圖像處理第4章 頻域圖像增強

為了有效和快速地對圖象進行處理，常常需要將原定義在圖象空間的圖象以某種形式轉換到另外一些空間，并利用在這些空間的特有性質方便地進行一定的加工最后，再轉換回圖象空間以得到所需的效果。第四章頻域圖像增強變換增強反變換原始圖增強圖常用的變換空間是頻域空間，采用傅里葉變換。章節(jié)安排1頻域技術的原理和增強步驟2傅里葉變換及其性質，應用3低通濾波和高通濾波4帶通和帶阻濾波器5同態(tài)濾波器4.1頻域技術原理濾波器的作用就是要確定其可以濾除的頻率和可以保留的頻率。有些在圖像空間比較難以表達的圖像增強任務可以簡單地在頻域中表述，所以在頻域設計濾波器更直接。

設函數(shù)f(x,y)與線性位不變算子h(x,y)的卷積結果是g(x,y)，即g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)，那么根據(jù)卷積定理在頻域有：

G(u,v)=H(u,v)F(u,v)

其中G(u,v)，H(u,v)，F(xiàn)(u,v)分別是對應g(x,y)，h(x,y)，f(x,y)的傅里葉變換。用線性系統(tǒng)理論的話來說，H(u,v)是轉移函數(shù)（4.1.2）

如果將圖像從圖像空間轉換到頻域空間所需的變換用T表示(反變換用T-1表示)，將在頻域空間對圖像進行增強加工的操作仍用EH表示,則要將f(x,y)增強成g(x,y)可表示為：

1頻域增強步驟步驟：

(1)

轉換到頻域

(2)

在頻域增強 (3)

轉換回空域由式（4.1.2）算出G(.)后得到g(.)G(u,v)=H(u,v)F(u,v)轉移函數(shù)H的設計思路是允許一定頻率通過，限制或消除另外頻率，

根據(jù)以上討論，在頻域中進行增強的操作相當直觀，

其3個步驟為：（1）計算需增強圖像的傅里葉變換（即F）；（2）將其與一個（根據(jù)需要設計的）轉移函數(shù)（即H）相乘;（3）再將結果進行傅里葉反變換以得到增強的圖像.2頻域和空域技術的關系兩者聯(lián)系：

1.頻域中的濾波器的轉換函數(shù)和空域中的脈沖響應函數(shù)或點擴散函數(shù)構成傅里葉變換對，所以空域濾波與頻域濾波有對應的關系；2.實際上可先在頻域對濾波器進行設計，然后對其進行反變換，得到空域中對應的濾波器，再借此結果指導對空域濾波器模板設計。兩者區(qū)別：1.空域技術只是基于圖像中該部分像素的性質，而頻域技術每次都利用圖像中所有像素的數(shù)據(jù)。2.空域濾波在具體實現(xiàn)上和硬件設計時都有一些優(yōu)點。在空域常可以使用較小的濾波器來取得與頻域使用較大的濾波器相似的濾波效果，計算量也可能較小。4.2傅里葉變換1、變換定義：{將圖像從圖像空間變換到頻率空間，利用傅里葉頻譜特性進行圖像處理}正傅里葉變換：反傅里葉變換：(令u=v=0)比較2-D離散函數(shù)平均值：即一個2-D離散函數(shù)的傅里葉變換在原點的值（零頻率分量）與該函數(shù)的均值成正比4.2.12-D傅里葉變換頻譜、角相位、功率譜的定義如下：

其中，R（u,v）和I(u,v)分別為F(u,v)的實部和虛部。2、2-D變換核

正變換：f(x,y)→F(u,v)反變換：F(u,v)→f(x,y)正向變換核反向變換核變換核只依賴于x,y,u,v而與f和F無關

正向變換核和反向變換核都具有可分離性，（ux和vy可分開）即有：

由上式可以看出，分離后的兩部分函數(shù)形式一樣，即傅里葉變換的正反向變換核都是對稱的。具有可分離且對稱變換核的2-D傅里葉變換可分解為兩個1-D變換。(4.2.11)（4.2.12）2-D變換核2-D變換核正向變換的具體分解實現(xiàn)：將式(4.2.11)帶入(4.2.1),首先沿f(x,y)每一列進行1-D變換得到然后沿F(x,v)的每一行進行1-D變換得到(2.4.13)(2.4.14)4.2.2傅里葉變換定理

