移碼或補(bǔ)碼表示的整數(shù)。階碼的底除了2以外，還有用8或16表示的，這里先以2為底進(jìn)行討論。然后再簡(jiǎn)介以8或16為底的數(shù)的運(yùn)算。371.加、減法運(yùn)算兩數(shù)首先均為規(guī)格化數(shù)，在進(jìn)行規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算需經(jīng)過(guò)五步完成：對(duì)階操作：低階向高階補(bǔ)齊，使階碼相等；尾數(shù)運(yùn)算：階碼對(duì)齊后直接對(duì)尾數(shù)運(yùn)算；結(jié)果規(guī)格化：對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行規(guī)格化處理；(使補(bǔ)碼尾數(shù)的最高位和尾數(shù)符號(hào)相反)如溢出則需左規(guī)，如不是規(guī)格化時(shí)應(yīng)右規(guī)。舍入操作：丟失位進(jìn)行0舍1入或恒置1處理；判斷溢出：判斷階碼是否溢出，下溢則將運(yùn)算結(jié)果置0，上溢則中斷。38具體說(shuō)明如下：

對(duì)階運(yùn)算(小階向大階對(duì)齊)尾數(shù)為原碼時(shí),尾數(shù)右移,符號(hào)位不動(dòng),最高位補(bǔ)0尾數(shù)為補(bǔ)碼時(shí),尾數(shù)右移,符號(hào)也移位,最高位補(bǔ)符號(hào)位例如：求 =?小階對(duì)大階舍掉的是如大階對(duì)小階則舍掉的是39

規(guī)格化：原碼尾數(shù)高位為1，補(bǔ)碼與符號(hào)相反舍入操作：0舍1入或恒置1例1：求 =?0舍1入后為恒置1例2：求=?0舍1入后為恒置1判斷結(jié)果的正確性(即結(jié)果的階碼是否溢出)40例:假設(shè)

其中指數(shù)和小數(shù)均為二進(jìn)制真值,求X+Y=?其階碼4位(含階符),補(bǔ)碼表示;尾數(shù)6位,補(bǔ)碼表示,尾數(shù)符號(hào)在最高位,尾數(shù)數(shù)值5位。解:尾符階碼尾數(shù)5位[X]浮=0001011010[Y]浮=1001100010對(duì)階[X]浮=0001101101尾數(shù)求和00.01101+11.00010=11.01111[X]浮+[Y]浮=1001101111規(guī)格化、舍入操作、階碼溢出判斷，最后： [X+Y]真=41例:假設(shè)其中指數(shù)和小數(shù)均為二進(jìn)制真值,求X-Y。其階碼4位(含階符),補(bǔ)碼表示;尾數(shù)6位,補(bǔ)碼表示,尾數(shù)符號(hào)在最高位,尾數(shù)數(shù)值5位

解:尾符階碼尾數(shù)[X]浮=0001011010[Y]浮=1001100010對(duì)階[X]浮=0001101101尾數(shù)求差：[X尾-Y尾]補(bǔ)=[X尾]補(bǔ)+[-Y尾]補(bǔ)=00.01101+00.11110=01.01011規(guī)格化處理、舍入操作均不需要，階碼溢出檢查：尾數(shù)符號(hào)位為01,尾數(shù)發(fā)生上溢出，做規(guī)格化處理尾數(shù)連同符號(hào)右移一位00.101011，階碼加1至0100舍入操作恒置1后：[X]浮-[Y]浮=0010010101

[X-Y]真=

423.5.2浮點(diǎn)數(shù)的乘、除法運(yùn)算兩浮點(diǎn)數(shù)相乘其乘積的階碼為相乘兩數(shù)階碼之和,其尾數(shù)應(yīng)為相乘兩數(shù)的尾數(shù)之積。兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)相除，商的階碼為被除數(shù)的階碼減去除數(shù)的階碼得到的差，尾數(shù)為被除數(shù)的尾數(shù)除以除數(shù)的尾數(shù)所得的商。參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)都為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)，乘除運(yùn)算都可能出現(xiàn)結(jié)果不滿足規(guī)格化要求的問(wèn)題，因此也必須進(jìn)行規(guī)格化、舍入和判溢出等操作。規(guī)格化時(shí)要修改階碼。43

