第2節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布律

離散型隨機(jī)變量分布律的定義離散型隨機(jī)變量表示方法幾種常見分布小結(jié)第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布律

從中任取3個(gè)球取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每個(gè)值的概率為:看一個(gè)例子一、離散型隨機(jī)變量分布律的定義定義1：某些隨機(jī)變量X的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無限多個(gè),這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量

.其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）

定義2：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機(jī)變量X的分布律.用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是分布律解:依據(jù)分布律的性質(zhì)P(X=k)≥0,

a≥0,從中解得即例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.二、離散型隨機(jī)變量表示方法（1）公式法（2）列表法或例3

某籃球運(yùn)動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解：X可取值為0,1,2;

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81常常表示為：這就是X的分布律.例4

某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X

的分布律.解:顯然，X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,為計(jì)算P{X=k}，k=1,2,…，Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設(shè)于是可見這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律.例5一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個(gè)信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號燈顯示的時(shí)間相等.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)，求X的分布律.解:依題意,X可取值0,1,2,3.

P{X=0}=P(A1)=1/2,Ai={第i個(gè)路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)路口3路口2路口1P{X=1}=P()=1/4

P{X=2}=P()=1/8X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)路口3路口2路口1路口3路口2路口1=1/8P(X=3)=P()路口3路口2路口1即X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值,它的分布律為則稱X服從(0—1)分布或兩點(diǎn)分布.1.兩點(diǎn)分布三、幾種常見分布例6“拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況.隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.其分布律為例7200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.

兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說明2.等可能分布如果隨機(jī)變量X的分布律為例拋擲骰子并記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X,則有看一個(gè)試驗(yàn)將一枚均勻骰子拋擲3次.X的分布律是：3.伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)分布令X表示3次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù)擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)E中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果：A

或.這樣的試驗(yàn)E稱為伯努利試驗(yàn)

.“重復(fù)”是指這n次試驗(yàn)中P(A)=p保持不變.

將伯努利試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次,則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).“獨(dú)立”是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響.用X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則且兩兩互不相容.易證：（1）（2）稱這樣的分布為二項(xiàng)分布.記為二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布的圖形例8

已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率.解:因?yàn)檫@是有放回地取3次，因此這3次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努里試驗(yàn).依題意，每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05.設(shè)X為所取的3個(gè)中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X~b(3,0.05)，若將本例中的“有放回”改為”無放回”,那么各次試驗(yàn)條件就不同了,此試驗(yàn)就不是伯努利試驗(yàn).此時(shí),只能用古典概型求解.請注意：伯努利試驗(yàn)對試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；二項(xiàng)分布描述的是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的分布律.（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或，（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.可以簡單地說，且P(A)=p，；例9

某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率.解:設(shè)X為三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)已壞的燈泡數(shù).X~b(3,0.8)，把觀察一個(gè)燈泡的使用時(shí)數(shù)看作一次試驗(yàn),“使用到1000小時(shí)已壞”視為事件A.每次試驗(yàn),A出現(xiàn)的概率為0.8

P{X1}=P{X=0}+P{X=1}=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104分析

這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.例10解圖示概率分布注意：P(X=4)最大。一般地，若在k0處，概率P{X=k}達(dá)到最大（稱k0為隨機(jī)變量X的最可能值）。則k0應(yīng)滿足解上述不等式得(n+1)p-1≤k0≤(n+1)p。因?yàn)閗0必須為整數(shù)，所以當(dāng)(n+1)p為整數(shù)，其它，本例中，n=20，p=0.2,所以，(n+1)p=4.2,故k0=4。例11設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨(dú)立的發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由四人維護(hù),每人負(fù)責(zé)20臺;其二是由3人共同維護(hù)臺80.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.解按第一種方法發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”,而不能及時(shí)維修的概率為則知80臺中發(fā)生故障故有即有

按第二種方法故80臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為4.泊松分布

同樣地，解如下不等式得-1≤k0≤。因?yàn)閗0必須為整數(shù)，所以泊松分布的最可能取值為當(dāng)為整數(shù)，其它，泊松分布的圖形泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí),他們做了2608次觀察(每次時(shí)間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水,則對固定的k，有設(shè)Possion定理:Poisson定理說明若X~b(n,p),則當(dāng)n較大，p較小,而適中,則可以用近似公式

歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的.二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系證

記二項(xiàng)分布

泊松分布例12一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解:設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)λ=5的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件,求滿足P{X≤m}>0.95的最小的m.進(jìn)貨數(shù)銷售數(shù)求滿足P{X≤m}>0.95的最小的m.查泊松分布表得P{X>m}≤0.05也即于是得m+1=10,m=9件或例13獨(dú)立射擊5000次,命中率為0.001,解

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；命中次數(shù)不少于1次的概率.(至少命中1次的概率)

(2)令X表示命中次數(shù),則X~b(5000,0.001)解令X表示命中次數(shù),則

令

此結(jié)果與用二項(xiàng)分布算得的結(jié)果0.9934僅相差萬分之一.利用Poisson定理再求例12

(2)X~b(5000,0.001)由此可見日常生活中“提高警惕,防火防盜”的重要性.由于時(shí)間無限,自然界發(fā)生地震、海嘯、空難、泥石流等都是必然的，早晚的事，不用奇怪，不用驚慌.

同樣,由于人的一生是一個(gè)漫長的過程，在人的一生中發(fā)生車禍、失戀、患絕癥、考試不及格、炒股大虧損等都屬于正常現(xiàn)象,大可不必怨天尤人,更不要想不開而跳樓自殺.小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù)多了，就成大概率事件.本例啟示其它離散分布：幾何分布：