1、平移定理

表明將f（x,y）在空間與一個指數(shù)項相乘相當于把其變換在頻域平移。（4.2.16）（4.2.17）表明將f(x,y)在空間平移相當于把其變換在頻域與一個指數(shù)相乘，2、旋轉定理借助極坐標變換將f(x,y)和F(u,v）轉換為f(r,θ)和直接將其帶入傅里葉變換對得到：上式表明，對f(x,y)旋轉θ對應于將其傅里葉變換F(u,v)也旋轉了同樣的角度.

例4.2.3傅里葉變換旋轉性質(a)2-D圖像(b)(a)圖傅里葉頻譜幅度的灰度圖(c)(a)圖旋轉45。(d)(c)圖傅里葉頻譜幅度的灰度圖3、尺度定理（相似定理）

上兩式表明，對f(x,y)在幅度方面的尺度變化導致對其傅里葉變換F(u,v)在幅度方面的對應尺度變化；而對f(x,y)在空間尺度方面的放縮對F(u,v)在頻域尺度方面的相反放縮。(4.2.19)(4.2.20)(a)2-D圖像(b)對應傅里葉頻譜幅度對圖像中為正值常數(shù)的正方形的收縮導致了其傅里葉頻譜網格在頻域空間的增大，同時傅里葉頻譜的幅度也減小了4、剪切定理

水平剪切：垂直剪切：（如圖c,d）（如圖e,f）描述傅里葉變換在剪切變化時的實質(a)原2-D圖像(b)原圖所對應的傅里葉頻譜幅度圖(c)水平剪切后的圖像(d)c圖像對應的傅里葉頻譜幅度圖(e)垂直剪切后的圖像(f)e圖像對應的傅里葉頻譜幅度圖

組合剪切（水平和垂直剪切都有）矩陣表達：水平剪切：垂直剪切：4、剪切定理變換矩陣OR用矢量x'表示（x',y'）,用矢量x表示（x,y）先水平剪切后垂直剪切可表示為：先垂直剪切后水平剪切可表示為：將簡單的剪切操作依次使用會產生不同的結果，因為矩陣相乘的次序是不能交換的。組合剪切的結果具有與簡單剪切相同的傾斜角s和t。5卷積定理：

兩個函數(shù)在空間的卷積和它們的傅里葉變換在頻域的乘積構成一對變換，而兩個函數(shù)在空間的乘積與它們的傅里葉變換在頻域的卷積構成一對變換。6相關定理：

兩個函數(shù)在空間的相關與它們的傅里葉變換（其中一個為其復共軛）在頻域的乘積構成一對變換，而兩個函數(shù)（其中一個為其復共軛）在空間的乘積與它們的傅里葉變換在頻域的相關構成一對變換。如果f(x,y)和g(x,y)是同一個函數(shù)，稱為自相關；如果f(x,y)和g(x,y)不是同一個函數(shù)，則稱為互相關。4.3低通和高通濾波器4.3.1低通濾波器

低通濾波是要保留圖象中的低頻分量而除去高頻分量。圖象中的邊緣和噪聲都對應圖象傅里葉變換中的高頻部分，所以如要在頻域中消弱其影響就要設法減弱這部分頻率的分量。

根據(jù)頻域增強技術的原理，需要選擇一個合適的轉移函數(shù)H(u,v)以得到消弱F(u,v)高頻分量的G(u,v)。1、理想低通濾波器

理想是指小于（截斷/截止頻率）D0的頻率可以完全不受影響地通過濾波器，而大于D0的頻率則完全通不過。如下圖：

圖(a):H(u,v)的一個剖面圖圖(b):H(u,v)的一個透視圖1、理想低通濾波器理想H(u,v)：轉移/濾波函數(shù)