.浮點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算（階碼的底為8或16）前面的討論，是以階碼值的底為2來(lái)進(jìn)行的。為了用相同位數(shù)的階碼表示更大范圍的浮點(diǎn)數(shù)，在一些計(jì)算機(jī)中也有選用階碼的底為8或16的。此時(shí)浮點(diǎn)數(shù)N被表示成N=8E·M或N=16E·M階碼E和尾數(shù)M還都是用二進(jìn)制表示的，其運(yùn)算規(guī)則與階碼以2為底基本相同，但關(guān)于對(duì)階和規(guī)格化操作有新的相應(yīng)規(guī)定。當(dāng)階碼以8為底時(shí)，只要尾數(shù)滿足1／8≤M＜l或一1≤M〈一1／8就是規(guī)格化數(shù)。執(zhí)行對(duì)階和規(guī)格化操作時(shí)，每當(dāng)階碼的值增或減1，尾數(shù)要相應(yīng)右移或左移三位。當(dāng)階碼以16為底時(shí)，只要尾數(shù)滿足1／16《M＜1或一1《M＜一1／16就是規(guī)格化數(shù)。執(zhí)行對(duì)階和規(guī)格化操作時(shí)，階碼的值增或減1，尾數(shù)必須移四位。判別為規(guī)格化數(shù)或?qū)崿F(xiàn)規(guī)格化操作，均應(yīng)使數(shù)值的最高三項(xiàng)（以8為底）或四位（以16為底）中至少有一位與符號(hào)位不同。5浮點(diǎn)數(shù)除法運(yùn)算步驟與乘法運(yùn)算類似，也分求商的階碼、尾數(shù)相除、規(guī)格化、舍入和判溢出5個(gè)步驟，不再詳細(xì)討論。443.6運(yùn)算部件

1.定點(diǎn)運(yùn)算部件定點(diǎn)運(yùn)算部件由算術(shù)邏輯運(yùn)算部件ALU、若干個(gè)寄存器、移位電路、計(jì)數(shù)器、門(mén)電路等組成。ALU部件主要完成加減法算術(shù)運(yùn)算及邏輯運(yùn)算（其功能可參考242節(jié)），其中還應(yīng)包含有快速進(jìn)位電路。2.浮點(diǎn)運(yùn)算部件通常由階碼運(yùn)算部件和尾數(shù)運(yùn)算部件組成。其各自的結(jié)構(gòu)與定點(diǎn)運(yùn)算部件相似。但階碼部分僅執(zhí)行加減法運(yùn)算。其尾數(shù)部分則執(zhí)行加減乘除運(yùn)算，左規(guī)時(shí)有時(shí)需要左移多位。為加速移位過(guò)程，有的機(jī)器設(shè)置了可移動(dòng)多位的電路。453.7計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)校驗(yàn)方法

采用冗余校驗(yàn)方法：即在基本的有效數(shù)據(jù)外，再擴(kuò)充部分位，增加部分（冗余部分）被稱為校驗(yàn)位。將校驗(yàn)位與數(shù)據(jù)位一起按某種規(guī)則編碼，寫(xiě)入存儲(chǔ)器或向外發(fā)送。當(dāng)從存儲(chǔ)器讀出或接收到外部傳入的代碼時(shí)，再按相應(yīng)的規(guī)則進(jìn)行判讀。若約定的規(guī)則被破壞，則表示出現(xiàn)錯(cuò)誤。根據(jù)錯(cuò)誤的特征進(jìn)行修正恢復(fù)。46幾個(gè)名詞概念：碼字：由若干代碼組成的一個(gè)字。如8421碼中6（0110），7（0111）碼距：一種碼制中任意兩個(gè)碼字間的最小距離。距離：兩個(gè)碼字之間不同的代碼個(gè)數(shù)。8421碼中，最小的碼距為1，如0000和0001、0010和0011等；最大碼距為4，如0111和1000。8421碼的碼距為1。碼距為1，即不能查錯(cuò)也不能糾錯(cuò)。碼距越大，查錯(cuò)、糾錯(cuò)能力越強(qiáng)。473.7.1奇偶校驗(yàn)法

