量子力學(xué)：第13講 表象變換

1量子力學(xué)光電子科學(xué)與工程學(xué)院王可嘉第十三講表象變換2目錄零、三維各向同性諧振子的回顧一、表象及其變換二、算符的矩陣表示三、量子力學(xué)的矩陣形式四、例題3零、三維各向同性諧振子的回顧(1)三維各向同性諧振子在球坐標(biāo)下的解：與相對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)為：4零、三維各向同性諧振子的回顧(2)三維各向同性諧振子在直角坐標(biāo)下的解：5零、三維各向同性諧振子的回顧(3)選取組成力學(xué)量完全集。其共同本征函數(shù)為各自本征函數(shù)的乘積，即：即：6零、三維各向同性諧振子的回顧(4)總能量本征態(tài)為線性諧振子解總能量本征值為7零、三維各向同性諧振子的回顧(5)直角坐標(biāo)系下解和球坐標(biāo)系下解的關(guān)系：球坐標(biāo)下為的共同本征態(tài)。直角坐標(biāo)下為的共同本征態(tài)。因?yàn)槭峭粏栴}在不同坐標(biāo)系下的解，應(yīng)該有相互聯(lián)系以為例，能級(jí)是三重簡(jiǎn)并，即有三個(gè)態(tài)：可證明：8一、表象及其變換(1)設(shè)代表一組力學(xué)量完全集，即是的共同本征函數(shù)，一般代表一組量子數(shù)。設(shè)代表一組力學(xué)量完全集，即是的共同本征函數(shù)，一般代表一組量子數(shù)。設(shè)是體系的一個(gè)量子態(tài)，根據(jù)態(tài)疊加原理，有：同時(shí)稱(1)和(2)式分別為態(tài)在和表象中的展開式。9一、表象及其變換(2)所謂表象，就是量子態(tài)的具體表示方式。稱和為態(tài)在和表象中的表示因?yàn)樗院捅囟ㄓ幸欢ǖ年P(guān)系，這種變換關(guān)系即為表象變換。10一、表象及其變換(3)矢量在不同坐標(biāo)系下的變換：矢量在中，有矢量在中，有設(shè)，可證明存在一個(gè)有：稱為幺正矩陣11一、表象及其變換(4)以左乘上式，即全空間積分有：將寫為矩陣形式即12一、表象及其變換(5)所以任一量子態(tài)在表象中的表示可以通過矩陣變換成表象中的表示

其中：，即可證明：即變換矩陣是幺正矩陣。稱上述變換為幺正變換13一、表象及其變換(6)所以任一量子態(tài)能夠用任一力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)（它們構(gòu)成一組正交歸一完備基矢）來(lái)展開展開系數(shù)，稱為在表象中的表示。同樣可以在表象中展開為：展開系數(shù)為，為在表象中的表示，這兩種表示可以通過一種幺正變換相聯(lián)系。即其中：14二、算符的矩陣表示(1)設(shè)為某一力學(xué)量的算符，量子態(tài)經(jīng)過運(yùn)算后變成另一量子態(tài)，即，設(shè)在表象的基矢為

，將和用展開，有，其中列向量和分別為和在表象中的表示。其中：為在表象中的表示。15二、算符的矩陣表示(2)為在表象中的表示。矩陣

就是在表象中的矩陣表示。在表象中，同樣有：矩陣

就是在表象中的矩陣表示。16二、算符的矩陣表示(3)對(duì)量子態(tài)和算符，在表象(基矢)中，有對(duì)量子態(tài)和算符，在表象(基矢)中，有已知和可以通過幺正變換相聯(lián)系，即幺正矩陣可證明，矩陣和可以通過幺正矩陣相似變換相聯(lián)系：17二、算符的矩陣表示(4)

例題：求坐標(biāo)、動(dòng)量和哈密頓算符在一維諧振子能量表象中的矩陣表示?！窘狻浚阂痪S諧振子能量表象的基矢為其能量本征函數(shù)，有如下性質(zhì)：坐標(biāo)在此表象中矩陣表示的矩陣元為：18二、算符的矩陣表示(5)寫為矩陣形式為：19二、算符的矩陣表示(6)即：20二、算符的矩陣表示(7)對(duì)于，有即：

結(jié)論：力學(xué)量在其自身表象中，其矩陣表示為一個(gè)對(duì)角陣。21三、量子力學(xué)的矩陣形式(1)在表象(基矢)中,量子態(tài)用列向量表示，即，算符用矩陣表示，即其中：

(1)含時(shí)薛定諤方程的矩陣表示其中：22三、量子力學(xué)的矩陣形式(2)例如，在一維諧振子能量表象中，含時(shí)薛定諤方程表示為：即：，若則有：定態(tài)解23三、量子力學(xué)的矩陣形式(3)

(2)平均值計(jì)算公式的矩陣表示在表象(基矢)中,量子態(tài)用列向量表示，即，算符用矩陣表示，即其中：在態(tài)下，力學(xué)量的平均值為24三、量子力學(xué)的矩陣形式(4)

(3)力學(xué)量本征方程的矩陣表示力學(xué)量的本征方程為：在表象(基矢)中：