D0：截斷頻率（非負整數(shù)）

D

(u,v)是從點(u,v)到頻率平面原點的距離

D(u,v)=(u2+v2)1/2D0截斷頻率，是一個非負整數(shù)(4.3.1)2、低通濾波器的模糊理想低通濾波器產生振鈴現(xiàn)象對理想低通濾波器h(x)，一般形式可由式(4.3.1)的傅里葉反變換得到，其曲線如圖(a)，設f(x)只有亮像素，看做近似脈沖。f(x)和h(x)的卷積實際上是把h(x)復制到f(x)中亮點的位置，比較圖(b)和(c)可明顯看出，卷積使原來清晰的點模糊了。h(x)在2-D圖象上表現(xiàn)為一系列同心圓環(huán),圓環(huán)半徑反比于截斷頻率.3、巴特沃斯低通濾波器

巴特沃夫低通濾波器剖面示意圖低通巴特沃斯濾波器在高低頻率間的過度比較平滑，所以輸出圖的振鈴現(xiàn)象不明顯。階為1時沒有振鈴現(xiàn)象，階數(shù)增加，振鈴現(xiàn)象增加物理上可實現(xiàn)（理想低通濾波器在數(shù)學上定義得很清楚，在計算機模擬中也可實現(xiàn)，但在截斷頻率處直上直下的理想低通濾波器是不能用實際的電子器件實現(xiàn)的）一個階為n、截斷頻率為D0的巴特沃斯低通濾波器的轉換函數(shù)為：3、巴特沃斯低通濾波器截斷頻率：常取使H最大值降到某個百分比的頻率。

當D(u,v)=D0時，H(u,v）=0.5(即降到50%)圖象由于量化不足產生虛假輪廓時?？捎玫屯V波進行平滑以改進圖象質量 效果比較（相同截斷頻率）：圖6.2.6

3、巴特沃斯低通濾波器階數(shù)為1的巴特沃斯低通濾波器平滑處理的結果，沒有振鈴現(xiàn)象4、其他低通濾波器一、梯形轉移函數(shù)滿足條件：

1D(u,v)≤D'D'﹤D(u,v)﹤D00

D(u,v)≥D0D0為非負整數(shù)，定為截止頻率；D'是對應分段線性函數(shù)的分段點。相比理想低通濾波器，該濾波器的轉移函數(shù)在高低頻間有個過渡，可減弱振鈴現(xiàn)象；由于過度不夠光滑，比巴特沃斯產生的強一些H(u,v)=二、指數(shù)低通濾波器轉換函數(shù)滿足條件：n為2時為高斯低通濾波器圖4.3.8階為1的指數(shù)低通濾波器轉移函數(shù)剖面示意圖在高低頻間有個比較光滑的過度，振鈴現(xiàn)象較弱，相比于巴特沃斯低通濾波器，其轉移函數(shù)隨頻率增加在開始階段衰減較快，對高頻分量濾除能力較強，圖像更模糊，振鈴現(xiàn)象也更不明顯。尾部拖得較長，使得對噪聲的衰減能力大于巴特沃斯低通濾波器，平滑效果一般不及巴特沃斯低通濾波器。4.3.2高通濾波器

1、理想高通濾波器

轉移函數(shù)滿足條件：(4.3.6)

{高頻濾波器是要保留圖像中的高頻分量而除去低頻分量。高頻分量對應圖像邊緣，因此高通濾波器可銳化圖像。}理想高通濾波器轉移函數(shù)剖面示意圖和透視圖形狀上與低通濾波器的剖面圖正好相反，與理想低通濾波器一樣不能用實際的電子器件實現(xiàn)2、巴特沃斯高通濾波器

一個階為n，截斷頻率為D0的巴特沃斯高通濾波器的轉移函數(shù)為：形狀正好與巴特沃斯低通濾波器相反在通過和濾掉的頻率之間也沒有不連續(xù)的分界，得到的輸出圖像振鈴現(xiàn)象不明顯巴特沃斯高通濾波器轉移函數(shù)剖面示意圖(n=1)(4.3.7)截斷頻率同巴特沃斯低通濾波器相似，截斷頻率為使H(u,v)最大值講到某個百分比的頻率，常?。?0%）3.高頻增強濾波器