奇偶校驗(yàn)法是計(jì)算機(jī)中廣泛采用的檢查傳輸數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性的方法。奇偶校驗(yàn)法的原理是：在每組數(shù)據(jù)信息上附加一個(gè)校驗(yàn)位，校驗(yàn)位的取值（0或1）取決于這組信息中‘1’的個(gè)數(shù)和校驗(yàn)方式（奇或偶校驗(yàn)）。如果采用奇校驗(yàn)，則這組數(shù)據(jù)加上校驗(yàn)碼位后數(shù)據(jù)中‘1’的個(gè)數(shù)應(yīng)為奇數(shù)個(gè)。如果采用偶校驗(yàn)，則這組數(shù)據(jù)加上校驗(yàn)碼位后數(shù)據(jù)中‘1’的個(gè)數(shù)應(yīng)為偶數(shù)個(gè)。48例如：八位信息‘10101011’中共有5個(gè)‘1’，附加校驗(yàn)位后變?yōu)榫盼弧Ｈ舨捎闷嫘ｒ?yàn)，則附加的校驗(yàn)位應(yīng)取‘0’值，保證1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)即010101011；若采用偶校驗(yàn)則附加的校驗(yàn)位應(yīng)取‘1’值即110101011。奇偶校驗(yàn)的特點(diǎn)：1、奇偶校驗(yàn)法使數(shù)據(jù)的碼距為2，因而可檢出數(shù)據(jù)傳送過(guò)程中奇數(shù)個(gè)數(shù)位出錯(cuò)的情況；2、實(shí)際中兩位同時(shí)出錯(cuò)的概率極低，奇偶校驗(yàn)法簡(jiǎn)便可靠易行，但它只能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，卻不知錯(cuò)在何處，因而不能自動(dòng)糾正。49偶校驗(yàn)出錯(cuò)奇校驗(yàn)出錯(cuò)偶形成奇形成D校為校驗(yàn)位D校D1D2D3D4D5D6D7D88位數(shù)據(jù)的奇偶校驗(yàn)碼形成電路及檢碼電路503.7.2海明碼校驗(yàn)方法海明碼校驗(yàn)方法以奇偶校驗(yàn)法為基礎(chǔ)，其校驗(yàn)位不是一個(gè)而是一組，故其碼距大于2。海明碼校驗(yàn)方法能夠檢測(cè)出具體錯(cuò)誤并糾正。原理是在數(shù)據(jù)中加入r個(gè)校驗(yàn)位，將數(shù)據(jù)的碼距按照一定規(guī)則拉長(zhǎng)。r個(gè)校驗(yàn)位可以表示2r個(gè)信息，除一個(gè)表示無(wú)誤信息外，其余2r-1信息可以用來(lái)標(biāo)明錯(cuò)誤的具體位置，但由于校驗(yàn)位本身也可能在傳送中出錯(cuò)，所以只有2r-1-r個(gè)信息可用，即r位校驗(yàn)碼只可標(biāo)明2r-1-r個(gè)錯(cuò)誤信息。或2r≧k+r+1k是被傳送數(shù)據(jù)的位數(shù)。

例如：用4個(gè)校驗(yàn)位能可靠傳輸24-1-4=11位信息；而要校驗(yàn)32位數(shù)據(jù)則需至少6個(gè)校驗(yàn)位。51

如要能檢測(cè)與自動(dòng)校正一位錯(cuò)井發(fā)現(xiàn)兩位錯(cuò)此時(shí)校驗(yàn)位的位數(shù)r和數(shù)據(jù)位的位數(shù)k應(yīng)滿足下述關(guān)系：2r-1≧k+r（3.19）按式（3.19），可計(jì)算出數(shù)據(jù)位k與校驗(yàn)位r的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如教材表3.8所示。52一、編碼方法（以四個(gè)校驗(yàn)位進(jìn)行說(shuō)明）

四個(gè)校驗(yàn)位最多可以校驗(yàn)11位數(shù)據(jù)。設(shè)： D10D9D8D7D6D5D4D3D2D1D0為11個(gè)數(shù)據(jù)位， P4P3P2P1分別為四個(gè)校驗(yàn)碼，則編碼規(guī)則是：海明碼的總位數(shù)等于數(shù)據(jù)位與校驗(yàn)位之和；每個(gè)校驗(yàn)位Pi排放在2i-1的位置，例如P4排放在第24-1=8位，其余數(shù)據(jù)位依序排列。即：

D10D9D8D7D6D5D4P4D3D2D1P3D0P2P1海明碼的每一位用多個(gè)校驗(yàn)位一起進(jìn)行校驗(yàn)，被校驗(yàn)的位號(hào)等于校驗(yàn)它的各校驗(yàn)位位號(hào)和；各校驗(yàn)位的值為它參與校驗(yàn)的數(shù)據(jù)位的異或。53

海明碼校驗(yàn)表海明碼位號(hào)參與校驗(yàn)的校驗(yàn)位位號(hào)參與的校驗(yàn)位H1P11P1H2P22P2H3D02,1(3=2+1)P2P1H4P34P3H5D14,1(5=4+1)P3,P1H6D24,2(6=4+2),P3,P2H7D34,2,1(7=4+2+1)P4,P3,P2,P1H8P48P4H9D48,1(8=8+1)P4,P1H10D58,2(10=8+2)P4,P2H11D68,2,1(11=8+2+1)P4,P2,P1H12D78,4(12=8+4)P4,P3H13D88,4,1(13=8+4+1)P4,P3,P1H14D98,4,2(14=8+4+2)P4,P3,P2H15D108,4,2,1(15=8+4+2+1)P4,P3,P2,P154