對頻域中的高通濾波器的轉移函數(shù)加上一個常數(shù)以將一些低頻分量加回去，獲得既保持光滑區(qū)域灰度又改善邊緣區(qū)域對比度的效果。

高頻增強轉移函數(shù)：He(u,v)=H(u,v)+c

傅里葉變換：G(u,v)=H(u,v)F(u,v)

高頻增強輸出圖傅里葉變換：

反變換回去：

對原始轉移函數(shù)加一個常數(shù)c實際中，給高頻增強濾波所用轉移函數(shù)乘以一個常數(shù)k,此時有：在高通的基礎上保留了一定量的低頻分量c×F(u,v),增強圖像中也包含一部分原始圖像(4.3.11)(4.3.12)4.高頻提升濾波器

把原始圖乘以一個放大系數(shù)A再減去低通圖就可構成高頻提升濾波器當A=1時，就是高頻濾波器；當A﹥1時，原始圖的一部分與高通圖相加，恢復了部分高通濾波時丟失的低頻分量。最終結果與原圖更接近。（4.3.13）對比式(4.3.12)和(4.3.13)得，高頻濾波器在k=1和c=(A-1)時轉化為高頻提升濾波器。5.其他高通濾波器一、梯形高通濾波器轉移函數(shù)滿足下列條件：

0

D(u,v)≦D0

D0﹤D(u,v)﹤D'1D(u,v)≥D'H(u,v)=梯形高通濾波器轉移函數(shù)剖面圖D0:截止頻率,非負D'線性函數(shù)分段點相對理想高通濾波器，該濾波器轉移函數(shù)在高低頻率間有個過渡，可減弱一些振鈴效應，由于過度不夠光滑，效果不如巴特沃斯。二、指數(shù)高通濾波器轉移函數(shù)滿足下列條件：指數(shù)高通濾波器轉移函數(shù)的剖面示意圖n為2時為高斯高通濾波器與指數(shù)低通濾波器轉移函數(shù)互補，在高低頻率間有較光滑的過度，振鈴效應較弱。相比巴特沃斯高通濾波器轉移函數(shù)，其轉移函數(shù)隨頻率增加在開始階段增加的比較快，能使一些低頻分量通過，有利于保護圖像灰度層次4.4帶通和帶阻濾波器1.帶阻濾波器

帶阻濾波器阻止一定頻率范圍內的信號通過而允許其他頻率范圍內的信號通過。理想帶阻濾波器的轉移函數(shù)：放射對稱的帶阻濾波器透視圖理想帶阻濾波器剖面圖2.帶通濾波器

帶通濾波器允許一定頻率范圍內的信號通過而阻止其他頻率范圍內的信號通過。帶通濾波器和帶阻濾波器是互補的，所以:放射對稱的帶通濾波器透視圖將HR翻轉3.陷波濾波器

陷波濾波器可通過或阻斷在頻域上某點周圍預先確定的領域中的頻率。

理想阻斷陷波濾波器的轉移函數(shù)為：理想帶阻和帶通陷波濾波器透視圖用于消除以(u0,v0)為中心、D0為半徑的區(qū)域內所有頻率由于傅立葉變換是對稱的,因此陷波濾波器必須以關于原點對稱的形式出現(xiàn).4.5同態(tài)濾波器

{同態(tài)濾波基于一個簡單的亮度成象模型}4.5.1亮度成像模型

E(λ)=S(λ)R(λ)

譜能量分布光源分布物體反射特性

2-D亮度函數(shù)：f(x,y)（圖像在(x,y)位置處的亮度）亮度是能量的亮度，所以一定不為0,且為有限值，即有：0﹤f(x,y)﹤∞f(x,y)的兩個決定因素：(1)入射到可見場景上的光量；（照度成分i(x,y)）(2)場景中目標對入射光反射的比率。(反射成分r(x,y))

所以有：f(x,y)=i(x,y)r(x,y)

（4.5.3）其中：（1）i(x,y)的值是由光源決定的