各校驗(yàn)位形成公式：

P1=D0⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6⊕D8⊕D10(1)P2=D0⊕D2⊕D3⊕D5⊕D6⊕D9⊕D10(2)P3=D1⊕D2⊕D3⊕D7⊕D8⊕D9⊕D10(3)P4=D4⊕D5⊕D6⊕D7⊕D8⊕D9⊕D10(4)按上述方式Pi的取值是采用偶校驗(yàn)時(shí)的取值，當(dāng)采用奇校驗(yàn)時(shí)，Pi則取反。這樣Pi連同數(shù)據(jù)位一起形成了海明碼的各位。

55二、檢查糾錯(cuò)（以四個(gè)校驗(yàn)位進(jìn)行說(shuō)明）

海明碼數(shù)據(jù)傳送到接收方后，再將各校驗(yàn)位的值與它所參與校驗(yàn)的數(shù)據(jù)位的異或結(jié)果進(jìn)行異或運(yùn)算。運(yùn)算結(jié)果稱為校驗(yàn)和。校驗(yàn)和共有四個(gè)。對(duì)偶校驗(yàn)來(lái)說(shuō)，如果校驗(yàn)和不為零則傳輸過(guò)程中間有錯(cuò)誤。而錯(cuò)誤的具體位置則由四個(gè)校驗(yàn)和依序排列后直接指明。如果四個(gè)校驗(yàn)和

S4S3S2S1依序排列后等于(1001)2=(9)10時(shí)，就表明海明碼的第九位也就是D4發(fā)生了錯(cuò)誤，此時(shí)只要將D4取反，也就糾正了錯(cuò)誤。56

校驗(yàn)和Si的表達(dá)式：S1=D0⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6⊕D8⊕D10⊕P1

S2=D0⊕D2⊕D3⊕D5⊕D6⊕D9⊕D10⊕P2S3=D1⊕D2⊕D3⊕D7⊕D8⊕D9⊕D10⊕P3S4=D4⊕D5⊕D6⊕D7⊕D8⊕D9⊕D10⊕P4當(dāng)采用偶校驗(yàn)方式其傳送數(shù)據(jù)正確時(shí)，校驗(yàn)和S1~S4的值分別都為0；當(dāng)采用奇校驗(yàn)方式其傳送數(shù)據(jù)正確時(shí)，校驗(yàn)和S1~S4的值分別都為1。當(dāng)不為上述值時(shí)，傳送就發(fā)生了錯(cuò)誤。

57解：已知D10D9D8D7D6D5D4D3D2D1D0=10110100110由于被校驗(yàn)位的位號(hào)等于校驗(yàn)它的各校驗(yàn)位位號(hào)之和以及各校驗(yàn)位的取值等于它參與校驗(yàn)的數(shù)據(jù)位取值的異或。所以校驗(yàn)位的取值以及所求海明碼為： P1=D0D1

D3

D4

D6

D8

D10=1 P2=D0

D2

D3

D5

D6

D9

D10=1 P3=D1

D2

D3

D7

D8

D9

D10=1 P4=D4

D5

D6

D7

D8

D9

D10=0D10D9D8D7D6D5D4P4D3D2D1P3D0P2P1=101101000111011傳送正確時(shí)校驗(yàn)和的值為0，如果不等于0，則是幾就是第幾位出錯(cuò)，是7則是第7位D3出錯(cuò)，此時(shí)將其取反即可糾正錯(cuò)誤。例題：采用4位校驗(yàn)位、偶校驗(yàn)方式，寫(xiě)出10110100110的海明碼。58

59

以上圖3.11是H=12，數(shù)據(jù)位k=8，校驗(yàn)位r=4的海明校驗(yàn)線路，記作（l2.8）分組碼。圖3.ll中的H12,H11,...,H1是被校驗(yàn)碼，D8,D7,...，D1是糾正后的數(shù)據(jù)。在線路中，先用奇偶形成線路得到S4,S3,S2,S1，如果S4～S1為全“0”，說(shuō)明代碼無(wú)錯(cuò)，則D8D7...DI=H12H11H10H9H7H6H5H3。如果S4～S1不為全0，說(shuō)明有錯(cuò)